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文档简介

...wd......wd......wd...两角和与差的三角函数公式的证明三角函数两角和与差单位圆托勒密定理数学

利用单位圆方法证明sin〔α+β〕=…与cos〔α+β〕=…，是进一步证明大局部三角函数公式的根基。1、sin〔α+β〕=sinαcosβ+cosαsinβ在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：如图中所示，容易看出：sin〔α+β〕=CF；sinα=AB；cosα=OB；sinβ=CD；cosβ=OD则：----------------------------------------------------------------------------------------------平面几何的证明方法：如以以下图，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示〔非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不可言！〕----------------------------------------------------------------------------------附：若何证明托勒密定理见://hyz0.blog.sohu/69610635.html://iask.sina.cn/b/2459822.html托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．〔具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供！〕思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。证明：以AB为边，作一个角等于角：即∠BAE=∠DAC；在ΔABE和ΔACD中，∵

∠BAE=∠DAC；∠ABE=∠ACD；∴

△ABE∽△ACD；∴

AB·DC=BE·AC

①∵

∠BAE=∠DAC；∴

∠DAE=∠CAB；在ΔADE和ΔACB中，∵

∠ADE=∠ACB；∠DAE=∠CAB；∴

△ADE∽△ACB；∴

AD·BC=DE·AC

②∴

①+②得：AB·DC+AD·BC=BE·AC+DE·AC=〔BE+DE〕·AC=BD·AC。结论：该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的，叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=

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