高考数学一轮复习精练必备 第8练 函数模型及其应用（教师版）

第8练函数模型及其应用

学校姓名班级

一、单选题

1.下列函数中，随着X（X>1）的增大，函数值的增长速度最快的是（）

A.y=81gxB.y=fC.）,=近D,y=9x8'

8

【答案】D

【详解】

当x>l时，指数函数增长最快，幕函数其次，对数函数最慢，故函数>=9x8,的增长速度

最快.

故选：D.

2.声强级厶（单位：dB）与声强/的函数关系式为：厶=101g（尚），若女高音的声强级

是75dB,普通女性的声强级为45dB,则女高音声强是普通女性声强的（）

A.10倍B.100倍C.1000倍D.10000倍

【答案】C

【详解】

设女高音声强为普通女性声强为厶，贝！HOlg（鳥）=75,所以鳥=10人①,

1。电（磊）=45,所以鳥=1产②,则①.②得：^=1000,故女高音声强是普通女性

声强的1000倍.

故选：C

3.新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺

炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第"天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成

-y=,n<N

7n0

平均耗时t（77）（单位：小时）大致服从的关系为“〃）=.«,即为常

—r=,n>N。

眄

数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时,第64天（加和第81天检测过程平均耗

时均为8小时;那么可得到第36天检测过程平均耗时大致为（）

A.12小时B.11小时C.10小时D.9小时

【答案】B

【详解】

由第64天和第81天检测过程平均耗时均为8小时知，16<N°,

所以2=16,得=64,

Vlo

640,

又由71=8得No=64,

6464

所以当〃=36时，，(36)=7茄=7211,

故选:B.

4.药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、

体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，

可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据.经研究

表明，大部分注射药物的血药浓度CQ)(单位：〃g/ml)随时间t(单位：h)的变化规律

可近似表示为C(r)=G,-eY',其中C0表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，发表示

该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数4=0.5(单位：h-'),某

患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为4.5〃g/ml,当患者清

醒时测得其血药浓度为0.9〃g/ml,则该患者的麻醉时间约为(ln5«1.609)

()

A.3.5hB.3.2hC.2.2hD.0.8h

【答案】B

【详解】

由题意得，0.9=4.5产，即

则0.5r=ln5,解得f=21n5=3.2.

故选：B

5.2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全

返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速

度增量的公式△丫;匕也为，其中△「为火箭的速度增量，匕为喷流相对于火箭的速度，

人和叫分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭匕达

到5公里/秒也，从100提高到600,则速度增量厶丫增加的百分比约为()

叫

(参考数据：In2ao.7,ln3»l.l,ln5»1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

【答案】D

【详解】

由题意,当马=100时,速度的增量为N=5111100；

班

当&二200时，速度的增量为02=51n600=51nl00+51n6,

,v2-v,_51nl00+51n6-51nl00_In6_In2+ln3

HJT===u/o

Av,5In100In1002(ln2+ln5)

故选：D.

6.2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大

财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震

记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统

0<Z„。

计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数/⑺=<

%<t„t2,

)，2<厶，'d

44(单位：秒)分别为控制强震平稳段的首末时刻；。(单位：秒)表示地震动总持时;

c是衰减因子，控制下降段衰减的快慢.在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制

强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2,则当f=15秒时，地震动时

程强度包络函数值是()

A.e'1B.1C.9D.e-2

【答案】A

【详解】

由题可知4=5,厶=10,1=20,c=0.2,

...当10<Y20时，

...当f=15秒时，地震动时程强度包络函数值是/(15)=忌==

ee

故选:A.

7.中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本(LCOE)也称度电成本，是一项

用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数，CRF

对计算度电成本具有重要影响.等年值系数/CRF和设备寿命周期N具有如下函数关系

0.05(1+

，CRF=/'、N，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13,则对于

(1+r)-1

寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为()

A.0.03B.0.05C.0.07D.0.08

【答案】D

【详解】

0.05(l+r)'..io13

由己知可得/=0/3,解得(1+)°=?,

(1+r)-16

2

0.05(1+r)°169

当N=20时,则,CRF-*0.08.

2100

故选：D.

8.医学上用基于W流行病传播模型测算基本传染数凡（也叫基本再生数）来衡量传染

2

性的强弱，基本传染数可表示为4=1+ATK+p（l-p）（/l7；,）.计算基本传染数Ro需要确定

的参数有：（1）参数4：r（阳）,即需要知道第一例病例发生的时间（确定起点以

t

便计算力，以及之后某一时刻的累计病例数丫（/）,时间力的单位为天数；（2）参数兀和

P-.只要确定了潜伏期獴和传染期77,乙和型传染性病例，到2022年3月28日累

计/1=10,。=。6,根据上面的公式计算这41天/型传染性基本传染数凡约为（注：

参考数据：ln425»41x0.15）（）

【答案】D

【详解】

lnr41

由¥（41）=425,/L=（（））=ln425g（）15;

4141

代入至的计算公式可以得至1+0.15*10+0.6x（1-0.6）x（0.15x10）2=3.04.

故选：D.

9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如,

地震时释放的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为1g项/,则下列说法正

确的是（）

A.地震释放的能量为10焦耳时，地震里氏震级约为七级

C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D.记地震里氏震级为"（炉1,2,•••,9,10）,地震释放的能量为a〃，则数列｛a〃｝是

等比数列

【答案】ACD

【详解】

对于A：当E=10”3时,由题意得lgl(y53=48+i.5M,

解得M=7,即地震里氏震级约为七级，故A正确；

对于B：八级地震即M=8时，1g£,=4.8+1.5x8=16.8,解得互=10侬，

F1016-8

所以

E10心

所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的1。2倍，故B错误；

对于C：六级地震即M=6时，lg4=4.8+1.5x6=13.8,解得七二母相，

p1016.8

所以苴=诂産=1。』皿，

即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1OOO倍，故c正确；

对于D：由题意得lgq,=4.8+1.5〃(/7=1,2,•••,9,10),

所以=1()48+15",所以％M=1048+PE=103.5"

n1r\6.3+1.5n

所以贅'=嬴'=1°”，即数列①〃｝是等比数列，故D正确；

故选：ACD

10.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，

注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的

曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

c.注射该药物:

O

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5三时

【答案】AD

【详解】

4?(0„r<l)

由函数图象可知y=旧(E八，

当，=1时，y=4,即(g)~=4,解得a=3,

4(0,,t<1)

，y=、，故A正确，

H"训

药物刚好起效的时间，当4r=0.125,即七盘，

药物刚好失效的时间(^r3=0.125,解得f=6,

131

故药物有效时长为6-==5.小时，

药物的有效时间不到6个小时，故8错误，。正确：

注射该药物1小时后每毫升血液含药量为4x：=0.5微克，故C错误，

OO

故选：AD.

11.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付

费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分

按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是

()

A.出租车行驶2km,乘客需付费8元

B.出租车行驶4km

C.出租车行驶10km

D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10km一次的费用

【答案】CD

【详解】

对于A：出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误;

对于B：出租车行驶4km,乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误：

对于C出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15x5+2.85x2+1=25.45元，故C正确;

对于D：某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和为2x(8+2.15x2+1)=266元，

一次行驶10km的费用为25.45元，26.6>25.45,故D正确.

故选：CD

12.如图，某池塘里浮萍的面积N(单位：m2)与时间r(单位：月)的关系为》=“'，

关于下列说法正确的是(

A.浮萍每月的增长率为2

B.浮萍每月增加的面积都相等

C.第4个月时，浮萍面积超过80n?

D.若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别是小小厶，则况=廿4

【答案】ACD

【详解】

由图可知，过。,3）,所以a=3,y=3'，

对A,由y=3'为指数函数，为爆炸式增长，

每月增长率为二h=2,

3'

故每月增长率为2,故A正确；

对B,第一个月为3m2,第二个月为9m2,第三个月为27m）

浮萍每月增加的面积不相等，

4

对C,r=4,j=3=81m\故C正确；

对D,=log32,t2=log,4,Z3=log,8,

所以2f2=2k>g34,=log,2+log,8=log,16=2log,4,

所以2r2=6+匕，故D正确，

故选：ACD

13.某地在20年间经济高质量增长，削的值P（单位，亿元）与时间/（单位：年）之

间的关系为P（r）=4（l+10%）',其中庶为r=0时的p4=2,那么在r=io时，物增长的

速度大约是.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：11°=2.59,当X

取很小的正数时，ln（l+x）«x

【详解】

由题可知尸（/）=2（1+10%）'=2x1.1',

所以产（t）=2xl.门nl.l,

所以〃（10）=2x11°In1.1«2x2.59x0.1=0.518~0.52,

即以y增长的速度大约是0.52.

故答案为:0.52.

14.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯

表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计，

驾驶员反应距离，（单位：m）关于车速「（单位：m/s）的函数模型为岳=0.7584上刹车

距离邑（单位：m）关于车速y（单位：nVs）的函数模型为邑=0-。72声，反应距离与刹车

距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速v=50km/h（约14m/s）,路

口宽度为30m,如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线

距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮s（保留

两位有效数字）.

【答案】3.9

【详解】

解：依题意当小汽车最大限速v=50km/h（约14nVs）时，

反应距离*=0.7584x14=10.6176m,刹车距离邑=0.072x142=14.112m,

所以停车距离为10.6176+14.112=24.7296m,

又路口宽度为30m,所以s=24.7296+30=54.7296m,

所以时间f=±c=迎547竺296=3.9s；

v14

故答案为：3.9

15.如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：n?）与时间t（单位：月）满足关系式：

y=a'ln«（a为常数），记y=/（r）（/NO）.给出下列四个结论：

①设an=/6)(〃eN"),贝囈歹I」｛q｝是等比数列；

②存在唯一的实数2«1,2),使得/(2)-/(1)=/'&)成立，其中广⑺是/⑺的导函数；

③常数aw(l,2)；

④记浮萍蔓延到2m2,3m2,6m?所经过的时间分别为％,%3贝此+厶>厶.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①②④

【详解】

解：依题意/«)="lna,因为/(O)=a°lna<l,所以0<。<已且。工1,

又〃3)=/lna=6,所以lna>0,所以leave,即aw(l,e),

令/?(a)=/[na,aw(l,e),贝”/2'(a)=3a21na+a2>0,

则/7(a)="ina在a«l,e)上单调递增，又力(2)=23出2<6,所以a«2,e),故③错误；

由已知可得4,=/(〃)=a"Ina,则a,用=/(〃+l)=a"+’Ina,0t=f(l)=alna,

所以网1:噌等=a,所以｛4｝是以Mna为首项，”为公比的等比数列，故①正确；

anaIna

2

令/(1)="lna,则:⑺=d(lna『，/(2)=tz\naff[\)=a\na,

令g(%)=。"(Ina)?-/]na+aln。,则g｛))=a"(lna)\tQ£(1,2),

因为ac(2,e),所以《(幻="。®/>o,即g&)=d。(Ina)?-/lna+〃lna,在^£(1,2)

上单调递增，

因为。«2,e),所以lna-a<0,ln«-l<0,a\na>0f

令夕(a)=lna-a+l,«G(2,e),则“(〃)=丄-1=^―-<0,所以0(a)=lna-a+l,在

〃£(2,e)上单调递减，

PI.^(2)=In2-2+1=In2-1<0,即夕(〃)=1。。一。+1<0,

令"(a)=alna-a+l,tze(2,e),则/T(a)=In4>0,所以//(a)=aln〃一a+l在aw(2,e)

上单调递增，

X//(2)=21n2-2+l=21n2-l>0,所以“(Q)=aInQ—Q+1>0,

所以g⑴=a(ln。)--a2\na+a\na=a\n