2024年广东省高考数学一轮复习第8章第5讲：椭圆（附答案解析） (二)

2024年广东省高考数学一轮复习第8章第5讲：椭圆

【考试要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程2掌握椭圆的简单几何性质（范围、对

称性、顶点、离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点用的距离的和等于赏数（大于甲尸2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定

点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

丸

图形

B\OIF\/B2X

^+^=l（a>6>0）$15》>0）

标准方程

范围-且一-b〈xWb且一

41（—久0）,。2（圆0）,4（0,—a）,>2（0,〃），

顶点

Bi（0,一b）,&（0,。田（一AO）,&伉0）

轴长短轴长为四，长轴长为四

焦点小】（一c0）,&（gO）尸1（0,—c）,尸2（0,c）

焦距|F1尸2|=筵

对称性对称轴：X轴和V轴,对称中心：原点

离心率e=-（O<e<l）

a

a,b,c的关系层=/+02

【常用结论】

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点尸（xo,次）与两焦点构成的△PQB叫做焦点三角形.如图所示，设NFiPB=e.

第1页共19页

(1)当尸为短轴端点时，。最大，s△甲叫最大.

1n

Q)S&FPF,=-|PFi||PF2|sin0=/72tan-=c[yo].

1-22

(3)1尸Fl|max=a+c，|P尸l|min=a—c.

[>Fi]+|P可|

(4)|PR|・|PF2|WI2j=/.

(5)4c2=|PF||2+|尸尸2|2—2|尸尸山尸尸21cos6.

(6)焦点三角形的周长为2(“+c).

工思考辨析A

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)平面内与两个定点F1,尸2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(X)

(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(V)

(3)三+W=1(,”W〃)表示焦点在y轴上的椭圆.(X)

(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(X)

工教材改编题：！

1.椭圆看+(=1上点尸到上焦点的距离为4,则点尸到下焦点的距离为()

A.6B.3C.4D.2

答案A

解析由椭圆方程三+二=1,得标=25,即。=5,设下焦点为Q,上焦点为则|

+\PF2\=2a=\0,因为|尸后|=4,所以|PFi|=6,即点尸到下焦点的距离为6.

2.已知桶圆C：5+?=1的一个焦点为(2，°)，则C的离心率为()

A11「也门2yli

A.-oR.-C.---D.---

3223

答案C

解析由已知可得从=4,c=2,则次=/十°2=8,所以。=2/，

则离心率=—.

a2

3.若椭圆C：t+q=l，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()

43

第2页共19页

A.3B.2+S

C.2D.3+1

答案A

解析由题意知。=2,b=3,所以c=l,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.

■探究核心题型

题型一椭圆的定义及其应用

例1(1)(2022・丽江模拟)一动圆尸与圆4：(x+l)2+V=l外切，而与圆8：(X-1)2+炉=64

内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.双曲线的一支

答案A

解析设动圆尸的半径为厂，

又圆/：(x+l)2+V=l的半径为1,圆8：(x-iy+V=64的半径为8,

则|B4|=r+l,|Pfi|=8-r,

可得|别+|P8|=9,又9>2=网

则动圆的圆心P的轨迹是以/,8为焦点，长轴长为9的椭圆.

(2)设点P为椭圆C：，+(=1(G>2)上一点，R,尸2分别为C的左、右焦点，且/£尸乃=60。,

则△Pg的面积为.

答案平

3

解析方法一由题意知，0=山2—4.

又/Q尸尸2=60。，\PF[\+\PF2\=2a,

|尸/2|=2M2—4,

22

A|FIF2|=(\PFtI+\PF2\)~2\PFy||PF2|-2IPF)||PF2|COS60°

=4层一3|PF|||PF2|=4出一16,

二|尸网||P尸2|=g,

•••Sfg=，尸~||尸尸2画1160。

316乂3

——x—x—

232

=撞

3

方法二由题意得〃=4,ZFIPF2=60°,A=4Xtan30°=^.

八厂"23

第3页共19页

延伸探究若将本例(2)中“/FiPB=60°”改成“PF1LPF2”，求尸2的面积.

解:PFJPB,

I尸Q|2+尸尸2|2=|尸周2=4(，-4)

—4a2—16,

又|PQ\+\PF2\=2a,\PF{F+|PFM=(|PQ|+\PF^~2\PF^PF^,

.,.|PFI|-|PF2|=8,

S&PFR=，PB||PF2|=4.

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值

和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

跟踪训练1(1)已知△/8C的周长为12,8(0,-2),C(0,2),则顶点Z的轨迹方程为()

A.J-MxWO)

1216

B.—+-^=l(y^O)

1216V

C.—+-^=1(x^0)

1612

D.—+^=l(y^O)

1612

答案A

解析:△/Be的周长为12,顶点8(0,—2),C(0,2),

/.|5q=4,，阴+0C|=12-4=8,

二点/到两个定点的距离之和等于定值，

又8>4,

二点4的轨迹是椭圆，且a=4,c—2,

：.b2=\2,

椭圆的方程为^—l~L=l(xWO).

1216

(2)(2023•郑州模拟)若F为椭圆C：丘+左=1的右焦点，A,8为C上两动点,则△羽尸周

2516

长的最大值为()

A.4B.8C.10D.20

答案D

解析如图，设a为椭圆c的左焦点，

第4页共19页

则由椭圆的定义可得△”尸的周长为|/尸|+医用+=2a—I+2〃一|8尸11+玄司=4a+/现

-\AF\\-\BF\|=20+|Z8|一|4Fi|一|,

当aB,Fi共线时，MB|一/B|一质i|=0,

当Z,B,E不共线时，\AB\-\AF\\-\BF^,

所以△/8F周长的最大值为20.

题型二椭圆的标准方程

命题点1定义法

例2(2023•南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为凡(0,2),22(0,-2),尸为椭圆上任意一点,

若回尸2|是「尸i|,的等差中项，则此椭圆的标准方程为()

A看+F

B・导导I

C.J史=1

1612

答案D

解析由题意|PQ|+|P厂2|=2/出|=8=2”，故。=4,又c=2,贝！|6=23,

焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为《+$1.

命题点2待定系数法

例3己知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(#,1),巳(一3,一3),

则该椭圆的方程为.

答案

93

解析设椭圆的方程为阳N+犯？2=1(加>0,/7>0,且加#〃).

将尸2代入方程，

r6加+"=1,

3加+2〃=1,

解得’1

n——.

3

所以椭圆的方程为止+迷=1.

93

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

第5页共19页

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的〃，6.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，

一般可设所求椭圆的方程为加?+"=i(m>o,心°,〃层哂不必考虑焦点位置，用待定系

数法求出加，〃的值即可.

丫22

跟踪训练2(1)“14<5”是方程+±v=1表示椭圆”的()

k15k

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当方程上+上=1表示椭圆时，必有.5—A0,所以1<上5且％W3,

k—15—k

k-1于5—k,

当lv%<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当左=3时，方程变为7+产=2,它表示一个圆,

即“1VK5”是“方程上+上=1表示椭圆”的必要不充分条件.

k~\5-k

(2)(2022-南京师大附中模拟)已知过椭圆三+鸟=1(>6>0)的左焦点万(-1,0)的直线与椭圆交

aLb~

于不同的两点4B,与y轴交于点C,点C,Q是线段48的三等分点，则该椭圆的标准方

程是()

6554

cf+JD*=l

3243

答案B

解析如图，不妨设/(xo,泗)在第一象限，由椭圆的左焦点尸式一1,0),点C,E是线段48

的三等分点,

得C为工为的中点，乃为8C的中点,

所以xo=l,

所以！+普=1,

解得州=里，即

所以a*卜，-3,

第6页共19页

将点B的坐标代入椭圆方程得之+超=1,

ab2

即吃+空=1,

aL4a~

结合居一%2=»=],解得标=5,〃=4,

所以椭圆的标准方程是廿±L

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

例4（1）（2022•太原模拟）设人，B是椭圆£：，+'=1（心6>0）的左、右焦点，过点石且斜

率为目的直线交椭圆于点尸，若2NPFIF2=NPF2FI,则椭圆E的离心率为（）

A.45+1BA/5—1

n也

C.—D.—

32

答案B

解析因为过点Q且斜率为火的直线交椭圆于点P,且2NPRF2=NPF2R,则有/尸吊尸2

3

=30°,NP尸2尸1=60。，

因此，在△PQ尸2中，NQPF2=90。，令椭圆半焦距为c,于是得|PB|=|£B|cos30o=Sc,

|尸尸2|=|尸I尸2|・sin30。=0,

c2

由椭圆定义得2Q=|PK|+|PB|=(S+1)C,则e=-=-F--=-电一1,

a^3+1

所以椭圆£的离心率为3—1.

（2）（2022•全国甲卷）椭圆C：=1伍乂>0）的左顶点为4点尸，0均在C上，且关于y轴

对称.若直线ZP,/。的斜率之积为L则C的离心率为（）

4

»11

A.—B.—Cr.-Dn-

2223

答案A

解析设尸（相，"）（〃W0）,

则。（一"?，n）,易知/（—a,0）,

所以自p,自°=—----2〃2=J（*）

m-\-a—m-raa-加/4

因为点尸在椭圆c上，

第7页共19页

所以勺+3=1，得〃2=/（Q2—加2）,

n-rt~n-

思维升华求椭圆离心率或其范围的方法

⑴直接求出a,c,利用离心率公式e=£求解.

a

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e=\/l—々求解.

(3)构造a,c的方程,可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题

例5(1)(2023•长沙模拟)已知B，B为椭圆三+二=1(。>6>0)的左、右焦点，椭圆的离心

率为；，M为椭圆上一动点，则的最大值为(

兀「2兀

答案

解析如图所示，当点Af为椭圆的短轴顶点时，NFiMF?最大,

：.\MO\^b,\MF^a,|0乃|=以

NOMFz=4,

故/FIMF2=匹,

3

所以NFig的最大值为三.

3

(2)如图，焦点在x轴上的椭圆^十m=1(6>0)的离心率e=L尸，/分别是椭圆的左焦点和右

4bz2

顶点，P是椭圆上任意一点，则两•日的最大值为.

第8页共19页

答案4

解析由题意知a=2,因为e=*=L

a2

所以C=l,所以/>2=〃2—C，2=3,

故椭圆的方程为W+式=1.

43

设尸点的坐标为(xo,次)，一2WxoW2,一3

代入三+£=1,得或=3一3成

434

因为F(—1,0),A(2,0),

所以PF=(一1—xo,—yo)9PA=(2—XQ,—yo),

-*,-*-ii

所以户产—xo—2+京=——xo+1=—(xo—2)2,

所以当祀=一2时，际■•日取得最大值4.

思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

的左、右焦点分别为Q,

跟踪训练3(1)(2023•镇江模拟)已知椭圆E：5+,=13>6>0)F2,

上顶点为/，射线NFI交椭圆E于点8,以48为直径的圆过尸2,则椭圆E的离心率是()

答案D

解析由题意

设则|B产2|=2l,

又以为直径的圆过尸2,

所以

所以“2+(2”一f)2=(a+/)2,

解得-fa,

第9页共19页

所以|83|=*,

在△NFiB和△SAB中，由余弦定理得

COSAAF\F2=~9

a

4c2+-a2——a22?

/cll993c2—a2

cosNBFR=------------------=---------,

__22ac

2,2c-〃

3

因为

ZAFiF2+Z5FIF2=180°,

所以cosNZEB+cosNBE尸2=0,

即色+我工0,

alac

整理得标=502,

所以e=£=立.

a5

(2)已知椭圆5+E=l(a>b>0)的右焦点为尸(c,0),上顶点为4(0,b),直线x=且上存在一点

a1b1c

P满足（即+法）•万=0,则椭圆的离心率的取值范围为（)

ria号〕

A.2JB._2J

或匚，1]（0,闿

C.L2JDL2」

答案C

解析取N尸的中点0,则丽=；（而+法），

所以（而+法）•万=2匝•崩=0,

所以所以为等腰三角形,

^?\FA\=\FP\,且|砌=4加+廿=%

因为点尸在直线x=Q上，

C

所以|EP|2Q—c,即a》且一c,

CC

所以02《一1,所以e2+e—\20,

ccL

解得心jw年

3一1

又0<e<l,故We<l.

2

第10页共19页

课时精练

E基础保分练

1.（2023•昆明模拟）已知椭圆以=1的两个焦点为F”Fi，过B的直线交椭圆于"，N两

43

点，则△FiMN的周长为（）

A.2B.4C.6D.8

答案D

丫

解析由工2+匕=1得。=2.

43

因为M,N是椭圆上的点，F\,B是椭圆的焦点，

所以|Ma|+|A/B|=2a,|7VFi|+|7VF2|=2fl,

因此/\F\MN的周长为|+\MN]+\NFi\=\MF\|+\MF2\+\NF^+\NF\\=2a+2a=4a=?>.

2.（2022•全国甲卷）已知椭圆C：三+j=l（a>6>0）的离心率为上小，在分别为C的左、右

顶点，8为C的上顶点.若丽说=—1,则C的方程为()

AX+^-1B{+2=1

181698

C.-+-^=1D.-+/=l

322'

答案B

解析依题意得4(一。,0),力2(。,0),5(0,b),

所以B4=(—a,—b),BA2=(a,~b)9

BA\'BA2=—Q?+/=—(a2—h2)——c2——1,故d=l,

又C的离心率e=-=-=-,

aa3

2222

所以a=3,a=9,b=a—c=3f

所以c的方程为且=1.

98

3.(2022・贵阳模拟)已知尸i,尸2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且NQP尸2=30。，\PF\\

=3|PB|,则椭圆C的离心率为()

,3—1口市T八电+1-3+1

A.LJ.L.\.J.

4243

答案B

解析令|PB|=w,则|PFI|=3加，

\PF\I+=(S+1)机=2。，

第11页共19页

得k幽3

2

又由余弦定理知，（2。）2=（3加）2+加2一2.37,wcos300,

即4”=加2,

・个4日相

・・m=2c,得。=一，

2

.cin3T

••€~~一="P=.

a(V3+l>2

4.（2023•濮阳模拟）已知椭圆C：=1（〃>6>0）的左、右焦点分别为Fi，好,直线y=做%>0）

a2b2

与C交于M,N两点（其中M在第一象限），若M,Fi，N,用四点共圆，则C的离心率e的

取值范围是（）

A.l2JB.12J

cH1D[°

答案A

解析设椭圆的半焦距为c,

由椭圆的中心对称性和M,Fi,N,入四点共圆，

知四边形"QNB为矩形，

所以以为直径的圆与椭圆C有公共点，

则c>b,即c2>b2=a2—c2,

所以2c2>“2,

5.（多选）（2022•重庆模拟）如图所示，用一个与圆柱底面成淤”“引角的平面截圆柱，截面是

一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,0=\则下列结论正确的是（)

A.椭圆的长轴长等于4

B.椭圆的离心率衅

C.椭圆的标准方程可以4+卜

第12页共19页

D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4—2也

答案CD

解析设椭圆的长半轴长为。，短半轴长为6,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为

圆柱底面圆直径，

则由截面与圆柱底面成锐二面角。=匹得2〃=」一=8,解得。=4,A不正确；

3cos（9

显然6=2,则c=qa2—b2=23,离心率e=C="^,B不正确；

a2

当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方

程为《+9=1，C正确；

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a—c=4-2S，D正确.

6.（多选）（2022•白山模拟）椭圆C：;+产=1的左、右焦点分别为丹，Fz，O为坐标原点，以

下四个命题中正确的是（）

A.若过点B的直线与椭圆C交于48两点，则△/8乃的周长为8

B.椭圆C上存在点尸，使得而■•配=0

C.椭圆C的离心率为1

2

D.若尸为椭圆^+产=1上一点，。为圆x2+炉=1上一点，则点尸，。的最大距离为3

4

答案ABD

解析由椭圆C：亍+产=1得”=4,b2=\,c2=a2—b2=3,

过点B的直线与椭圆C交于48两点，则△ABFi的周长为44=8,故A正确；

因为c>b,所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点尸，

使得/尸出尸2=90。，即使得珍•彩=0,故B正确；

椭圆C的离心率e=£=也，故C错误；

a2

因为P为椭圆长+产=1上一点，0为圆/+产=1上一点，当点尸，0的坐标为尸（2,0）,0（一

4-

1,0）或尸（一2,0）,0（1,0）时，点P,。的距离最大，|P@max=2+l=3,故D正确.

7.（2022・天津模拟）已知仇一韵，0）是圆上（X—韵产+产=16内一点，点C是圆4上任意一

点，线段BC的垂直平分线与力C相交于点。.则动点D的轨迹方程为.

答案-+/=1

4

解析如图，连接8。，由题意得|8D|=|CD|,则|8Q+|D4|=|CD|+W|=4>23=M8],

第13页共19页

由椭圆的定义可得动点。的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±3,0),长半轴长为2,

故短半轴长为1,故动点D的轨迹方程为q+产=1.

8.(2023・平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为尸(0,1),椭圆C上的点到f的距离的最小值

为1,则椭圆C的标准方程为；若尸为椭圆C上一动点，M(3,3),则

的最小值为.

答案1+9=11

解析因为椭圆C的一个焦点为尸(0,1),所以椭圆C的焦点在y轴上，且c=l,

因为椭圆C上的点到厂的距离的最小值为1,所以a—c=l,得a=2,

因为62=42一/=3,所以椭圆。的标准方程为q+2=1；

43

将M(3,3)代入椭圆方程，得理+^=役＞1,所以/点在椭圆外，

4312

如图所示，设椭圆C的另一个焦点为尸'，

则|P尸|+|尸尸|=4,

所以一尸F|=『M+|PF'1—4.

当尸，尸，M三点共线时，『必+『/'|取得最小值，

且最小值为此牛，|=叱3-0＞+(3+1)2=5,

所以『朋］一「间的最小值为1.

9.已知椭圆C：，+、=1(。汕＞0),焦点£(一c,0),F2(C,0),左顶点为4,点E的坐标为(0,

c),4到直线的距离为?b.

(1)求椭圆。的离心率；

(2)若尸为椭圆C上的一点，NF"=60。,△PQ出的面积为也，求椭圆C的标准方程.

解(1)由题意得，4(—4,0),

第14页共19页

直线的方程为x+y=c,

因为/到直线EF2的距离为近b,

2

即与口=亚6,所以a+c=Sb,

VP+122

即(〃+c)2=3按，又b2=a2—c2,

所以(a+c)2=3(层一c2),

所以2c2+ac—岸=(),

即2e2+e-l=0,

解得e=；或e=-M舍)，

所以椭圆C的离心率梏

(2)由(1)知离心率e=2=1,即。=2c,①

a2

因为/KPB=60。，APFiFz的面积为S，

则;|尸尸山尸尸2|sin600=3,

所以|PFi||PB|=4,

\PFi\+\PF\=2a,

由方程组2

222

\PF\|+|PF2|~2\PF\||PF2|COS60°=(2c),

得a2—《2=3,②

联立①②得。=2,c=l,所以从=〃2­02=3,

所以椭圆C的标准方程为

10.已知Fi,B是椭圆的两个焦点，尸为椭圆上一点，ZF|PF2=60°.

(1)求椭圆的离心率的取值范围；

(2)求证：△回尸尸2的面积只与椭圆的短轴长有关.

⑴解不妨设椭圆的方程为5+，=1(心6>0)，焦距为2c.

在中，由余弦定理得，

COS6。。」呐2+匹尸尸园2

2\PFx\-\PF^

_(甲¥|+|P尸2|)2—2|PQ卜|尸尸2|一「RF

2|PFI|-|PF2|

即4a2—2|产田4c2=1

2\PF\\-\PF^\―2'

所以|•|P/囹=4层一2|尸Q|•|P/囹-4c2,

第15页共19页

2

所以3|PFI|-|PF2|=4Z>,

所以「外卜|尸/囹=华.

呼1+此2rl

又因为|尸£卜甲尸2氏12»=/,

当且仅当|PB|=|Pk2|=。时，等号成立，

所以3a2^4（^2—c2）,

所以

a2

所以

2

又因为

所以所求椭圆的离心率的取值范围是1）

⑵证明由（1）可知尸午，

所以S△耳明=，PBHPF2|sin60°

=-X—X—

232

=晶2

3，

所以△QPB的面积只与椭圆的短轴长有关.

文综合提升练

11.（多选）（2023•长沙模拟）人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地

球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律,

即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距

分别为2a,2c,下列结论正确的是（）

A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c]

B.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆

D.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

答案ACD

第16页共19页

解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是6f+c],A正确；

根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度

最小，B不正确；

一一1,比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；

a+c1+e1+e

当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D

正确.

22

12.（2022・邯郸模拟）已知桶圆彳+点=1的左、右焦点分别为尸2,点尸在椭圆上，设线

段尸Fi的中点为M，且|OB|=QM，则△尸的面积为.

答案V15

解析由题意可得。=3,b—yfi,C=A/9-5=2.

如图，因为O,M分别是为尸2和PQ的中点，所以|PB|=2QM=2Q尸2|=2C=4,根据椭圆

定义，可得|PQ|=2a—2c=2,又因为回尸2|=2C=4,所以cos/尸=-1+1内?一|尸尸二

2|PF2|-|FIF2|

_16+16~4_7

2X4X48'

所以sin/PBE=41—cos2/P尸2a=皿，

8

故△PQ尸2的面积为，P&HQ尸2|-sin/尸尸2尸1=而.

W拓展冲刺练

22

13.（多选）（2023•青岛模拟）已知椭圆C