新高考数学（B）人教A版一轮复习 课时规范练38 空间几何中的向量方法

课时规范练38空间几何中的向量方法

基础巩固组

1.已知二面角a步的两个半平面a与P的法向量分别为a,b,若＜a,b＞三，则二面角a/£的大小为（）

A.|B与

弓嵋D

2.两平行平面a,夕分别经过坐标原点。和点4（2,1,1）,且两平面的一个法向量n=（l,0,1）,则两平面间的

距离是（）

A.|B.yC.V3D.3V2

3.

已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,P4=PO=*，平面/8C。丄平面PAD,M是

PC的中点，。是ND的中点，则直线8M与平面PC。所成角的正弦值是（）

A年B竿

V85卜8V85

C•而D育

4.

如图，空间正方体Z8CD48QA中,MN分别是CD,CG的中点，则异面直线小阳与ON所成角的大

小是（)

D.?

5.如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面/8CO是菱形，且尸/丄平面ABCD,PA=AD=AC,^FPC

的中点，则二面角C8FQ的正切值为（）

A塀B.f

64

C.苧D萼

6.若直线/的方向向量a=(2,3,1),平面a的一个法向量n=(4,0,1),则直线/与平面a所成角的正弦值

为.

7.已知点E,尸分别在正方体4BCDABCD的棱BB\,CCi上，且8|E=2E8,CF=2"j,则平面4EF与平

面/8C所成的二面角的余弦值等于.

8.

(2019辽宁育才学校模拟,19)在四棱锥PABCD中，侧面产力。丄底面底面/8C。为直角梯形,8C

//AD,ZADC=90°,BC=CD=^AD=\,PA=PD,E,F分别为AD,PC的中点.

⑴略；

(2)若PE=EC,求二面角FBEA的余弦值.

9.

(2019四川广安诊断一,19)如图，在棱长为2的正方体中,M是线段上的动点.

⑴略；

⑵略；

(3)判断点拉到平面小囱C的距离是否为定值?若是，求出定值;若不是，请说明理由.

综合提升组

10.已知在正四面体N8CD中,E为棱4。的中点，则CE与平面的夹角的正弦值为()

A.yB.yC.1D.y

11

(2019江苏苏州考前模拟)在四棱锥PABCD中/B//CD4B=2CD=2BC=2AD=4,N

DAB=60Q^E=BE^PAD为正三角形,且平面PAD丄平面ABCD.

(1)求二面角PECD的余弦值;

⑵略

12.

(2019江西名校5月联考,18)已知空间几何体Z8CDE中,△8C。与△€?£>£■均为边长为2的等边三角

形,ZUSC为腰长为的等腰三角形，平面C0E丄平面88,平面/8C丄平面BCD.

⑴略；

(2)求直线BE与平面AEC所成角的正弦值.

13

如图，平面/8OE丄平面N8CC/8C是等腰直角三角形〃C=5C=4,四边形/8DE是直角梯形,8。〃

AE,BD丄B4BD44E=2,O,M分别为CE/B的中点.

(1)求异面直角与CE所成角的大小；

(2)求直线8与平面。。用所成角的正弦值.

创新应用组

14

在三棱锥ABCD中〃8=ZD=8Z)=2,8C=DC=変,/C=2.

(1)求证丄/C;

(2)点尸为NC上一动点，设。为直线BP与平面ACD所形成的角，求sin。的最大值.

15

(2019陕西咸阳模拟一,19)如图，在四棱锥PN8CZ)中，底面/BCD是菱形，/

ABC=\20°,PA=PC,PB=PD4CCBD=0.

(1)求证:尸。丄平面

(2)若PN与平面N8CD所成的角为30°，求二面角8PCZ)的余弦值.

参考答案

课时规范练38空间几何

中的向量方法

1.C由于二面角的范围是［0两,而二面角的两个半平面a与P的法向量都有两个方向，因

此二面角aW的大小为冢等，故选C.

2.B两平面的一个单位法向量加=(-圣0,苧)，故两平面间的距离(1=研110尸争

3.

D以。为原点,以褊、方和方为x轴/轴/轴正方向,建立空间直角坐标系，如图所示.

由题可知0(0,0,0),尸(0,0,2),5(1,2,0),。(1,2,0),贝丽=(0,0,2),而=(1,2,0),

丁威是PC的中点，.:西=(|,1,1).

设平面尸CO的一个法向量n=(xj2),直线8〃与平面PCO所成角为仇

则『亚=2z=。,可取12丄0),

sin^=|cos<gM,n>|=-n=-r=-——=•故选D.

13^凹f'同居85

4.D以。为原点,ON,OC,。。所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为

1岀(1,0,1),〃(0,1,0)Q(0,0,0),N(0,1,则

9=(弓I),丽=(0,《),cos<砌面〉:篇款=0..：<M4,DN>=^.

5.D如图所示，设ZC与8。交于点O,连接。上以。为坐标原点,08。。。/所在直线分

别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.

设PA=AD=AC=\M瓦>机,所以

(9(0,0,0),5(y,0,0),F(0,0,1),C(0,1,0),0C=(0,1,0)，易知瓦为平面BDF的一个法向量，由

前=（多*，而=（*）,9,可得平面8"的一个法向量为n=（l,V3,V3）.O

cos<n,赤〉咛,sin<n万］>=苧，所以tan<n,而>=苧.故二面角CBFD的正切值为竽.

6.竇由题意，得直线/与平面a所成角的正弦值为端=悬后=要.

7.

響如图,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,平面/8C的一个法向量为

1=(0,0,1),平面AEF的一个法向量为n2=(x,y/).所以Z(1,0,0),E(1,1,；),尸(0,1,|),

n

y+|z=0,

0,

所以殍（漏）而国），吸嚅二即

-FF=0,-%+1z=0.

取x=l,则y=l,z=3.故112=(1,1,3).

匕匕［、］,Hi-n?3VI1

所以cos<nim>=鬲两=丁.

所求二面角的余弦值为誓.

8.解（2）由题意可知PE丄平面4BCD,BE丄4D,如图所示FE=EC=dED2+DC?=a，以E

为原点,EA,EB,EP分别为x,w建立直角坐标系，

则£(0,0,0),41,0,0)以0,1,04另，辛).

平面ME法向量可取n=（0,0,1）,

平面ESE中丽=（0,1,0）即=（另，苧）.设平面E5E的一个法向量为m=（a,b,c）,则

nvEB=0,

m-EF=0,

'b=0,

即1丄1厶丄/_

--cz+—p+—c—n0.

取c=l,得m=(V2,0,l),

1_V3

cos<m,n>=VJ=T-

由图得二面角FBEA的平面角为钝角，所以二面角FBEA的余弦值为

9.解(3)因为在正方体NC8D4C山Qi中〃8〃/山丿1囱(=平面平面A\B\C,/.

45〃平面4B1C.

.:点”到平面48c的距离等于上任意一点到平面4BC的距离.

取点"为48的中点.

丁在正方体中,C8,C4CCi两两互相垂直，

则建立空间直角坐标系Cx》z如图所示，

则M(l,1,0)41(0,2,2),3(2,0,2),C(0,0,0).西=(1,1,2),函=(2,0,2),两=(0,2,2),设

112=(X202/2)为平面N|81C的法向量，

则,2•畐=°，012y2+2Z2=0,

[yCB]=012%2+2Z2=0,

取乃=1,则y2=1^2=l,.^n2=(l,l,l).

点M到平面48c的距离]=粤牛=4=竽....点”到平面48°的距离定值

|n2|V33

10.B作NO丄平面BCD于点、O,则。是△BCD的中心，以。为坐标原点，直线OD为y

轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设—=2,则0(0,0,0)/(0,0,竽),C(l,y,0),E(0,半苧)，

一=(0,0,竽)，厘=Q等，爭,,:cos＜或范=謠静=武W=恭CE与

1111——XVD

平面BCD的夹角的正弦值为当.

11.解⑴设O是中点，：,△RW为正三角形，.:PO丄/D：,平面丄平面N6C。,.：

PO丄平面ABCD.

又AD=4E=2,/DAB=60°,

.为正三角形,OE丄/。，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,

则P(0,0,V3),^(0,V3,0),C(2,V3,0),0(1,0,0),

于是定=(2,百，百)，屍=(0,百,百),加=(1,0,g),

设平面PEC的法向量为ni=(x,y,z),

由戸？，111=0,方工尸。,得一个法向量为m=(0,1,1),设平面EOC的一个法向量为

112=(0,0,1),

设二面角PECO的平面角为仇

则|cos例=|cos<ni,H2>|=^=y.

由图知。为锐角，所以，二面角PECO的余弦值为苧.

12.解(2)以CD中点。为坐标原点。。所在直线为x轴,08所在直线为y轴,OE所在直

线为z轴,建立空间直角坐标系.C(1,0,0),£(0,0,遅),8。遅,0),4(1,y,2V3),5F=(0,V3,V3),

设n=(x,*)丄平面NEC，|^=一卜+孚丫卡岛=o,

x=-V3,

y=-3,

-z=1.

..74V32V26

••sma=co1sO=K^=F-.

即所求角的正弦值为誉.

13.解⑴：7)8丄8/,平面/8DE丄平面/8C,平面/BOEfl平面A8C=A8Q8u平面ABDE,

.：。8丄平面ABC.

78D〃/E,.：EN丄平面ABC.

如图所示，以C为坐标原点,分别以C4cB所在直线为xj轴,以过点。且与£4平行

的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

:NC=8C=4,.：C(0,0,0)44,0,0),8(0,4,0),E(4,0,4).

•••通=(4,4,0),聲(4,0,4).

—>―>.161

.：cos</“E>=石而夜亍

.：异面直线”与CE所成角的大小为半

(2)由(1)知。(2,0,2),。(0,4,2),加(2,2,0),；.而=(0,4,2),而=(2,4,0),而=(2,2,2).

设平面O0M的法向量为n=(x,y,z),

则由卜丄匹可得『紀?°

[n1MD,(-2%+2y+2z=0.

令x=2,则_y=l,z=l,.：n=(2,l,l).

设直线CD与平面所成的角为“

则sin6=|cos<n,而>|=墨=禦，.：直线CD与平面ODW所成角的正弦值为

\n\\CD|10

V30

To-,

14.

解⑴证明:取BD中点瓦连接AE,CE,*.NB=AD=BD=2,又E为BD中点，.:ZE丄3。,

同理可得CE丄BD,又AECCE=E,

.：8。丄平面ZCE,又NCu平面ACE,.\BDLAC.

(2)VAB=AD=BD=2,BC=DC=y/2,

:."CD为直角三角形，且AE=y/3,CE=1,.\AE2+EC2=AC2,

.：N/EC=],即AELEC,又NE丄8。所以ZE丄平面BCD以E为坐标原点,EC为x

轴,为y轴,EN为z轴建立如图直角坐标系Exyz.

则8(0,1,0),。(0,1,0)0(1,0,0)40,0遍)，设

P(xo,yo/o),4P=/u4C(OW/lWl),AC=(l,O,V^),AP=(xojo,zoV5),.：

(xo,yo^oV3)=A(1,0,V3)=(2,0,V3A),

%o=入，仔0=入，

yo=°，即卜o=0，

ZQ-Y/3=入,(z()=V3-V3A,

.：PG,0,V3-V3A),FP=(A,1,V3-毎)，育=(0,1,g),虎=(1,1,0),设n=(xi/i/i)是平

面心的