现代机械工程图学 课件 第4章-切割体与叠加体

第4章切割体与叠加体4.1基本体的投影4.2切割体的投影4.3叠加体的投影

根据立体的组成可以把立体分为基本体和组合体。柱、锥、球、圆环等几何体是基本体。a)棱柱b)棱锥c)圆柱d)圆锥e)圆球f)圆环图4-1基本体§4.1.1平面立体的投影§4.1.2曲面立体的投影§4.1基本体的投影平面立体----各表面都是平面图形的实体

工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）和棱锥（棱台）。

绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有平面的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的交线(棱线)和各顶点(棱线的交点)的投影。图4-2平面立体棱线棱台棱柱棱锥§4.1.1平面立体的投影作图:如图4-3所示。1、棱柱的投影

（1）棱柱的三视图

分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。a)直观图b)投影图图4-3正六棱柱的投影§4.1.1平面立体的投影

由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。（2）棱柱表面上点的投影a)直观图MABDC图4-4正六棱柱表面取点§4.1.1平面立体的投影ABd

dd

DAB为铅垂线AD为水平线a(b)a

b

m

m

mn

n

nMNa

b

【例4-1】

已知六棱柱表面上点M的正面投影m'和N点的水平投影n

，求其另两面投影，并判别可见性。点的可见性判别：若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。§4.1.1平面立体的投影图4-4正六棱柱表面取点步骤：

画图——画出棱线和顶点的投影(1)画底面△ABC

的三投影;(2)画顶点S

的三投影;(3)画左棱面△SAB

的三投影；(4)画右棱面△SBC

的三投影；(5)画后棱面△SAC

的三投影。XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”A

C

B

S

S

A

C

B

S

A

C

B

S

A

C

B

§4.1.1平面立体的投影2、棱锥的投影

（1）棱锥的三视图图4-5三棱锥的三视图XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”（2）投影分析

(1)底面△ABC

：一个三角形、两条直线。(水平面)

注意：一个粗实线封闭的线框，表示一个面的投影，通常又是两个表面的重影。

(2)左棱面△SAB

：三个三角形。(一般位置平面)

(3)右棱面△SBC

：三个三角形。(一般位置平面)

(4)后棱面△SAC

：两个三角形、一条直线。(侧垂面)XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”§4.1.1平面立体的投影图4-5三棱锥的三视图【例4-2】已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m')和n'

，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。（3）棱锥表面上点的投影a)直观图b)投影图n

n

Nmn作图方法1nn

采用什么方法？平面上作辅助线b'a's'c'sabc(c")a"b"s"n

(m)m

图4-6三棱锥表面取点§4.1.1平面立体的投影b'a's'c'sabc(c")a"b"s"【例4-2】已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m')和n'

，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。a)直观图b)投影图作图方法2:图4-6三棱锥表面取点n

nn

n

n

Nn§4.1.1平面立体的投影（3）棱锥表面上点的投影SABC平面立体表面上的线作图方法：与立体表面取点相同。注意：

只有在同一表面内的相邻两点的同面投影才可以相连！1'

2'

空间为一折线Ⅰ

Ⅱ

组成折线的两条线段的共有点（转折点）在两个面的交线（棱线）上。转折点s'

a'

b'(d')c'

adcbs

§4.1.1平面立体的投影（3）棱锥表面上点的投影图4-7四棱锥表面取线s'

a'

b'(d')c'

adcbs

【例4-3】已知四棱锥表面上线段的正面投影，求其水平投影。1'

2'

3'

3f'

fh'

g'gh12作图：

(1)求取过Ⅲ的直线ⅢF

的投影

;

(2)延长1’2’，分别交s’a’、s’c’于g’、h’;

(3)作GⅢ与ⅢH

的水平投影；

(4)求点Ⅰ和点Ⅱ的水平投影；

(5)判断可见性并连线。§4.1.1平面立体的投影图4-7四棱锥表面取线（3）棱锥表面上点的投影§4.1.1平面立体的投影§4.1.2曲面立体的投影§4.1基本体的投影曲面立体——表面是平面与曲面或曲面的实体曲面---

一动线（直线、圆弧或其他曲线）在空间连续运动所形成的轨迹。母线----形成曲面的动线素线----母线在曲面上的任一位置回转面---母线绕固定轴线作回转运动形成的曲面回转体——表面有回转面的立体a)轴线母线图4-8回转体和回转面的形成b)§4.1.2曲面立体的投影工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。a)圆柱b)圆锥c)圆球d)圆环图4-9

常见的回转体

绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和平面的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶的投影以及转向轮廓线的投影。转向轮廓线——曲面上可见面与不可见面的分界线。§4.1.2曲面立体的投影1.圆柱——由圆柱面、顶面、底面围成圆柱面——一直线绕与它平行的轴线回转而成。圆柱立体分析:当圆柱的轴线是铅垂线时,圆柱面上的所有素线都是铅垂线,顶面和底面为水平面。图4-10圆柱的形成§4.1.2曲面立体的投影(1)圆柱的投影

圆柱的投影分析:

顶面、底面的水平投影重合为一圆，正面投影和侧面投影分别重影为两直线；圆柱面的水平投影积聚为一圆，正面投影和侧面投影分别为转向轮廓线的投影。转向轮廓线图4-11圆柱的投影§4.1.2曲面立体的投影作圆柱投影图圆柱的投影特性:回转轴线用点画线表示；水平投影积聚为一圆；正面投影和侧面投影均为矩形。图4-11圆柱的投影四条转向轮廓线最左、最右最前、最后§4.1.2曲面立体的投影

(2)圆柱面上取点

【例4-4】已知圆柱表面上点A、B、C、D的一面投影，求出点的另两面投影，并判别可见性。aa"(a')分析：点在圆柱面上，利用水平投影积聚性，可以求出点的水平投影。bb'(b")图4-12圆柱面上取点作图：如图4-12所示。c"(d)(c')cd'd"§4.1.2曲面立体的投影【例4-5】已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。a”a'

c'

c”b”(b')d”f”dd'

ACB的侧面投影acbf(f‘)分析：线段的侧面投影随圆柱面积聚为一段圆弧，可利用积聚性作图。作图：(1)取特殊点;(2)取一般点；(3)判断可见性，光滑连线。§4.1.2曲面立体的投影

(3)圆柱面上取线图4-13圆柱面上取线2.圆锥——由圆锥面、底面围成圆锥面----

一直线绕与它相交的轴线回转而成。圆锥立体分析:当圆锥的轴线是铅垂线时,底面为水平面，圆锥面上的所有素线都是通过锥顶的直线。图4-14圆锥的形成§4.1.2曲面立体的投影(1)圆锥的投影转向轮廓线

圆锥的投影分析:

底面的水平投影反映实形为一个圆，正面投影和侧面投影分别重影为一直线；圆锥面的水平投影为一个圆，正面投影和侧面投影分别为转向轮廓线的投影。图4-15圆锥的投影§4.1.2曲面立体的投影(2)圆锥面上取点图4-16圆锥面上取点a)b)a'作图方法1：辅助素线法a"sAbab"b'辅助素线【例4-6】已知圆锥表面上点A的一面投影，求出点的另两面投影，并判别可见性。§4.1.2曲面立体的投影a'sa"aA图4-16圆锥面上取点c)d)作图方法2：辅助纬圆法辅助纬圆

用辅助直线进行取点作图的方法只适用于母线为直线的曲面，而利用垂直于轴线的辅助圆进行作图的方法，可适用于各种回转曲面。§4.1.2曲面立体的投影【例4-7】已知圆锥面上曲线的侧面投影，求其余两面投影。abc(d)a'b'c'd'e'ss's”(e)km”n”n'k”b”d”k'm'a”c”e”分析：可用纬圆法或直素线法求解;水平投影ac可见,ce不可见；线段正面投影全可见。作图：(1)特殊点；(2)一般点；(3)判断可见性，连线。§4.1.2曲面立体的投影(2)圆锥面上取线图4-17圆锥面上取线3.圆球——由球面围成球面——半圆绕其直径为轴线回转一周而成。图4-18圆球的形成§4.1.2曲面立体的投影(1)球的投影图4-19圆球的投影a)b)c)d)最大水平圆最大正平圆最大侧平圆§4.1.2曲面立体的投影作球的投影图球的投影特性三个投影均为平行于投影面的最大圆的投影（转向轮廓线的投影）；圆的直径=球的直径；三个圆均无积聚性。图4-19圆球的投影§4.1.2曲面立体的投影a'(2)球面上取点

【例4-8】已知圆球表面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。a"Aa图4-20球面上取点a)b)辅助纬圆用辅助纬圆法作图§4.1.2曲面立体的投影【例4-9】已知圆球面上曲线的正面投影，求其余两面投影。b'c'a'c(c”)aa”bb”e'e(e”)d'dd”分析：只能用纬圆法作图；线段在上半圆球面上，则其水平投影可见；点A在与W面平行的圆素线上，它将线段的侧面投影分为可见和不可见的两部分。作图：(1)求特殊点A、B、C

；(2)求线段上的一般点D、E；(3)判断可见性，连线。(3)球面上取线§4.1.2曲面立体的投影图4-21球面上取线

一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转而成。4、

圆环*§4.1.2曲面立体的投影图4-22圆环的形成（1）圆环的投影§4.1.2曲面立体的投影图4-23圆环的投影（2）.圆环的投影特点

主视图是极限位置素线和内、外环分圆的投影；俯视图是上、下环面的投影；左视图与主视图相同。§4.1.2曲面立体的投影图4-23圆环的投影m1'2（3）、圆环表面上取点m'（n'）12'

采用辅助圆法求圆环面上的点或线§4.1.2曲面立体的投影图4-24圆环表面上取点§4.2.1平面立体切割§4.2.2曲面立体切割§4.2切割体的投影

在零件表面上常会遇到平面与立体和立体与立体相交的情况，如图4-23所示为带交线的零件。在画图时为了准确地表达它们的形状，必须画出它们所产生交线的投影。

图4-25带交线的零件实例

a)顶尖（截交线）

b)拨叉轴（截交线）c)管接头（相贯线）截平面:截切立体的平面截交线:截平面与立体表面的交线截断面:立体被截切后的断面截交线的基本概念：切割体:基本体被平面截切后的部分图4-26截交线的基本概念§4.2.1平面立体切割【例4-10】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。5″4″3″2″1″12453676″7″1′2′(3′)4′(5′)6′(7′)截平面和棱柱表面均有积聚性，利用积聚投影法来求。整理图线：画出棱柱的投影；画出截交线的投影；截交线的正面投影——落在截平面的积聚性投影上；截交线的水平投影——落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面交线，交于一条正垂线。截交线的侧面投影——截交线的两个投影已知，求出截交点的第三投影来连得§4.2.1平面立体切割1'6"61538"785"(4')2'(3')(5')8'(6')7'(4)(2)7"2"1"4"3"【例4-11】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。§4.2.1平面立体切割23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）【例4-12】补齐四棱锥截切后的水平与侧面投影§4.2.1平面立体切割【例4-13】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。1、空间分析立体表面交线的形状？

——空间10边形2、投影分析

截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；1′2′(10′)3′(9′)4′(8′)5′(7′)6′1210391″2″10″9″3″8″4″847″5″6″675——水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边；——侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。3、投影作图4、整理图线§4.2.1平面立体切割§4.2.1平面立体切割§4.2.2曲面立体切割§4.2切割体的投影截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。截交线一般是封闭的平面曲线或平面曲线与直线组成。求截交线的方法：求截平面与回转体表面的共有点。截交线的性质：§4.2.2曲面立体切割

画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。

☆先找特殊点，再补充中间点。求截交线的步骤：

空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以确定截交线的形状。☆分析截平面投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。§4.2.2曲面立体切割1、平面与圆柱相交圆柱被截后截交线的形状,取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。垂直圆椭圆平行两直线倾斜与圆柱面相交截交线的形状与轴线截交线投影§4.2.2曲面立体切割图4-27平面截切圆柱面【例4-14】求平面与圆柱相交的三面投影。分析：形体分析与投影分析；②找特殊点作图步骤：

①补全圆柱的投影

ⅠⅡⅢⅣ12341'2'(4')3'1"2"3"4"§4.2.2曲面立体切割【例4-14】求平面与圆柱相交的三面投影。分析：形体分析与投影分析；②找特殊点作图步骤：

①补全圆柱的投影ⅠⅡⅢⅣ5678(6')5'7'(8')6"5"7"8"③作一般点ⅥⅤⅦⅧ④光滑连线⑤完成截断体的轮廓§4.2.2曲面立体切割

在没有积聚性的投影面上，截交线的投影一般仍为椭圆。

1)当α＝45°时，截交线的投影是圆；

2)当α＞45°时或α＜45°时，截交线的投影是椭圆。PVαα＜45°QVαα＝45°RVαα＞45°§4.2.2曲面立体切割★空间及投影分析★求截交线★完善圆柱轮廓截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。

【例4-15】:求作圆柱切口开槽后的视图●1′(2′)3′(4′)1″●2″●●●4(2)●3(1)●3″4″●4●2●13●§4.2.2曲面立体切割【例4-16】：求水平投影§4.2.2曲面立体切割【例4-17】求水平投影§4.2.2曲面立体切割【例4-18】

画全三面投影§4.2.2曲面立体切割2、平面与圆锥相交θ=90°θ＝ααθ＞

＞90°90°

≤θ＜α过锥顶两相交直线圆椭圆抛物线α

α

θ

α

θ双曲线α

θ

与圆锥面相交截交线的形状圆锥被截后截交线的形状,取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。截平面截交线投影§4.2.2曲面立体切割图4-28平面截切圆锥面

【例4-19】已知一直立圆锥被正垂面截切，求作截交线，完成其水平投影和侧面投影。空间分析与投影分析；②找特殊点作图步骤：

①补全圆锥的投影ⅣⅠⅡⅤⅢ1'2'3'4'12342"4"3"5'5"5③作一般点④光滑连线⑤完成截断体的轮廓1"§4.2.2曲面立体切割⑥检查、完成。§4.2.2曲面立体切割

【例4-19】已知一直立圆锥被正垂面截切，求作截交线，完成其水平投影和侧面投影。e

●c

●a

●d

●b

●

【例4-20】圆锥被一与其轴线平行的截平面切割，试完成截交线的正面投影。E

D

C

A

B

d′●c′●e′●a′●b′●§4.2.2曲面立体切割【例4-21】求圆台截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、

Ⅱ、Ⅲ

；3．出一般点Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。a2314"5"1"1'a'2"3"2'3'544'5'§4.2.2曲面立体切割难点：【例4-22】补齐圆锥的水平和侧面投影§4.2.2曲面立体切割平面与球面的交线总是圆3、平面与圆球相交图4-29

平面与球面交线的基本作图§4.2.2曲面立体切割【例4-23】完成半球切槽的水平投影和侧面投影。分析：

切槽由一对侧平面和水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。方法——纬圆法。§4.2.2曲面立体切割分析：

切槽由一对侧平面和水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。方法——纬圆法。【例4-23】完成半球切槽的水平投影和侧面投影。§4.2.2曲面立体切割ΔyR=Δy作图：(1)求截交线的水平投影；(2)求截交线的侧面投影；【例4-23】完成半球切槽的水平投影和侧面投影。§4.2.2曲面立体切割R=Δy注意：侧面投影图中，水平面以上的球面轮廓线已不存在。Δy(3)完成作图。作图：(1)求截交线的水平投影；(2)求截交线的侧面投影；【例4-23】完成半球切槽的水平投影和侧面投影。§4.2.2曲面立体切割§4.3.1平面立体与曲面立体相贯§4.3.2平面立体与平面立体相贯§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯4.3叠加体的投影相贯体及相贯线的概念相贯体—两个相交的立体相贯线—相交立体表面的交线图4-30相贯的基本概念平面体与曲面体相贯平面体与平面体相贯曲面立体与曲面立体相贯1.相贯线的性质

相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。2.作图方法

分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。

求出各棱面与回转体表面的截交线。

连接各段交线，并判断可见性。

求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。§4.3.1平面立体与曲面立体相贯*21(2')1'3'33"1"2"4'(5')455"4"解题步骤1、找已知投影。2、确定相贯线的形式。3、根据相贯线的投影特性绘制相贯线。【例4-24】已知四棱台与圆柱体相交，补画主视图和左视图上相贯线的投影。§4.3.1平面立体与曲面立体相贯*【例4-25】补全正投影

空间分析：四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。

投影分析：由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。§4.3.1平面立体与曲面立体相贯*【例4-25】补全正投影§4.3.1平面立体与曲面立体相贯*§4.3.1平面立体与曲面立体相贯§4.3.2平面立体与平面立体相贯§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯4.3叠加体的投影

平面立体与平面立体相贯时，由于平面立体是由平面组成的，因此两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是A形体的一个侧面与B形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。相贯线实质就是平面与平面立体的截交线，整个相贯线是由封闭的若干段平面截交线组成的。§4.3.2平面立体与曲面立体相贯*图4-31平面体与平面体相贯§4.3.2平面立体与曲面立体相贯*【例4-26】

两平面立体相贯，完成相贯线的投影

解题步骤1．分析相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面投影未知，水平投影已知；相贯线的投影前后、左右对称。2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。2'1'1233'§4.3.1平面立体与曲面立体相贯§4.3.2平面立体与平面立体相贯§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯4.3叠加体的投影图4-32两曲面体相贯线的性质a)相贯线为封闭的空间曲线b)相贯线为不封闭的空间曲线d)相贯线为直线c)相贯线为平面曲线相贯线性质：共有性:相贯线是两立体表面的共有线。

封闭性:相贯线一般为封闭光滑的空间曲线，特殊情况可能为不封闭的空间曲线,也可能为平面曲线或直线。§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯相贯线的求画方法求画相贯线的实质就是要求出两立体表面一系列的共有点。作图方法：①表面取点法②辅助平面法③辅助球面法作图步骤：①

分析两回转体的形状、相对位置及相贯线的空间形状,然后分析相贯线有无积聚性的投影。②

作特殊点的投影。③

作一般点的投影。④

判别可见性。⑤

光滑连接。§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯1．表面取点法求相贯线【例4-27】两圆柱相交，完成正面投影。ⅠⅡⅢⅣ作图步骤：①找特殊点：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影形体分析与投影分析:找出两立体的积聚投影3'1'242'(4')13(2")3"4"1"6'5'5ⅤⅥ65"(6")②求一般点Ⅴ

、Ⅵ的投影③判断可见性，光滑连线,完成作图。§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯【例4-28】

求出其相贯线§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯

两形体相贯时，如果两形体的形状、大小和相对位置均相同，则无论相贯形式如何，相贯线的形状和作图方法都相同。外外相贯外内相贯内内相贯外外相贯、内内相贯、外内相贯两圆柱相贯的三种形式§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯两轴线正交圆柱相贯线的趋势§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯【例4-28】画出两轴线正交的圆柱孔的相贯线§4.3.3曲面立体与曲面立体相贯【例4-29】已知俯视图和左视图，求主视图。●●●●●●●●●●●●●●●●●