线性代数矩阵的初等变换

关于线性代数矩阵的初等变换课本§2.5矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、矩阵的等价关系三、初等矩阵四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程第2页,共39页，2024年2月25日，星期天

矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它起源于解线性方程组的消元法。利用初等变换，可以将矩阵A化为形状简单的矩阵B，通过形状简单的B来探讨A的性质。在求逆阵及矩阵理论的探讨等研究中都起重要的作用。第3页,共39页，2024年2月25日，星期天一、矩阵的初等变换下列三种变换称为矩阵的初等行变换：定义1第4页,共39页，2024年2月25日，星期天下列三种变换称为矩阵的初等行变换：定义1一、矩阵的初等变换第5页,共39页，2024年2月25日，星期天下列三种变换称为矩阵的初等行变换：定义1一、矩阵的初等变换第6页,共39页，2024年2月25日，星期天同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．一、矩阵的初等变换第7页,共39页，2024年2月25日，星期天注意

矩阵的初等变换的逆变换仍是初等变换，且

逆变换和原变换是同一类型的初等变换.第8页,共39页，2024年2月25日，星期天二、矩阵的等价关系或A→B

第9页,共39页，2024年2月25日，星期天二、矩阵的等价关系满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，例如矩阵B:(1)元素全为零的行

(若有的话)位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大.第10页,共39页，2024年2月25日，星期天二、矩阵的等价关系满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵,例如矩阵C

：(1)各非零行的首非零元都是1；(2)每个首非零元1所在列的其余元素都是零.第11页,共39页，2024年2月25日，星期天二、矩阵的等价关系矩阵D称为原矩阵A的标准形，具有的特点是：D的左上角是一个单位矩阵，其余元素全是0.第12页,共39页，2024年2月25日，星期天二、矩阵的等价关系满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵:(1)元素全为零的行

(若有的话)位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大.是不是是纠正第13页,共39页，2024年2月25日，星期天二、矩阵的等价关系注意：可以存在r=0或m=n=r的情况矩阵D称为原矩阵A的标准形，具有的特点是：D的左上角是一个单位矩阵，其余元素全是0.第14页,共39页，2024年2月25日，星期天二、矩阵的等价关系第15页,共39页，2024年2月25日，星期天定义3对单位矩阵E

进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应三种初等矩阵.三、初等矩阵1、交换两行(列)

2、以非零数k乘某一行(列)中的所有元素

3、把某一行(列)的l

倍加到另一行(列)上去

第16页,共39页，2024年2月25日，星期天三、初等矩阵第17页,共39页，2024年2月25日，星期天三、初等矩阵第18页,共39页，2024年2月25日，星期天三、初等矩阵第19页,共39页，2024年2月25日，星期天初等矩阵的性质|A|≠0初等矩阵均可逆，初等矩阵的逆也是初等矩阵。|E|=1,利用行列式的性质。第20页,共39页，2024年2月25日，星期天三、初等矩阵第21页,共39页，2024年2月25日，星期天三、初等矩阵第22页,共39页，2024年2月25日，星期天三、初等矩阵第23页,共39页，2024年2月25日，星期天定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)

设A是一个m

n矩阵

对A施行一次初等行变换

相当于相应的m阶初等矩阵左乘A

~r1

r2补例

设

则有第24页,共39页，2024年2月25日，星期天定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)

设A是一个m

n矩阵

对A施行一次初等行变换

相当于相应的m阶初等矩阵左乘A

对A施行一次初等列变换

相当于相应的n阶初等矩阵右乘A

~c1

c2

补例

设

则有第25页,共39页，2024年2月25日，星期天定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)

设A是一个m

n矩阵

对A施行一次初等行变换

相当于相应的m阶初等矩阵左乘A

对A施行一次初等列变换

相当于相应的n阶初等矩阵右乘A

~c1+10c3补例

设，则有第26页,共39页，2024年2月25日，星期天四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程定理3(矩阵可逆的充要条件)n阶方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积。证明：充分性：初等矩阵可逆，如果将A表示为初等矩阵的乘积，则因为有限个同阶可逆矩阵的乘积是可逆矩阵（p45），故n阶方阵A可逆。必要性：设矩阵A可逆，则由推论1可知，矩阵A经过有限次初等变换可以化为单位矩阵E，再由定理2可知存在初等矩阵P1,P2，……Ps，Q1,Q2，……Qt，使得P1P2……PsAQ1Q2……Qt=E.所以A=Ps-1Ps-1-1……P1-1EQt-1Qt-1-1……Q1-1=Ps-1Ps-1-1……P1-1Qt-1Qt-1-1……Q1-1.定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)

设A是一个m

n矩阵

对A施行一次初等行变换

相当于相应的m阶初等矩阵左乘A

对A施行一次初等列变换

相当于相应的n阶初等矩阵右乘A

A可以表示为若干初等矩阵的乘积。证毕第27页,共39页，2024年2月25日，星期天定理3(矩阵可逆的充要条件)n阶方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积。若A可逆，则A-1也可逆，则由定理3可知，A-1=G1G2……Gk，（式1），即A-1=G1G2……GkE

（式2）式1左右两边右乘矩阵A,得A-1A=G1G2……GkA，E=G1G2……GkA，

（式3）式3表示对A施以若干次初等行变换可化为E；式2表示对E施以与式3相同的若干次初等行变换可化为A-1。两式合起来为G1G2……Gk(A

E)2n

(E

A

1)2n

四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程初等行变换n阶方阵A可逆第28页,共39页，2024年2月25日，星期天四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程若A可逆，则可以使用初等变换法求A-1第29页,共39页，2024年2月25日，星期天

解例4第30页,共39页，2024年2月25日，星期天第31页,共39页，2024年2月25日，星期天例5*四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程本例为用初等行变换求矩阵多项式的逆阵，只需在求解过程中将矩阵多项式看成一个整体即可.

第32页,共39页，2024年2月25日，星期天四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程第33页,共39页，2024年2月25日，星期天初等变换法求解矩阵方程:前提A可逆！四、初等变换法求逆矩阵与矩阵方程第34页,共39页，2024年2月25日，星期天例6解第35