挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题02认识三角形重难点题型专训(原卷版+解析)

专题02认识三角形重难点题型专训【题型目录】题型一用七巧板拼三角形题型二三角形的个数问题题型三确定第三边的取值范围题型四三角形三边关系的应用题型五与三角形高有关的计算问题题型六根据三角形的中线求长度、面积题型七三角形中的折叠角度问题题型八三角形有关的综合性问题【经典例题一用七巧板拼三角形】【例1】（2023秋·全国·七年级期末）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（

）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2023春·山西运城·七年级统考期末）如图，若已知七巧板拼图中的平行四边形的面积为则图中，最大正方形面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）用边长为的正方形纸板，制成一个七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②)，其中阴影部分的面积为______________________．【变式3】（2023春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．

四巧板【经典例题二三角形的个数问题】【例2】（2023春·全国·七年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(

)A．6(n-1)； B．6n； C．6(n+1)； D．12n；【变式训练】【变式1】（2022春·七年级单元测试）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（

）A．299 B．201 C．205 D．207【变式2】（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有______个各种大小的三角形．【变式3】（2023秋·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数35拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：______________．【经典例题三确定第三边的取值范围】三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。【拓展：三边关系的运用】①判断三条线段能否组成三角形；②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。【例3】（2023秋·重庆綦江·八年级校考阶段练习）在中，，AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，求的三边长分别为（）A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3【变式训练】【变式1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____．【变式3】（2023秋·安徽六安·八年级校考期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．（1）边BC的取值范围是；（2）△ABD与△ACD的周长之差为；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．【经典例题四三角形三边关系的应用】【例4】（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（

）A．10 B．8 C．7 D．5【变式训练】【变式1】（2023秋·山西大同·八年级统考期中）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米．【变式3】（2023秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【经典例题五与三角形高有关的计算问题】【解题技巧】图形的面积可以用两种面积公式求解，即可得到一个等量关系；【例5】（2023秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．4【变式训练】【变式1】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论：的面积＝的面积；；；．其中结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，D为中边上一点，，E是上一点，且的面积等于的一半，则_________．【变式3】（2023秋·全国·八年级期中）如图，在中，是的高．(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．(2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数．【经典例题六根据三角形的中线求长度、面积】【例6】（2023秋·八年级课时练习）在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（

）A．7 B．11 C．7或11 D．8或10【变式训练】【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图所示，中，，是的中线．若，，，则点D到的距离为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．3【变式2】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，的面积为1，分别延长，，到，，，使，，，得到，再分别延长，，到，，，使，，，再得到，则的面积为_____．【变式3】（2023秋·天津北辰·八年级统考期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6，AC=8，BC=10，∠CAB=，试求：(1)△ACE和△ABE的周长的差．(2)AD的长：(3)直接写出△ABE的面积．【经典例题七三角形中的折叠角度问题】【例7】（2023秋·天津静海·八年级校考阶段练习）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（

）A．148° B．116° C．32° D．30°【变式训练】【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(

)A． B． C． D．【变式2】（2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．【变式3】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．【经典例题八三角形有关的综合性问题】【例8】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．3【变式训练】【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，点在线段上，且，点在上，若，，，则的度数为________．【变式3】（2023春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）已知，，E为直线上一点，F为直线上一点，交于点G，且．(1)如图1，求证：．(2)如图2，和的数量关系是__________________．(3)如图3，在（2）的条件下，连接，相交于点H，和的平分线交于点P，若恰好平分，，，求的度数．【培优检测】1．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，，且，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则的面积等于（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全国·八年级期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（）A．a B． C． D．4．（2023春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：65．（2023秋·八年级单元测试）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（

）A．25 B．26 C．30 D．396．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，平分和，若，则（

）A． B． C． D．8．（2023秋·四川广元·八年级统考期中）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为______．10．（2023秋·全国·七年级专题练习）一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当是的一半时，_____°．11．（2023秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，，，，分别平分的外角，内角，外角；则以下结论：①；②；③；其中正确的结论有______________．12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在边上的点D处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的x值__．13．（2023秋·上海宝山·八年级校考期中）如图，在中，的外角平分线交延长线于，的外角平分线交延长线于，且，则的度数是_____________．14．（2023秋·重庆·八年级重庆八中校考开学考试）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________．15．（2023秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在中，点是边上一点，于点，连接，，，．求的度数．16．（2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在中，是的平分线，为线段上一个动点，于点，交的延长线于点．(1)若，，则_____________，_____________；(2)若，，求的度数；(3)若，，，求．（用含，的式子表示）17．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，．(1)如图1，、的平分线相交于点，则；(2)如图2，的外角、的平分线相交于点，则；(3)探究如图3，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，则的度数是．（用n的代数式表示）18．（2023秋·八年级单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，相交于点F，与的数量关系为．（2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由；（3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系．19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点．(1)当时，求．(2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系．(3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．20．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现之间的数量关系为；(2)如图2，当时，作等边，平分，交直线a于点M，平分，交直线b于点N，将绕点B转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；(3)点F为直线a上一点，使得，的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出与之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）专题02认识三角形重难点题型专训【题型目录】题型一用七巧板拼三角形题型二三角形的个数问题题型三确定第三边的取值范围题型四三角形三边关系的应用题型五与三角形高有关的计算问题题型六根据三角形的中线求长度、面积题型七三角形中的折叠角度问题题型八三角形有关的综合性问题【经典例题一用七巧板拼三角形】【例1】（2023秋·全国·七年级期末）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据7块薄板的边长间的关系，结合面积公式逐项分析即可．【详解】解：由题图可知，2与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于2的直角边，∴，∵5的边长等于2的直角边的一半，∴，，A正确；∵3相邻的两边分别与4的直角边和斜边相等，且3中的锐角为∴3与4同底等高，，∵4与6是两个全等的三角形，∴，∴，B正确；∵1与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于1的直角边，∴，C错误；∵6也是等腰直角三角形，且6的斜边等于7的直角边，∴，∵，∴，D正确．故选C．【点睛】本题考查了应用与设计作图，认准分成的各块塑料板的形状与大小是解题的关键，另外本题渗透利用了七巧板的思想，熟练掌握七巧板也很关键．【变式训练】【变式1】（2023春·山西运城·七年级统考期末）如图，若已知七巧板拼图中的平行四边形的面积为则图中，最大正方形面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据七巧板的性质，分别计算出每一块图形的面积，最后再求和即可．【详解】由题意可知，6号的面积为：2，则1号的面积为：1，2号的面积为：2，3号的面积为：2，4号的面积为：4，5号的面积为：1，7号的面积为：4，所以最大正方形面积为：．故选C．【点睛】本题考查了七巧板拼图，计算出每一块图形的面积是解题的关键．【变式2】（2023秋·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）用边长为的正方形纸板，制成一个七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②)，其中阴影部分的面积为______________________．【答案】【分析】七巧板的七个部分之和为正方形纸板面积，据此先求出七巧板中两个较大的等腰直角三角形的面积，再用正方形纸板面积减去这较大的两个等腰直角三角形面积和一个小等腰直角三角形面积即可．【详解】由正方形的对角线把正方形分成全等的四个等腰直角三角形，可得每个较大的等腰直角三角形的面积为：，小等腰直角三角形面积=1，所以“小天鹅”图案的阴影部分面积为：．故答案为：．【点睛】此题考查计算不规则图形的面积，熟悉七巧板各部分的特点是解决问题题之关键．【变式3】（2023春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．

四巧板【答案】见解析【分析】根据要求动手操作，画出图形即可．【详解】解：分割线如图所示：【点睛】本题考查直角梯形，四巧板，图形的拼剪等知识，解题的关键是学会动手操作，培养动手能力．【经典例题二三角形的个数问题】【例2】（2023春·全国·七年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(

)A．6(n-1)； B．6n； C．6(n+1)； D．12n；【答案】C【分析】从这三个图中找规律，可以先分别找出每个图形中三角形的个数，再分析三个数字之间的关系，从而得出第n个图形中三角形的个数．【详解】图（1）中，三角形的个数是,图（2）中，三角形的个数是,图（3）中，三角形的个数是,第n个图形中三角形的个数是，故选：C．【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．【变式训练】【变式1】（2022春·七年级单元测试）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（

）A．299 B．201 C．205 D．207【答案】B【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个小三角形，若有n个点时，一定是有2n+1个三角形，据此即可求解．【详解】解：根据题意当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个小三角形，……若有n个点时，一定是有2n+1个三角形．∴三角形的个数为：2n=1=2×100+1=201，故选B．【点睛】此题主要考查了利用平面内点的个数确定三角形个数，根据n取比较的数值时得到的数值，找出规律，再利用规律解决问题．【变式2】（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有______个各种大小的三角形．【答案】27【分析】把图中等腰直角三角形分成四类进行计数，从而可以不重复，不遗漏的得到答案．【详解】解：最小的等腰直角三角形有16个，由4个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有7个，由9个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有3个，由16个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有1个，∴一共有（个）．故答案为：27．【点睛】本题考查的是三角形的计数问题，关键是计数要注意不重复，不遗漏．【变式3】（2023秋·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数35拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：______________．【答案】继续探究：图见解析，7，；拓展联系：4，6，8，；概括提升：【分析】继续探究：由题意得出这些三角形的个数是从3开始的连续奇数，据此可得结论；拓展联系：分别画出图形，得到相关数据，总结规律即可；概括提升：根据n边形的内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成（2m+n-2）个互不重叠的小三角形，据此可得．【详解】解：继续探究：如图，在三角形纸片内部给定1个点,得到3个三角形;在三角形纸片内部给定2个点,得到5个三角形;在三角形纸片内部给定3个点,得到7个三角形;在三角形纸片内部给定n个点,得到(2n+1)个三角形;故填表得：内部点的个数123n得到三角形个数3572n+1拓展联系：如图：在四边形纸片内部给定1个点,得到4个三角形;在四边形纸片内部给定2个点,得到6个三角形;在四边形纸片内部给定3个点,得到8个三角形;在四边形纸片内部给定n个点,得到(2n+2)个三角形;填表如下：内部点的个数123n得到三角形个数468（2n+2）概括提升：(3)设纸片的边数为m,内部给定1个点,得到m个三角形,内部给定2个点,得到(m+2)个三角形,内部给定3个点,得到(m+2×2)个三角形,内部给定n个点,得到(2n+m-2)个三角形,∴x=2n+n-2.【点睛】此题考查图形的变化规律性；得到三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律是解决本题的关键．【经典例题三确定第三边的取值范围】三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。【拓展：三边关系的运用】①判断三条线段能否组成三角形；②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。【例3】（2023秋·重庆綦江·八年级校考阶段练习）在中，，AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，求的三边长分别为（）A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3【答案】A【分析】设，（），根据三角形中线的定义得到，根据AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，分两种情况列比例式，求出y和x的关系，最后求出AB、BC、AC三边的比值，选出答案．【详解】设，（），∵CD是AB边上的中线，∴，∵与是中线CD将的周长分为15和6的两部分，∴当时，，当时，，不合，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了代数几何综合应用，三角形中线，三角形的三边，解决问题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形中线的定义，列比例式解方程，三角形三边的关系．【变式训练】【变式1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形三边关系，∴三角形的第三边x满足：，即，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．【变式2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____．【答案】x=8或x≥16【分析】当x=8或x≥16时，三角形是唯一确定的．【详解】解：∵点B到射线AM的距离为8，AB=16，∴当BC⊥AM时，有BC=8，此时△ABC是直角三角形，当BC≥AB时，∴△ABC是钝角三角形，且只有∠ABC是钝角，当8＜BC＜16时，△ABC可能是钝角三角形也可能是锐角三角形，综上：△ABC的形状、大小是唯一确定的，则有∠ACB=90°或BC≥AB，则x的取值范围是x=8或x≥16，故答案为：x=8或x≥16．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3】（2023秋·安徽六安·八年级校考期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．（1）边BC的取值范围是；（2）△ABD与△ACD的周长之差为；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将△ABD与△ACD的周长之差转换为和的差即可得出答案；（3）设AC边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，∴，即，故答案为：；（2）∵△ABD的周长为，△ACD的周长为，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴，∴-()=，故答案为：；（3）设AC边上的高为，根据题意得：,即，解得．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．【经典例题四三角形三边关系的应用】【例4】（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（

）A．10 B．8 C．7 D．5【答案】C【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：C．【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．【变式训练】【变式1】（2023秋·山西大同·八年级统考期中）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可．【详解】解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x，则，即，∴整数x的值为5、6、7、8、9、10，∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．故选：C．【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键．【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米．【答案】700【分析】当、、构成三角形时，与的差小于第三边，所以、、在同一直线上时，与的差最大，算出这个最大值即可．【详解】当、、三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边与的差小于第三边，、、在同一直线上，到的距离与到的距离之差最大，∵此时，∴当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为：700．【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大．【变式3】（2023秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋x°【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6cm，再求出周长为13cm．（2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC．（1）∵AB=4cm，AC=3cm∴1＜BC＜7∴BC=6cm∴三角形的周长为：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×135°=67.5°∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−67.5°=112.5°b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−x°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°−x°)=90°−x°∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−x°)=90°＋x°【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．【经典例题五与三角形高有关的计算问题】【解题技巧】图形的面积可以用两种面积公式求解，即可得到一个等量关系；【例5】（2023秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解．【详解】解：∵，，即，∴∵是中线，即点是的中点，∴，故选：C．【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得．【变式训练】【变式1】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论：的面积＝的面积；；；．其中结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．【详解】解：是的中线的面积等于的面积

故正确；，是的高，是的角平分线又故正确；

故正确；故错误；故选：C【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．【变式2】（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，D为中边上一点，，E是上一点，且的面积等于的一半，则_________．【答案】####1.5【分析】过点E作于点F，过点C作于点G，由题意可求出．再根据三角形面积公式可求出．由题意又可知，从而得出．最后再根据三角形面积公式即得出，解出，从而可求出．【详解】如图，过点E作于点F，过点C作于点G，∵，∴．∵，，∴．∵的面积等于的一半，即，∴．∵，∴，即解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查与三角形高有关的计算问题．正确作出辅助线是解题关键．【变式3】（2023秋·全国·八年级期中）如图，在中，是的高．(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．(2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数．【答案】(1)10°(2)45°【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得，利用三角形的高线可求，进而求解即可得出结论；（2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵是的角平分线，∴，∵是的高，∴，∵，∴，∴；（2）∵和的角平分线交于点G，∴，，∵，，∴，即，∵是的高，∴，∴．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用．【经典例题六根据三角形的中线求长度、面积】【例6】（2023秋·八年级课时练习）在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（

）A．7 B．11 C．7或11 D．8或10【答案】C【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，注意三角形三边关系的应用．【详解】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，∵AD为BC边上的中线，∴则BD＝CD＝x，∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，则2x＋x＝15，且y＋x＝12，由2x＋x＝15解得：x＝5，∴y＋5＝12，解得：y＝7，∴三边长分别为10，10，7（符合题意），∴AC＝7；当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，则2x＋x＝12，且y＋x＝15，由2x＋x＝12解得：x＝4，∴y＋4＝15，解得：y＝11，∴三边长分别为8，8，11（符合题意），∴AC＝11，综上所述：AC的长为7或11，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．【变式训练】【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图所示，中，，是的中线．若，，，则点D到的距离为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．3【答案】A【分析】过点D作于E，由三角形中线的性质得出，即可得出答案．【详解】解：过点D作于E，如图所示：∵是边上的中线，∴，∵，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角形中线的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，的面积为1，分别延长，，到，，，使，，，得到，再分别延长，，到，，，使，，，再得到，则的面积为_____．【答案】49【分析】连接，找出延长各边后得到的三角形是原三角形面积的7倍的规律，利用规律求解即可．【详解】解：连接，∵的面积为1，，，，∴，∴；同理得．故答案为：49．【点睛】本题考查了三角形的面积，解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题．【变式3】（2023秋·天津北辰·八年级统考期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6，AC=8，BC=10，∠CAB=，试求：(1)△ACE和△ABE的周长的差．(2)AD的长：(3)直接写出△ABE的面积．【答案】(1)2(2)4.8(3)12【分析】（1）由AE是中线可得BE=CE，进而可求△ACE的周长与△ABE的周长差等于AC与AB，即可求解；（2）利用“面积法”即可求出线段AD的长度；（3）根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵AE是中线，∴BE=CE，又△ACE的周长=AE+AC+CE，△ABE的周长=AE+AB+BE，∴△ACE和△ABE的周长的差===又AB=6，AC=8，∴△ACE和△ABE的周长的差=；（2）解：∵AB=6，AC=8，∠CAB=，∴，又BC=10，AD是高，∴，∴，∴；（3）解：∵AE是中线，∴BE=，∴．【点睛】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等求出AD．【经典例题七三角形中的折叠角度问题】【例7】（2023秋·天津静海·八年级校考阶段练习）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（

）A．148° B．116° C．32° D．30°【答案】B【分析】根据折叠的性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解．【详解】根据折叠的性质有：，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．【变式训练】【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠的性质得出，，继而分别表示出，得到，即可求解．【详解】解：根据折叠的性质得，，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴故选B．【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．【答案】30【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则，从而求得答案．【详解】解：如图，在中，，∵是斜边上的中线，∴，∴，将沿直线折叠，点落在点处，设度，∵，∴，如果恰好与垂直，在中，，即，解得，，∴，∵，∴，即故答案为：30【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．【变式3】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），理由见解析【分析】（1）由折叠的性质得，再根据平角的定义得到，，根据三角形外角的性质可得，由此即可得出结论；（2）先根据（1）的结论求出，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出即可；（3）先推出，，再由三角形外角的性质推出，利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出即可得到结论．【详解】解：（1），理由如下：由折叠的性质可知，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，，∴，∵的平分线，与的外角平分线交于点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：，理由如下；由折叠的性质可知，∴，，∵，∴，∴，∵，的平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．【经典例题八三角形有关的综合性问题】【例8】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．3【答案】D【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得．【详解】解：在图①中，连接，，，，，，，，，，设，则，解得；在图②中，连接、、，则，，设，则，解得；在图③中，连、、、、，则，，设，则，解得，．由可知，，，，解得．故选：D【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律．【变式训练】【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【答案】D【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，∵，∴，∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，∴，，，，∴，∴；①在△ACM中，有，∴②，由①②，得，∴，即；∵，又，∴，∴，即，∴；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，点在线段上，且，点在上，若，，，则的度数为________．【答案】【分析】根据题意，设，则，在中，，证，由，得，从而有，解得，最后由，求得的值．【详解】解：∵，∴，设，则，∵，∴，∵在中，，又∵，，∴．∵，，∴，∵，∴，∴，∴．∵，，，又∵，，，∴，，∵，∴，解得，，∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的关键．【变式3】（2023春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）已知，，E为直线上一点，F为直线上一点，交于点G，且．(1)如图1，求证：．(2)如图2，和的数量关系是__________________．(3)如图3，在（2）的条件下，连接，相交于点H，和的平分线交于点P，若恰好平分，，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)(3)的度数为【分析】（1）根据平行线的性质可得，由得，根据三角形外角的性质可得，等量代换即可得出结论；（2）根据平行线的性质可得，由得，根据三角形的内角和定理可得，等量代换即可得出结论；（3）设，则，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，在△PEF中，根据三角形的内角和定理求出α，在中，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；故答案为：；（3）解：设，则，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∵，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，在中，，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【培优检测】1．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，，且，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，求出，再求出，根据三角形内角和求出．【详解】∵，∴，∴，∴∴，故选：A．【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是求出读懂题意求出角的度数．2．（2023秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形面积公式由点为的中点得到，同理得到，则，然后再由点为的中点得到．【详解】点为的中点，，点为的中点，，，点为的中点，．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中线与面积的关系，解题的关键是掌握是三角形的中线把三角形的面积平均分成两半．3．（2023秋·全国·八年级期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（）A．a B． C． D．【答案】D【分析】是的平分线，是的平分线，再结合角平分线的性质可得与与的关系；结合三角形外角的性质可得与的关系，再结合已知条件可求解，然后推出后一个角都是前一个角的一半，据此规律可得到答案．【详解】解∶是的平分线，是的平分线，，又，，，又，，同理可得，……故选∶D．【点睛】本题考查三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义，掌握三角形外角性质是解题关键．4．（2023春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6【答案】A【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答．【详解】解：如图：连接AF∵BE=3，AE=6，∴AB=9，∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，∴，即同理可得：，即∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键．5．（2023秋·八年级单元测试）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（

）A．25 B．26 C．30 D．39【答案】B【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：（个），∴图中阴影部分面积为：，故选：B．【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．6．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】∠DCM=∠D+∠DBC，∠ACM=∠A+∠ABC，再结合角平分线，得到∠A=2∠D即可．【详解】解：∵是的平分线，∴∠ABC=2∠DBC，同理，∠ACM=2∠DCM，∵∠ACM=∠A+∠ABC，∴2∠DCM=∠A+2∠DBC∵∠DCM=∠D+∠DBC，∴∠A=2∠D，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形外角的性质，解题关键是利用外角的性质和角平分线性质得到∠A与∠D的关系．7．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，平分和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出．【详解】解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图，∵的外角和的外角是同角，∵，，∵平分和，∴，，∴，，∵在中，，在中，∴，；∵，∴，，整理得，，化简得，将，代入，解得，∴．故选：B．【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键．8．（2023秋·四川广元·八年级统考期中）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，9．（2023秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为______．【答案】##28度【分析】设，结合已知和高线的定义可得的度数，进而得到的度数，再根据三角形的内角和定理列出关于的方程，解方程即可求解．【详解】解：设，是的高，，，是的角平分线，，，解得，即的度数为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．10．（2023秋·全国·七年级专题练习）一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当是的一半时，_____°．【答案】84【分析】根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，结合图形及各角之间的关系求解即可．【详解】解：如图：根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，在四边形中，，∴，∵，∴，在四边形中，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】题目主要考查角度的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．11．（2023秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，，，，分别平分的外角，内角，外角；则以下结论：①；②；③；其中正确的结论有______________．【答案】①②③【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【详解】解：①平分，，，，，故①正确；②，，

平分，，，，故②正确；③在中，，平分的外角，，，，，，，，，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，掌握三角形的外角的性质以及平行线的性质与判定是解题的关键．12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在边上的点D处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的x值__．【答案】20【分析】由，可得，根据将纸片沿着折叠，使得点A落在边上的点D处，可得，当为“准直角三角形”时，或，可解得或，分别代入计算各角的度数，根据“准直角三角形”的定义即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∵将纸片沿着折叠，使得点A落在边上的点D处，∴，当为“准直角三角形”时，或，∴或，∴或，①当时，即，∴，∴，∴，此时，，∴不是“准直角三角形”；②当时，即，∴，∴，∴，此时，∴是“准直角三角形”；综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的x值为．故答案为：．【点睛】本题考查三角形中的折叠问题，涉及新定义，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用．13．（2023秋·上海宝山·八年级校考期中）如图，在中，的外角平分线交延长线于，的外角平分线交延长线于，且，则的度数是_____________．【答案】##12度【分析】设，根据是的角平分线，则，是的角平分线，三角形内角和，，根据，得，则；根据三角形外角和，则，三角形内角和，，即可求出．【详解】设，∴是的角平分线，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴；∵，是的角平分线，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和，三角的内角和，等边对等角．14．（2023秋·重庆·八年级重庆八中校考开学考试）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________．【答案】【分析】先由三角形内角和定理求得，再由折叠性质求得，最后由“准直角三角形”定义求解即可．【详解】解：∵，∴，∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，∴，当为“准直角三角形”时，或，∴或，∴或，①当时，即，∴，∴，∴，此时，∴不是“准直角三角形”；②当时，即，∴，∴，∴，此时，∴是“准直角三角形”；综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为，故答案为：．【点睛】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理．理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键．15．（2023秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在中，点是边上一点，于点，连接，，，．求的度数．【答案】【分析】由，可设，，再由求得x的值，再根据，得到的度数，最后根据三角形外角的性质得到的度数．【详解】解：，设，，，解得，，，，，，是的外角，，．【点睛】本题考查了角的和差倍分，三角形的内角和以及外角的性质，解决本题的关键是根据角之间