单调性与最大（小）值（第1课时） 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章

函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值

第1课时

函数的单调性

学习目标

1.从形与数两方面理解函数的单调区间、单调性等概念，培养数学抽象的核心素养；2.会划分函数的单调区间，会利用图象判断函数的单调性，提升直观想象的核心素养；3.会用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理的核心素养。重点、难点重点：1.函数单调性的定义；

2.函数单调性的判断和证明。难点：根据定义判断、证明函数单调性。（一）新知导入

1.创设情境，生成问题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.（一）新知导入【探究1】(1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？

(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？【提示】(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小.(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.探究概念——直观感知“形”请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?T(℃)4812162024to-2248610某市一天24小时的气温变化图y＝f(x)，x∈[0，24]

2.探索交流，解决问题【探究2】探究概念——直观感知“形”观察下列图像，看其变化规律：

1、从左至右图象上升还是下降

?

2、在区间

________上，随着x的增大，f(x)的值随着

______．上升(-∞,+∞)增大下降减小探究概念——直观感知“形”画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：

【探究3】1、在区间

____上，f(x)的值随着x的增大而

______．2、在区间

_____上，f(x)的值随着x的增大而

_____．

(-∞,0]减小[0,+∞)增大探究概念——具体感知“数”画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：

【探究3】（二）函数的单调性（1）当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数．

单调性定义

1.增函数设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D中的任意两个自变量的值x1，x2.（2）当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数．

2.减函数

函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)

，区间D叫做y＝f(x)的

．单调性单调区间（二）函数的单调性（二）函数的单调性注意：

设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D中的任意两个自变量的值x1，x2。

当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。

当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。

（二）函数的单调性注意：

设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D中的任意两个自变量的值x1，x2。

当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。

当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。（二）函数的单调性【辩一辩】1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．()2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．()3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．()4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．()【做一做】如图是定义在[-5,5]上的函数图象，根据图象得到函数的单调递增区间是：

；单调递减区间是：

。×√×√[-2,1],[3,5][-5,-2],[1,3]

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

yoxoyxyoxyoxyox在是增函数在是减函数在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox在是减函数在是增函数y=kx+b(k≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)（二）函数的单调性例：

已知函数f(x)是定义在R上的增函数，则满足

的x的取值范围为___________.（三）利用函数单调区间求范围巩固练习1：已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)-f(2a-1)<0,求a的取值范围.例2：根据定义判断函数f(x)=2x+3的单调性。（四）利用定义判断或证明单调性解：函数f(x)=2x+3的定义域是R。

则

f(x1)-f(x2)=(2x1+3)-(2x2+3)=2(x1-x2)由x1<x2

，得x1-

x2<0∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)∴

f(x)=2x+3是增函数。变形定号作差结论取值∀x1,x2∈R,且x1<x2巩固练习2：

根据定义证明函数

在区间上单调递增.

证明：在区间上任取两个值且

则，且所以函数在区间上是增函数.取值作差变形定号结论（四）利用定义判断或证明单调性巩固练习2：

根据定义证明函数

在区间上单调递增.

（四）利用定义判断或证明单调性（五）操作演练

素养提升

[答案]1.A2.D3.B课堂小结知识总结

通过这个试验，结合我们今天所学的内容，你打算以后如何对待刚学过的知识？