2023年新高考数学一轮复习讲义第41讲 直线、平面平行的判定与性质含解析

2023年新高考一轮复习讲义第41讲直线、平面平行的判定与性质

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•湖南湘潭•高三开学考试）己知直三棱柱A8C-44G的侧棱和底面边长均为1,M,N分别

是棱BC,A4上的点，且CM=2B,N=A,当MN//平面AA.C.C时，彳的值为（）

A.-B.|C.1D.-

4323

2.（2022•全国•高三专题练习）已知ABCQ-AAG。为正方体，P,Q,R分别为棱A。,的中点，

则①AC//QR；②AC〃平面PQR；③8尸，QR；@BD,VQR,上述四个结论正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（多选）（2022•云南昆明•高三开学考试）如图，在正方体ABCO-ABIGR中，点E是线段AC上的动

A.EB\IIDA\B.EB1〃平面以G

C.EBJBD、D.EBJDCt

4.（多选）（2022•河北邯郸•高三开学考试）如图，在正方体4BCO-4EGR中，动点E在线段AG上,

贝IJ()

A.直线AC与5c所成的角为30

B.对任意的点E,都有8。1平面ACE

C.存在点E,使得平面迎，平面CG。。

D.存在点E,使得平面A8E-L平面CDE

5.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，P为平行四边形ABC。所在平面外一点，E为AO的中点，F为

PF

PC上一点，若24〃平面贝1」中=

6.（2022•全国•高三专题练习）如图，平面a〃平面A,△PA8所在的平面与a,4分别交于CD和AB,

7.（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方体488-4耳中，E为BC的中点，F为正方体棱的中

点，则满足条件直线EFH平面ACDt的点F的个数是.

/叶二歹c

/E

8.（2022•全国•高三专题练习）四棱锥尸-ABCZ）的底面A8C。是边长为2的菱形，ZBAD=120°,24,底

面ABC。，PA=2y/3,E,F分别是PC,P£）的中点.已知8G=/lBC，若平面EFG〃平面求4

的值；

9.（2022•全国•高三专题练习）在如图所示的圆柱。。2中，AB为圆的直径，C、。是A8的两个三等分

点，E4、FC、GB都是圆柱0。2的母线.求证：/。//平面AOE；

10.（2022•内蒙古•海拉尔第二中学高三期末（文））如图，已知点P是平行四边形ABC。所在平面外一

点，M、N分别是A&PC的中点

（1）求证：〃平面以£）；

（2）在PB上确定一个点Q,使平面MNQ//平面

【素养提升】

1.（2022•江苏省滨海中学模拟预测）在棱长为2的正方体A88-ABCQ中，N为BC的中点.当点M在

平面。CGR内运动时，有MV〃平面A8。，则线段MN的最小值为（）

A.1B.是C.72D.73

2

2.（2022•江苏•南京市第一中学高三开学考试）正方体A8CO-AMGR的棱长为1,E为棱ABHKj动点，

点分别是棱8C，CR的中点，则下列结论正确的是（）

A.存在点E,使得EN//MG

B.存在点E,使得,西加为等腰三角形

C.三棱锥G-MNE的体积为定值

D.存在点E,使得•平面EMN

3.（2022•陕西•西安中学三模（文））在棱长为2的正方体AB8-A4GA中，点E、F分别是棱8C,CC,

的中点，P是侧面四边形BCG片内（不含边界）一点，若4尸〃平面AEF,则线段4尸长度的取值范围是

第41讲直线、平面平行的判定与性质

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•湖南湘潭•高三开学考试）己知直三棱柱A8C-44c的侧棱和底面边长均为1,M,N分别

是棱BC,A4上的点，且CM=2B,N=A,当MN//平面A4,GC时，彳的值为（）

A.-B.|C.；D.-

4323

【答案】B

【分析】过N作NP〃旦G交AG于尸，利用线面平行的性质可得MN//CP,进而可得四边形MNPC为平

行四边形，NP=l'=尢=CM,即得.

2

【详解】过N作NP〃4G交AG于尸，连接CP,

B

因为MCi/BiG，：.NPUMC,故MRM,C共面，

因为MN//平面AA.C.C,平面MVPCc平面AA.QC=CP,MNu平面MNPC,

所以MN//CP,又NPMMC,

...四边形MNPC为平行四边形，

又CM=2B、N=入,

2

:・NP=1一一=A=CM,

2

2

所以

故选:B.

2.（2022•全国•高三专题练习）已知ABCD-A向CQ为正方体，P，Q，R分别为棱AD,A4，CG的中点,

则①AC//QR；②AC〃平面PQR；©BPLQR.④吟，QR,上述四个结论正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】作出过点尸，Q,R的正方体ABCO-AAGR的截面，再逐一分析、推理判断4个结论作答.

【详解】在正方体A8CQ-A4GR中，取C。的中点N,直线PN与直线AB,BC分别交于点E,G,

直线QE交AA于点S,交直线8A于点凡直线RG交于点M,交直线BB|于点9，如图,

因P,Q,R分别为棱AD，AB1,CC1的中点，即有AE=CW=AQ=SQ,则AS=4户=耳尸=；A8,

又CG=CN=CR=C、R,则C1M=CG=GR=；AB,BtM=QM,因此，gF=C；R=gAB=，即尸

与尸重合，

连接PS,NR,QM,则截面PSQMRN是平面PQR截正方体ABC。-48cA所得截面，且截面PSQMRN

是正六边形，

连AC,则AC7/PN,在正六边形尸SQMRN中，PN与QR不平行，则4c与QR不平行，结论①不正确；

因AC//PN,ACz平面PQR,PNu平面PQR,所以AC〃平面PQR,结论②正确；

连接则三棱锥8-PQR为正三棱锥，又正三棱锥的相对棱垂直，则8PJ.QR,即结论③正

确；

连B。，因8OLAC,平面ABC。，ACu平面A8CO,则。QLAC,而DDJBD=D,

于是得AC,平面BOR,而BRu平面BDR,则AC_LBR,因ACUPN,则BQ，PN,同理

BDt1PS,

又PScPN=P,PS,PNu平面PQR,因此，8。「平面PQR,而。Ru平面PQR,则QR,结论④

正确.

所以给定的四个结论正确的个数为3

故选：C

3.（多选）（2022•云南昆明•高三开学考试）如图，在正方体48GA中，点E是线段AC上的动

B.EB"/平面DAG

C.EB,1BDtD.EB,1DC,

【答案】BC

【分析】连接30、8小、BtC,即可证明平面。GA〃平面ACB,,从而说明A、B,通过证明平面

AC4，即可说明C,再由4B//DG，即可说明D.

【详解】解：如图连接80、B,A、B©,由正方体的性质可知OC〃A耳且。C=Aq,所以四边形CD41A

为平行四边形，所以D4,〃BC，山«平面AC耳，所以D4,//平面A4,

同理可证。G〃平面ACB,,又。GD\=D,£）G，D4,u平面。GA，

所以平面。GA〃平面ACS,,又4Eu平面AC4,所以E8"平面。AC，故B正确;

因为D4J/BC，所以当且仅当E与C重合时才有EB"C>A，故A错误；

在正方体ABCD-A耳储0中AC，,DD,1平面ABCD,ACu平面ABCD,

所以。Q_LAC,又BDDD、=D,BD,DRu平面B’BDR,所以AC,平面片BDR,

又8"u平面与8OR,所以ACL8R,

同理可证4CJ.B。，ACcBC=C,AC，4Cu平面AC四，所以平面ACS一

B£u平面AQ?,,所以故C正确,

易得AB//OG，又ZAB©吟,所以Eq与£>G不可能垂直，故D错误;

故选：BC

4.（多选）（2022•河北邯郸•高三开学考试）如图，在正方体ABCD-A4GR中，动点E在线段AG上,

A.直线4G与8c所成的角为30

B.对任意的点E,都有8Q_L平面ACE

C.存在点E,使得平面ABE,平面CGRD

D.存在点E,使得平面A3E_L平面CDE

【答案】BC

【分析】A选项，根据线线平行，找到直线AG与BC所成的角，根据正方体的性质求出其度数;

B选项，证明出平面ACC；%，得到结论;

C选项，当点E在A处时，满足平面ABE平面CCQQ；

D选项，找到平面ABE与平面CDE所成的夹角，方法一：结合圆的知识点，推导出28VC<90;

I

tanNBNC=tan(“BN+NC0)=

方法二:设出未知数，利用正切的和角公式得到,求出最

值，得到/BNC为锐角.

【详解】因为ACV/4G，所以4C8即为直线AC与BC所成的角，ZACB=45，故A错误;

因为4A|_L平面ABC。，BDu平面ABC。，所以4A_L8£>,

又因为AC_LBD,ACHA^=A,

所以BO_L平面ACGA,故B。，平面ACE,故B正确;

当点E在A处时，平面4BE//平面CG。。，

所以存在点E,使得平面ABE//平面CGR。，故C正确.

如图，过点E作MN//4与，则为平面4阳与平面CDE的交线，

在正方体中，4隹，平面BCC4，所以平面BCCg,所以BN上MN,

CN1MN,所以/BNC即为平面ME与平面CDE所成的夹角，

方法一：因为点N一定在以8c为直径的圆外，

所以NBNC<90,所以不存在点E,使得平面ABEL平面CDE,故D错误.

方法二：设正方体的棱长为l，B1N=x,则tan/ABN=x,tan/GCN=l-x,

,、x+(l-x)11

tanZBNC=tan(ZB,BN+ZC.CN)=—:{=-...........=---------：——

所以I'''l-x(l-x)x12-x+l卜」+

14

当》=彳时，tan/BNC取得最大值，为一，此时/8NC为锐角，故D错误.

23

故选：BC

5.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，P为平行四边形ABC。所在平面外一点，E为AO的中点，F为

PF

PC上一点，若PA〃平面EBF,则中=

【答案】|

【分析】连接AC交8E于点连接根，由线面平行的性质得线线平行，由平行线性得结论.

【详解】连接AC交8E于点M,连接尸

PAH平面EBF，PAu平面PAC,平面PAC'平面EBF=EM,

.r.PFAMAE1

・.PA//EM,又AE//BC9・・=---==—

FCMCBC2

故答案为：y

6.（2022•全国•高三专题练习）如图，平面a〃平面夕，△PA8所在的平面与明夕分别交于CO和AB,

若PC=2,CA=3,CD=I,则AB

p

【分析】根据面面平行的性质，证得8〃3结合罚=方，即可求解.

【详解】由题意，平面a〃平面夕，APAB所在的平面与a,夕分别交于CO和AB,

根据面面平行的性质，可得CZ）//Afi,所以2=要，

ABPA

因为PC—2，CA=3，CD=11所以AB=_=1_-=—.

PC22

故答案为：—■

7.（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方体A88-ABCR中，E为3c的中点，F为正方体棱的中

点，则满足条件直线EF//平面ACDt的点尸的个数是.

【分析】为了得到直线EFH平面ACDt,只需求得平面ACDJ1平面ENIHGM,即平面EN1HGM内的任意

一条直线都与平面ACR平行，进而求得点尸的个数.

分别取AB,CC，CQ,RA，AA的中点

连接ME,EN,NI,IH,HG,GM,BC,,

GHHAD\、ENHBC\,

在正方体A8CD-A4CQ中，ABHD\C,,AB=D,C,,

四边形A8G"是平行四边形，

:.AD、HBC\,EN//AD,,

又ENa平面ACR,ARu平面ACD,,

EN//平面ACD,,同理EM〃平面ACDy,

又EMEN=E,EA/u平面EN/HGM,ENu平面ENIHGM,

平面ACDJ1平面ENIHGM,

・・・平面ENIHGM内的任意一条直线都与平面AC。平行，

则满足条件直线E/7/平面4cq的点尸可以是的任何一个，

二点1的个数是5个.

故答案为：5.

8.（2022•全国•高三专题练习）四棱锥P-ABC。的底面ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=120°,/%_1_底

面ABC。，PA=2y5,E,尸分别是PC,尸。的中点.已知8G=/lBC，若平面£FG〃平面以8,求2

的值；

【答案】行;.

【分析】由面面平行的性质定理可得P8〃£G,结合中点性质即可求2的值.

【详解】若面EFG//面面面尸8C=尸8,面EFGc面P3C=EG,

由面面平行的性质定理知：PBHEG,于是注==，

CJBEP

由E为PC的中点知：G为BC的中点，故BG=gBC,所以2=；.

9.（2022•全国•高三专题练习）在如图所示的圆柱。02中，A3为圆。।的直径，C、。是AB的两个三等分

点，£4、FC、GB都是圆柱OR的母线.求证：尸。"/平面4）回；

【答案】证明见解析.

【分析】利用线面平行的判定定理可得«C〃平面AOE,CF〃平面再利用面面平行的判定定理及

性质定理即得.

【详解】连接。C、O.D,

在圆柱。。2中，A8为圆。1的直径，C、。是AB的两个三等分点，

则NAQ。=ND。，=NCO|B=60",且AQ=DO、=COt=BO、,

故AQ0、△QOC、△C。/均为等边三角形,

所以，在底面ABC。中，ND40=N20C=60,

则QC//AD,

OC<Z平面A£>£,AOu平面ADE,

所以，«C〃平面AOE，

因为E4、FC、GB都是圆柱。。2的母线，则CF〃AE,

CF<Z平面ADE,AEu平面ADE,

/.CF/mADE,

o,c\CF=C,qcu平面QCF,。尸u平面,

所以，平面。CF//平面AOE,

因为尸Qu平面。。尸，

因此，尸«〃平面ADE.

10.(2022•内蒙古•海拉尔第二中学高三期末(文))如图，已知点尸是平行四边形ABC。所在平面外一

点，M、N分别是AB、PC的中点

(1)求证：MN//平面PAD-,

(2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ//平面

【答案】(1)证明见解析；(2)当。在P8的中点时，平面MNQ//平面尸4).

【分析】(1)取尸B中点Q,连接〃Q,NQ,利用面面平行的判定定理证明平面MNQ〃平面尸4),即可证

明MN〃平面皿>；

(2)假设第一问的。即为所求，再利用面面平行进行证明.

【详解】(1)证明：取心中点。，连接MQ,NQ,

AMB

.时,%分别是48,尸。的中点，

:.NQ//BC.

AD/IBC,：.NQ//AD,

又NQ<z面PA。，AOu面PAO,

/.NQ"而PAD.

同理可证：MQ//面PAD.

又NQu面MNQ,MQ\面MNQ,NQpiMQ=Q,

平面MVQ//平面PAD,

MNu平面MNQ,

.,.MV//平面PAD

(2)解：假设第一问的。即为所求

Q在尸B的中点，

M、N分别是A&PC的中点，。为尸8的中点

:.MQ1IPA,&NQMAD

则MQ/I平面PAD,NQII平面PAD

且MQcMQ=Q

所以平面MNQ//平面PA£).

所以第一问的2点即为所求，当。在PB的中点时，平面MNQ〃平面PAD.

【素养提升】

1.（2022•江苏省滨海中学模拟预测）在棱长为2的正方体42co-AAG"中，N为8C的中点.当点M在

平面。CGR内运动时・，有〃平面480,则线段MN的最小值为（）

A.1B.显C.夜D.⑺

2

【答案】B

【分析】C4中点尸，OR中点。，连接p。、PN、QN,根据面面平行的判定定理，可证平面PQV//平

面A8。，即M在平面PQN内，根据题意，可得点用在线段PQ上，在VPQN中，分别求得各个边长，

根据余弦定理，求得NN尸。=120。，根据三角函数的定义，即可求得答案.

【详解】取8中点P,。。中点Q,连接PQ'PN、QN,如图所示：

因为尸、N分别为C。、2c中点,

所以PN//BD,

同理，尸、。分别为C。、力2中点,

所以PQ//QC//AB,

又PQcPN=P,P0,PNu平面PQN,%BCBD=B,48,8。（=平面48。，

所以平面PQN//平面\BD,

因为MN//平面AB。,

所以MNu平面PQN,又点M在平面。CGR内运动,

所以点M在平面PQN和平面DCC.D,的交线上，即M€尸。,

在VPQN中，PN=4i,PQ=；CD、=五,QN=«gy+啄=屈,

PN2+PQ2-QN2

所以cos/NPQ=

2PQxPN2

所以NNPQ=120。,

所以N点到P。的最小距离”=尸代7出（180。-120。）=*.

所以线段MN的最小值为理.

2

故选：B

2.（2022•江苏•南京市第一中学高三开学考试）正方体A88-ABGA的棱长为1，E为棱A8上的动点,

点M，N分别是棱8CG2的中点，则下列结论正确的是（）

A.存在点E,使得EN//MG

B.存在点E,使得&WN为等腰三角形

C.三棱锥G-MNE的体积为定值

D.存在点E,使得妫■平面EMN

【答案】C

【分析】取AO的中点连接M”、。用，再取的中点。，连接NO,即可证明GM〃ON,从而说

明A,再证明AB〃平面M"RG，即可说明C,由修G，平面488出说明D,最后利用勾股定理说明B.

【详解】解：对于A：取AD的中点，，连接M"、再取的中点。，连接NO,

又正方体的性质可知四边形HMCQ为平行四边形，所以C、M〃D、H,则GM//CW,

显然当E在AB上时，不存在NEHNO,故不存在点E,使得EN//M&,故A错误；

显然AB//MH,平面""2G，MHu平面MHRCI，

所以A8//平面，所以E到平面的距离为定值，设为人,则%-MNE=%-C,MN=；SvC,MN小,

又现即=［何＜/7=?£。^邛,故三棱锥G-MNE的体积为定值,故C正确；

因为AG，平面488出，显然平面AB8M与平面EMN不平行，故不存在点E,使得与£，平面EMN,

故D错误;

设AE=x(OWxWl),则8E=l-x,所以ME=

2

拒=在,

MN=*NE

一22

显然MVHNE,MN#ME,ME#NE,则EMN不能为等腰三角形，故B错误;

故选：C

3.（2022•陕西•西安中学三模（文））在棱长为2的正方体ABC。-中，点E、F分别是棱8C,CC,

的中点，P是侧面四边形BCG片内（不含边界）一点，若AP//平面AEF,则线段4尸长度的取值范围是

【答案】苧诉

【分析】作出过点4平行于平面AEF的平面与平面BCC4的交线，确定动点P的位置，再借助三角形计

算作答.

【详解】在正方体ABC。-ABCQ中，取的中点M,N,连4用，知乂,如图,

因点E、尸分别是棱BC,CG的中点，则MN//BCJ/EF,EFu平面AEF,MZV<Z平面AE/，则有

MN//平面AEF,

显然旦为矩形，有ME//BBJiAA\,ME=BB^AA,,即有AEK4,为平行四边形，

则AM〃AE,而AEu平面AEF,AME平面AEP,有AM//平面AEF,

MN=M,平面AMN,因此，平面AMN//平面村£尸，因AP〃平面AEF,

则有A/u平面AMN,又点P在平面BCQB,,平面A、MNc平面BCC再=MN,

从而得点P在线段MN上（不含端点），在”AMN中，AM=AN=4,MN=0，

等腰AMN底边MN上高力==逑,于是得逑44尸＜逐,

V222

所以线段AP长度的取值范围是A也,石）.

2

故答案为：［孚，遥）

第42讲直线、平面垂直的判定与性质

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•全国•长垣市第一中学高三开学考试）设犯”表示两条不同的直线，a表示平面，且加//〃，则

“nJ_a"是"La”成立的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2022•安徽•高三开学考试）在正方体ABC3-ABCR中，点〃在线段CG上，点N为线段AA的中

点，记平面阴皿平面BRM=1,则下列说法一定正确的是（）

A./_!_平面B./J_平面BQN

C.平面C">£D./_L平面ACGA

3.（2022河南•宝丰县第一高级中学高三开学考试）在正方体ABC。-ABCQ中，P，0分别为AB,CD

的中点，则（）

A.Aq平面BGQB.平面A8Q〃平面BGQ

C.AQJ•平面BQPD.平面平面尸

4.（2022•湖南益阳•模拟预测）已知正方体A8CO-A4GR中，E是AB的中点，则下列结论正确的是

（）

A.RE与。片相交B.REJ.AQ

C.AE_L平面D.RE〃平面BOQ

5.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四面体ABCO中，AB±CD,AB=CD=\,8£>=及，

BC=AD=6则四面体中存在面面垂直关系的对数为（）

A

C.4D.5

6.（2022•河南•高三阶段练习）在四棱锥尸-ABC。中，平面平面ABC。，AB//CD,

ZABC=9O。，BC=PD=CD=PA=-AB=2,用为的中点，则下列选项中不正确的是（）

2

A.MD〃平面PBCB.PA_L平面

C.平面PC。_L平面PADD.点C到平面尸中的距离为1

7.（2022•江西南昌•模拟预测）如图，正四棱台4B8-ABCQ中，点瓦£G分别是棱CQQA，44的

中点，则下列判断中，不正确的是（）

A.共面B.Pw平面ACEC.FG_L平面ACED.Ag//平面ACE

8.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MDJ_平面ABCD,NB1

平面ABCD,且MD=NB=1,E为MC的中点，则下列结论不正确的是（）

A.平面BCE_L平面ABNB.MC±AN

C.平面CMN_L平面AMND.平面BDE//平面AMN

9.（多选）（2022•河北邯郸•高三开学考试）如图，在正方体ABCO-A4G。中，动点E在线段AG上,

则（）

A.直线AG与BC所成的角为30

B.对任意的点E,都有8£>_L平面ACE

C.存在点E,使得平面ABE,平面CCQQ

D.存在点E,使得平面平面CCE

10.（多选）（2022•全国•高三专题练习）如图所示，在四棱锥中S-ABCD中，ABCD为正方形，

SC=SD=CD=l,E为线段SD的中点，F为AC与3。的交点，ADA.SD.则下列结论正确的是（）

A.BC_L平面SCL>B.EFP平面

C.平面SCD，平面ABC。D.线段BE长度等于线段SF长度

11.（2022•全国•高三专题练习）已知平面a、夕和直线加、I,则下列说法：

①若ad_〃，ap=m,lA.m,贝

②若a/3=m,/ua,I±in,贝lj/JL夕；

③若aVf3,lua,则/_L£；

④若aA.P,ap=m,lea,IVm,贝

其中正确的说法序号为.

12.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，在四棱锥P-ABC。中，雨，底面A8CD,且底面各边都相等,

ACBD=O,〃是PC上的一动点，当点M满足时，平面平面PCD（只要填写一个

你认为正确的条件即可）

13.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，已知菱形ABC。和矩形班底尸所在平面互相垂直，AB=2,

NBA。=120,DE=3.

证明：平面ACF_L平面BDEF;

14.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是矩形，PCJ_平面A8CO,

M为AO的中点且上

证明：BMA.AC.

15.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四棱柱488-中，AB=2,M=4,底面ABC。是菱

TT

形，/BAD=§,平面CG。。，平面A8C£),BD1AD,.

证明：CDJ平面"CD：

16.（2022•全国•高三专题练习）如图，四面体ABC。的棱平面a,C3=W，

2

AB=AC=AD=3,cosZ.BAC=cosNBA。=—.证明：平面ABCJ_平面ABD；

【素养提升】

1.（2022•安徽省定远县第三中学高三阶段练习）如图，在平面四边形48co中，

AD±CD,AC±BC,ZDAC=ABAC=30°,现将八48沿AC折起，并连接8。，使得平面平面

ABC,若所得三棱锥£>-ABC的外接球的表面积为4万，则三棱锥O-ABC的体积为（）

2.（2022•全国•高三专题练习）已知正三棱锥S-A8C的底面边长为夜，外接球表面积为3%,SA<0，

点/，N分别是线段AB,AC的中点，点P,。分别是线段SN和平面SC例上的动点，则4「+尸。的最小

值为（）

A2瓜-0口A/6+V2「3夜门6

4442

3.（2022•北京•二模）如图，在正方体ABCD-ABCQ，中，E,F,G分别为棱AAAg，AA上的点（与

正方体顶点不重合），过A作A"，平面EFG,垂足为”.设正方体ABCD-AqGR的棱长为1，给出以

下四个结论：

①若E,F,G分别是AA，A%4A的中点,则

6

②若E,F,G分别是AA，Ag，AA的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体ABCQ-44GQ，得

到的截面图形一定是等边三角形；

③可能为直角三角形；

1111

®AG7-'

其中所有正确结论的序号是一

第42讲直线、平面垂直的判定与性质

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•全国•长垣市第一中学高三开学考试）设，"，〃表示两条不同的直线，a表示平面，

S.m//n,则是"，"_La"成立的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要条件以及线面垂直的知识确定正确答案.

【详解】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.

所以由可得充分性成立；

反之亦成立.所以"〃_La"是"m^a''成立的充要条件.

故选：A

2.（2022•安徽•高三开学考试）在正方体ABCD-ABIG。中，点〃在线段CG上，点N为

线段AA的中点，记平面尔尔'平面BQM=1,则下列说法一定正确的是（）

A./J_平面BOVB./_!_平面BQN

C./_!_平面CORGD./_L平面ACGA

【答案】D

【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足及。〃/,进而根据BQ,_L平面ACGA，即

可判断平面ACGA.

【详解】由题意得，BXDJ/BD,BDu平面平面皮加厕8Q〃平面

BDM,又平面BDM平面BRM=1,：.B,£>,///,因为

BQ_LAG，8Q_L4A，AGc4A=A，AAu平面u平面A41c°,故BQJL平

面ACC|A,因此/，平面ACC0.故D正确

而BQHBD,BDu平面BDN,BA0平面BOV,则BQ〃平面BOV,故〃/平面选

项A错误，同理选项B错误；

由于8冷与GA相交不垂直，故用鼻与平面c/）AG不垂直，因此/不垂直平面a）AG,故C

错误；

故选：D.

3.（2022•河南•宝丰县第一高级中学高三开学考试）在正方体ABC。-A4G0中，P,。分

别为AB,CD的中点，则（）

A.Afi,平面BG。B.平面〃平面BGQ

C.AQ_L平面8QPD.平面BC。，平面BQP

【答案】D

【分析】画出正方体，结合几何体图像，根据线面平行、面面垂直、线面垂直、面面垂直

的判定条件判断各选项即可.

【详解】如图，因为A瓦〃CQ，而与平面BG。相交，则A选项不正确；

因为DPBQ,B.PG。，所以平面平面BGQ,

而平面与平面BQP相交，则B选项不正确；

在矩形中，AQ与不垂直，即A©与平面8QP不垂直，则C选项不正确；

设BQ的中点为G,因为》P=8,P,所以GPLBQ,

又因为GPBC、,BC,±B,C,所以GPLBC，

所以GP_L平面4C。，所以平面平面8QP,则D选项正确.

故选：D.

4.（2022•湖南益阳•模拟预测）已知正方体中，E是AB的中点，则下歹ij

结论正确的是（）

A.RE与。用相交B.

C.REJ■平面4出。D.RE//平面B£>G

【答案】B

【分析】对于A,作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；

对于B,由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；

对于C,根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线

的位置关系，可得答案；

对于D,过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.

【详解】对于A,由题意可作图如下:

因为RE与异面，故A错误;

对于B,连接力已在正方体ABCD-AgCQ中，如下图:

\DVADX,A£_L平面ADQA，因为AQu平面ADRA，所以AE_LAD，

因为AEcAA=A,所以4。，平面AEQ,QEU平面AEQ,

所以RE_LA。，故B正确；

对于C,连接AG，如下图：

可得AG_L平面A80,因为AG与。E不平行，所以QE不垂直平面Af£),

故c错误；

对于D,取GA中点尸，连接所，如下图:

则QE//BF,因为BF交平面BDG于8,8尸不平行平面，即。田不平行平面

BDC一故。错误.

故选:B.

5.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四面体ABC。中，ABYCD,AB=CD=1,

BD=y/2<BC=AD=6,则四面体中存在面面垂直关系的对数为（）

【答案】B

【分析】分别证明出平面ABCJ■平面5CO,平面/®_L平面8CZ）,平面ACD_L平面

ABD,即可得到答案.

【详解】因为AB=I,BD=近，AD=43,所以AB?+BD?="）?,所以班）.又

ABVCD,BDcCD=D,BOu平面BCD,C£>u平面BCD所以AB平面BCD

又ABi平面ABC,AB\平面A8£）,所以平面ABC_L平面BCO,平面ABZ）_L平面BCD

因为8=1,BD=g，BC=6,所以C£>2+8£）2=8C2,所以又C£>_LAB,

BDcAB=B,BQ_L平面AB£>,A8_L平面ABD,所以COJ■平面ABD,又CE>u平面

ACD,所以平面ACD±平面ABD,综上可知有3对.

故选:B.

6.（2022•河南•高三阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，平面皿>_!_平面A8C。，

AB//CD,NABC=90。，BC=PD=CD=PA=3AB=2,M为R4的中点，则下列选项

中不正确的是（）

A.用。〃平面P8CB.PAJ_平面28。

C.平面PCOJL平面PA。D.点C到平面尸皮）的距离为1

【答案】C

【分析】根据线面平行的判定定理可判断A,由面面垂直的性质定理可得平面

PAD,得出再由P£>_L必可得线面垂直，即可判断B,由B及平面尸8_1_平

面24。可得矛盾，判断C,利用AO=2OC,转化为求点A到平面网奶的距离即可判断D.

【详解】如图，

A

对于A,取尸8的中点为N,连接MMMD,CN.

则MN//AB//CD,且MN=3AB=CD,故四边形MNCD是平行四边形,则MD//CN,故

〃平面P8C,故A正确；

对于B,易求得40=2忘=BO,则NA£>8=90°,而平面_L平面ABC。，A£）是交

线，故BO_L平面也。，则B£>_LF4,而由期=叨=2与AD=2后可知，PA±PD,故

B4_L平面PBQ,故B正确；

对于C,由选项B知F4J_Pr）,若平面PCO_L平面附D,因为PO是交线，则fi4_L平面

PCD,与PAL平面矛盾，故C错误；

对于D,连接AC交8。于。，则兰=岩=2，即AO=2OC,故4到平面尸8。的距离

为C到平面PBO的距离的2倍，而PA_L平面且PA=2,故C到平面PBO的距离

为1,故D正确.

故选：C.

7.（2022•江西南昌•模拟预测）如图，正四棱台A8CO-ABCA中，点区F,G分别是棱

GA，RA，A耳的中点，则下列判断中，不正确的是（）

A.其耳,2。共面B.Fw平面ACEC.FG1平面ACED.AG〃平面ACE

【答案】C

【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得.

【详解】延长正四棱台A8CD-A4G"的侧棱