全国各类成人高等学校招生考试《高等数学(一)》模拟卷三

全国各类成人高等学校招生考试《高等数学(一)》模拟卷三

I.sin(x!~~1)_

1.【选择题】•<I—=()

A.1

B.0

C.2

D.1/2

正确答案：C

参考解析：(江南博哥)本题考查了利用啊等求极限的知识点.

PsinCx2—1)sinCx2—1),,

lim-i—=Phm1;~(1+

［应试指导］I/一炉71)=2.

2.【选择题】设函数1」嘘=()

■

A.3

B.x2

C.2x

1

D.~7.X

正确答案：C

参考解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.

【应试指导】

y=jr14-1.3^=2x.

dr

3.【选择题】函数y=ex+e-x的单调增加区间是()

A.(-8,+OO)

B.(-8,0］

C.(-1,1)

D.［0,+8)

正确答案：D

参考解析：本题考查了函数的单调区间的知识点.

【应试指导】y=ex+e-x则y'=ex-e-x,当x〉0时，y>0,所以y在区间［0,+°°

上单调

递增.

4.【选择题】设J/C=/+C,则以”―合加=()

A.-2(1/),4C

B.2（1-P）一

1八.

-yd-x1）2

c.

y（l-X：）24-

D.

正确答案：c

参考解析：本题考查了换元积分法的知识点.

【应试指导】

■■,

5.【选择题】讨点（0,2,4）且平行于平面x+2z=l,y-3z=2的直线方程为（）

正确答案：C

参考解析：本题考查了直线方程的知识点.

【应试指导】

{-2,3,11,

即为所求直线的方向，所以所求直线方程为二。=

一L

1y-2_z-4

3=~r-•

6.【选择题】设一也「•则dj,J（）

dV

A.dx±+J

3d

B.3

7

C.

D.2(dx+dy)

正确答案：C

参考解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点.

【应试指导】

de3一击3yJ

3-rx}+ydy«r+y1

•■&=3*'dx+3ydy

*'+y1

/•dr=—(cLr+djr).

ti.i*Z

注：另解如下，由一阶微分形式不变性得

dz=----(3Jd.r+3v:dy)i

丁+V

所以dz=,(<Lr+dy).

Ict.n4

7.【选择题】.

比较L=((工4/)2力与/2=JJ(z+y)3dly的大小，其中D：Cr—2)2+(y—l)2&l,则

A.11=12

B.Il>12

C.IKI2

D.无法比较

正确答案：C

参考解析：本题考查了二重积分的性质的知识点.

【应试指导】因积分区域D是以点(2,1)为圆心的一单位圆，且它位于直线x+y=l

的上方，即在D内恒,有x+y>l,所以(x+y)2<(x+y)3.所以有I1〈I2.

若发散.则

8.【选择题】乙S!'a“()

可能有lima.一0

A.-<

-一定有lima,WO

£D).■••

「一定有lima.

.**

•定有lima0一0

U.n♦-

正确答案：A

参考解析：本题考查了级数收敛的必要性的知识点.

【应试指导】

«Va.发散,可能有lima.=0.如

故A正叫

由N…不j

由g(-D・发依知D不成立.

微分方程_/=2+tan:的通解为()

9.【选择题】T

1

=Cr

sin—

A._r

sin±=z+C

B.T

sin*=Cr

C.r

•

sin-=CT

D.v

正确答案：c

参考解析：本题考查了一阶微分方程的通解的知识点.

【应试指导】

it-*-=u.V"JU,y™u+il•代

Tnr

4edu

A帝JT丁=tanu.

所以——=»-tlnlsinal.Inxl+lnC«sinu=Cr.

tanax

原方程的通“为sin±=Cr.

10.【选择题】设方程y''-2y'-3y=f(x)有特解y*,则它的通解为()

A.y=Ge，+G/'

B.v「GeJCe"

C.y=C/e'，C，e"十

D.、=('I*Ge、'〜v*

正确答案：A

参考解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点.

【应试指导】考虑对应的齐次方程y''-2y-3y=0的通解.

2

特征方程为r—2r—3=0,所以n=—1,r2=3,

所以y—2y'—3y=0的通解为y=Ge丁+C2e”,

u

所以原方程的通解为y=Ge-,+C2e+V-.

11.【填空题】!⑴(注等)=8.则。=------------.

我的回答：

M确答案.

参考解析：【答案】In2

本题考■叠了+=e的

应用的知识点.

【应试指导】

e3-=8,

所以a=ln2.

12.【填空题】

J；(J-Ddz

若f(工)=<-―P--------，工#0,在Z=o处连续,则Q=

\a,x=0

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】0

本题考查了函数在一点处的连续性的知识点.

【应试指导】.

f(J—l)df

Kmf(T\=lim

又，f(0)=a,则若，f(x)在x=0连续,应有a=0.

13.【填空题】设厂工,一叫期1“。=

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】90

本题考查了莱布尼茨公式的知识点.

【应试指导】由莱布尼茨公式得，___

产=f©严+100・©严+45(/

=x2e+20xex+90ex,

所以y><»)=go,

r-0

14.【填空题】

设函数f(z)有连续的二阶导数且/(0)=0，r(0)=l,/'(0)=-2,则

y-z=______________

毓勺回答：

正确答案：

参考解析：【答案】-1

本题考查了洛必迭法则的知识点.

【应试指导】

/(X)—J/(X)-1

hm*'1♦hm*--------=

-6T*L5X

立=二一】•

LL

注J(i)连续.且八0)=0•用hmfG)-O.因此

当工―0时,八11二三是嘤”型样更式•检

Xu

可用洛必达法射•同样可说明hm广\二」

.一•4JT

仍为嚓”且可嬉线使用涔必达法则.

或f]心=

15.【填空题】不Je"l+e")

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】

----------arctane*+C

本题考查了不定积分的知识点.

【应试指导】

=—•——arctaiu+C

44

=-—2，—arctanrC.

16.【填空题】

1»-24jrV0,

设/(工)=<彳+1,04/41,贝ij/(x)dx=

,2z,1V2,

我的回答：

正确答案：

13

参考解析：【答案】~2

本题考查了分段函数的定积分的知识点.

【应试指导】

J/(x)dx=dlr+j(x■+*1)dx+

2

n,（X+1）+/

20

■=2+2-^~+4-1=竽.

注：分段函数的积分必须分段进行.

设Z=，f+1,则=

17.【填空题】ax2dy2

我的回答：

正确答案：

1

参考解析：【答案】：

本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点.

【应试指导】

由工-/，射

8g_2/_/

a工2J工’+g

於G-启

(X,+6))

臭他，由时称性知--4——三二~f

dy(x1+y*)T

必必4九八』1_1

»‘力,3+/)+{2+，*

18.【填空题】_

J2一j,A上

y?+?dr,将此积分化为极坐标系下的积分，此时I=

我的回W答："

正确答案：

参考解析：【答案】

f%f/dr

本题考查了利用极坐标求积分的知识点.

【应试指导】

因枳分区域D—<Q.y)ocjy<

a・0《工&J6一寸)♦

即D是雷尸十，&a?在第一象限部分.域1=

『间1”.

19.【填空题】

8OQ

若嘉级数2a户”的收敛半径为R,则募级数X〃。口”।的收敛半径为

■"0n=I

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】R

本题考查了塞级数的收敛半径的知识点.

【应试指导】

Va-jr"的收敛率役为R.

OB

由*«救的逐《微分定理如(ga./)'=

・,0

，刖」1的收敛率径也是R.

20.【填空题】方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解为_.

我的回答：一

正确答案：

参考解析：【答案】sinx•siny=C

本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.

【应试指导】由cosxsinydx+sinxcosydy=0,知sinydsinx+sinxdsiny=0,即

d(siny•siny)=0,两边积分得sinx•siny=C,这就是方程的通解.

21.【解答题】确定函数f(x,y)=3axy-x3-y3(a>0)的极值点.

我的回答：

出=3ay—.图-3ar—3寸,令空==

ourdydroy

。，联立有一

iar—yx.0,

的得1-、=*盘或上=y■■0.

Iay-=0,

'一安吵

知△二,g=9/-36

dy

在(0.0>点Q>0,所以(0.0)不是极值点.

在Q.a）点•△<（）-6aV0（a>0）•故

参考解析：(。・。)是微大值点.

22.【解答题】求如工”.

我的回答：

f/sinx,

—d/

>.Jit*.siar

参考解析：.吧T—\二sinl.

，的赍HQ讨论级数X2的敛散性。

23.【解答题】W»

我的回答：

《■+D!

Wlim士i-lim—=lim(-£-：)=e-1«

参考解析：7

所以级数收敛.

求(——「dr

24.【解答题】.八sinl严

我的回答：

(兰宇(Lr工［T-dsirtr

JsinxJMnx

-----xd(siru)"1

一

2\sinJJsinx)

参考解析：2»inzr28"'''

25.【解答题】证明：ex>l+x(x>0).

我的回答：

对F(x)=1在［O.i］上使用粒格朗日中值定

理得

F(x)-F(O)=<fVx.

.F(JT)-F(O),

因r(e)=/1，即-----------3

故1>x-Fl(x>0).

注：本题也可用单调也证明

记G(x)*c*-1—].附G/(J)=e*—1.

由z>0加G'U)>0,所以G(J)单调增加,

由G<0)-0,

G(x)>G(0)=0.力

所以e*>】+jr.

参考解析：，

26.【解答题】

设工>0时/(7)可导，且满足/(x)=14-lJ'八£)