解三角形-中线问题的应用讲义 高三数学一轮复习

解三角形一一中线问题的应用(讲+练)含答案

解三角形类问题在考查时除了结合正弦定理，余弦定理，勾股定理设置题目外，往往还和

三角形的一些常见元素：中线，角平分线，高线结合在一起考查。在处理相关题目时，我们除

了要充分运用正余弦定理处理边角关系，还要结合角平分线，中线，高线自身的一些性质进行

解题。本文就中线的一些题目收集，从几个方面说说中线和高线的处理方法。

从向量角度看，三角形一边上的中线本质上是共起点的两条向量和的一半，例如：

AD=-(AC+AB

oAOAC+ABAcf+2AC.AB+\ABAC『+2|AC||阴cosA+网2

22

O|AD|=，|+2|^C||AB|cosA+1+2^cosA+c)

一、基础小测

1.在A/WC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且a+2Z?=2ccosA

⑴求C；

(2)若。=2,48边上的中线CE的长为1,求AA5C的面积.

2.在AABC中，角A“所对的边分别为如，旦满足

⑴求角A的大小；

(11)若8=^,AC=4,求BC边上的中线4M的长.

6

3.设ABC中三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知5=45°，b=M，cosC=^

(D求”的长；

(2)若。是AB的中点，求中线CO的长.

2/s

4.在MBC中，ZB=45°,AC=N/10,COSC=,求

(D求BC边长；(2)若点。是AB的中点，求中线C。的长度。

二、能力提升

5.已知.〔ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(，ic-26)cosA+J^acosC=0.

⑴求角A；

(2)若a=b,且8C边上的中线4M的长为2将，求边a的值.

6.已知在..ABC中，ZB=45\AC=Vi0(cosC=-^-.

(1)求边BC的长；

(2)记边A8的中点为。，求中线CO的长.

7.在ABC中，sinA=sinB=—cosC.

(1)求角A,B,C的大小；

(2)若8c边上的中线AM的长为近，求..ABC的面积.

c2

8.在ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,—=='V3csinA+^zcosC=b.

a7

(I)求sinC的值；

(H)己知A。为BC边上的中线，且=求ABC的面积.

9.在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Asin3=asinA-(6+c)sinC.

⑴求角A的大小.

(2)若BC边上的中线A。=2g，且SABC=2百，求.ABC的周长.

10.已知凡仇。分别为AA6C的三个内角A5,C的对边，—=.：八

b-csin4+sinC

⑴求A;

(2)若“=百，AA8C在BC边上的中线A。的长为1,求AABC的周长

答案和解析

1.【答案】解：⑴.a+2b=2ccosAf

sinA+2sinB=2sinCeosA,即sinA+2sinAcosC4-2cosAsinC=2sinCeosA,

/.sinA+2sinAcosC=0,

由于sinAwO,

/.cosC=--,又0vC<4,

2

.-.c=—；

3

CA+C8

⑵CE=

2~

2122

..CE=-(C4+C8+2CACB),

4

EPl=102+4+4/?COSy),

.\b=2f

则ABC的面积S=,a6sinC=Lx2x2sin@=G.

223

2.【答案】解：⑴acosC=b---c,由正弦定理可得sin4cosc=sin8——-sinC»

22

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

..cosAsinC=^-sinC,♦.•sinCwO,

,6、式

：.cosA=——，A=­

26f

(H)由4=8=^，则。=至，:.BC=AC^4,AB=4拒,:.BM=2,

63

由余弦定理可MAM2=BM2+AB2-2BM-ABcosB=4+48-166•g=28,AM=2币.

3.【答案】解：⑴因为cosC=R5,则sinC=JI二嬴石=正，

55

所以：sinA=sin[万一(8+Q]=sin(B+Q=sin8cosC+cosBsinB

7227572753710

=-------X-------------1---------X--------=-------------，

252510

师3—

由正弦定理可得：〃=竺粤=——年-=30;

sinByJ2

~T

(2)由余弦定理得C?=(3夜y+(而丫-2x3/xMx乎=4,则c=2,

所以3£>=1,

在，BCD中由余弦定理得CD2=BD2+BC--2BD-BCcosB

=1+(3>/2)2-2x1x3瓜1=13,

所以：CD=延

4.【答案】解：⑴由cosC=^^得sinC=日,sinA=sin(180°-45°-C)=¥(cosC+sinC)=4^,

AC.A回3回转

由正弦定理知sin57210

T

.AC.„VioVs.I,.

/c、门/.ABR=-------sinC=—f=------=2,BRDn=—ABo=1

(2)由题意得，sin3近52

T

由余弦定理知CD=\lBD2+BC1-2BD-BCcosB

=J1+18-2x1x372x^=713.

5.【答案】解：⑴由题意得(2/?-J^c)cosA=J^acosC,

/.(2sinB-v3sinC)cosA=v3sinAcosC，

2sinBcosA=esinAcosC+y/3sinCcosA=\/3sin(A+C)，

则2sinBcosA=esin5,

sin5w0,

/.cosA=

2

又AG（0,乃），

IT

⑵由⑴知A=J

6

又一；a=b,C-,

3

设AC=x,则MC=1x,

2

在CC中，AM=2S，

由余弦定理得：AC2+MC1-2AC•"C•cosC=A"2，

g|Jx2+(1)2-2X?cos笄=(25Y,

解得x=4,

即a=4.

R

6.【答案】解：⑴因为cosC=19,

5

所以。为锐角,

75

则sinC=Jl-cos2c

5

又A+B+C=18()c，

所以sinA=sin(l35-C)=sin135cosC—cos135°sinC=~~~

在，ABC中，由正弦定理，得空=工

sinAsinB

AC；sinA=3&,

可得：BC=

sin3

4»\r

⑵由正弦定理：碇=硒

可得钻=生‘吐=2，

sinB

在‘BCD中，由余弦定理,

WCD2=BD2+BC2-2BZ)BCcosB=l+(3>/2)2-2xlx3^x=13，

CD=V13.

7.【答案】解：(1)sinA=sinB,且A,B为A5C的内角，

.\A=B>

A+B+C=7r

cosC=cos(万-2A)=-cos2A,

sinA=-cosC=cos2A=1-2sin2A,即(2sinA-l)(sinA+l)=°,

/.sinA=—,或sinA=-1(舍去)，

2

.•.A=B=工，c=—；

63

(2)设C4=CB=x,则

2

在“ACM中，利用余弦定理得：AM2=AC2+MC2-2ACCMcosC，即7=x?+'/+,/,

42

解得：x=2,

贝IJSABC=gc4,C3-sinC=Ji

8.【答案】解：(I).ABC中，yficsinA+acosC=b>

5/3sinCsinA+sinAcosC=sinB

=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC，

化简得GsinCsinA=cosAsinC;

又sinCw0,

/.GsinA=cosA，

一z

..tanA.——,

3

A=30;

sinC2

/.------=—,

sinA7

22o1

/.sinC=—sinA=—sin30=—；

777

(II)如图所示，

D

B

sinCvsinA,

..CvA,

cosB=-cos(A4-C)=-cosAcosC+sinAsinC

AB_c4

2

AD2=(Vib9)2=c2+(-)2-2c-cosB=(—)2+—--a2x(--)；

2274714

)一2

a~=196，a=14,:.c=-a=4

7t

,,..ABC的面积S=-QcsinB=-x4x14x—(---)-=10\/3.

22V14

9.【答案】解：(1)由已知Z?sin3=asinA-S+c)sinC,

由正弦定理得：b2=a2-be-c2，由余弦定理得：cosA=—c2-fl2

2bc2

在AA5C中，因为Ae(O,%),

所以4=生.

3

(2)由S.BC=gbcsinA=^^bc=2>/^,得bc=8①

由(1)知)2=一be—C2，即+/=储一8②

在中，由余弦定理得：c2=(^)2+(2>/3)2-2-2^-ycosZADB,

在AWC中，由余弦定理得：b2=(-)2+(2^)2-2-2x/3---cosZADC,

2