专题03 函数性质的综合问题（十大题型）（解析版）

专题03函数性质的综合问题思维导图核心考点聚焦考点一、函数的单调性及其应用考点二、利用函数单调性求函数最值考点三、利用函数单调性求参数的范围考点四、函数的奇偶性的判断与证明考点五、已知函数的奇偶性求参数考点六、已知函数的奇偶性求表达式、求值考点七、利用单调性、奇偶性解不等式考点八、周期性问题考点九、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性考点十、函数性质的综合1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3②任意两个自变量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3、函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．考点剖析考点一、函数的单调性及其应用例1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数的值；(2)用定义证明函数在上是增函数；(3)解关于的不等式．【解析】（1）函数是定义在上的奇函数所以，则，所以因为，则，则，所以，此时，定义域关于原点对称，又，所以是奇函数，满足题意，故，.（2）由（1）知．设是内的任意两个实数，且，，因为，所以，即，所以函数在上是增函数.（3）因为，所以，即，则，所以，所以，即此不等式解集为．例2．（2023·福建福州·高二校考阶段练习）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）在上单调递增，证明如下：因为，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递增；（2）由（1）知在上单调递增，所以，可得，解得故实数的范围是．例3．（2023·广东·高二校联考期中）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)判断在上的单调性，并用定义法证明.【解析】（1），且，，解得：；（2）由（1）得：在递增，证明如下：设任意，则，，，，在上单调递增.例4．（2023·陕西延安·高一校考阶段练习）已知函数．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）在上递减，理由如下：任取，且，则，因为，且，则有，，可得，即，所以在上单调递减；（2）由（1）可知在上递减，所以由，得，解得，所以实数的取值范围为．考点二、利用函数单调性求函数最值例5．（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考学业考试）函数在区间上的最大值（

）A．125 B．25 C． D．【答案】A【解析】函数在R上单调递减，所以当时，.故选：A例6．（2023·贵州·高一统考阶段练习）若函数（且）在上的值域为，则（

）A．3或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】当时，在上单调递减，则，解得，此时.当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），此时综上可得：为或.故选：C例7．（2023·河南商丘·高一校联考期中）已知，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，，，，函数在上单调递减，当时，，函数的值域为.故选：C.例8．（2023·广东江门·高一台山市第一中学校考期中）函数，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】，而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，所以在上单调递增，所以当时，函数，有最大值为.故选：B考点三、利用函数单调性求参数的范围例9．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数在上单调递减，令，则在上单调递增且恒大于，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C例10．（2023·云南楚雄·高一校考期末）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】易知的对称轴为直线，因为在上具有单调性，所以或，解得或．故选:C例11．（2023·广东珠海·高一珠海市斗门区第一中学校考阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】要使在上单调递增，故在上递增，在上递增，且，所以.故选：C例12．（2023·海南海口·高一海南华侨中学校考阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，故，，当，即时，在上单调递增，满足要求，当，即时，在上单调递增，满足要求，当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，故，解得，综上，实数的取值范围是.故选：C考点四、函数的奇偶性的判断与证明例13．（2023·辽宁大连·高一统考期末）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求不等式的解集.【解析】（1）要使函数有意义,则，解得，故所求函数的定义域为；（2）证明：由（1）知的定义域为，设，则,且，故为奇函数；（3）因为，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是．例14．（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知函数（a是常数）.(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若，试判断函数在上的单调性，并证明.【解析】（1）是奇函数，理由如下：的定义域为，关于原点对称，则，故是奇函数；（2）在单调递增，证明如下：若，则，则，故，设，且，则因为，所以，，，故，即，所以在单调递增.例15．（2023·天津·高一校考期中）已知函数且．(1)求的值；(2)判定的奇偶性．【解析】（1）由且，则解得；（2）由（1）得，则，，，所以函数为奇函数.例16．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3).【解析】（1）定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数.（2），所以定义域为，关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数.（3），所以定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数.考点五、已知函数的奇偶性求参数例17．（2023·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知是奇函数，则．【答案】【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以，化简可得，所以，故答案为：.例18．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，则．【答案】【解析】由函数是定义在上的奇函数，则对任意的实数恒成立，即，对任意实数恒成立，可得对任意实数恒成立，可得，即经验证，此时为上的奇函数，满足题意．故答案为：．例19．（2023·重庆·高一校考期中）若函数是定义在上的偶函数，则【答案】1【解析】函数是定义在上的偶函数，则，解得，经验证符合题意，所以.故答案为：1例20．（2023·云南保山·高一统考期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则【答案】【解析】因为函数是定义域为的偶函数，所以①，且，即，解得,代入①，可得，所以.故答案为:.考点六、已知函数的奇偶性求表达式、求值例21．（2023·江苏苏州·高一吴江中学校考阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为．【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，当时，，则时，，，所以.故答案为：.例22．（2023·四川·高考真题）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．【答案】（﹣7，3）【解析】设x<0，则－x>0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)＝由f(x)＝5得或∴x＝5或x＝－5.观察图像可知由f(x)<5，得－5<x<5.∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．例23．（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则.【答案】【解析】由是定义域为的奇函数，所以，得，，所以故答案为：例24．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知函数，，，且，，则.【答案】/【解析】由题意可知，两式相加得.故答案为：考点七、利用单调性、奇偶性解不等式例25．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解法1：由函数，则不等式，即为，可得，即，令，则，即，解得，即，解得，所以不等式的解集为.解法2：由函数，可得，设，则，所以函数为偶函数，即为偶函数，可得关于对称，且在上单调递增，所以不等式，即为，可得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.例26．（2023·河南郑州·高一校考期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，所以在上单调增，又，所以可化为可得，解得：或，同理可得的，由可得或，解得：或，则不等式的解集为，故选：A.例27．（2023·上海·高一校考阶段练习）已知函数，若满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数定义域为关于原点对称，且，所以是定义在上的偶函数，又，当时，，则，所以在单调递增，又，则，且，则不等式可化为，即，且是定义在上的偶函数，在单调递增，则，即，即，所以，即实数的取值范围是.故选：A例28．（2023·河南商丘·高一校联考期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为为上的偶函数，，所以，又当时，单调递减，所以当时，单调递增，又，所以，即，解得或.故选：B.考点八、周期性问题例29．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知定义在上的偶函数，满足是奇函数，且当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．1012【答案】C【解析】因为是偶函数，所以，因为是奇函数，所以.又因为，所以，即，所以，所以.又当时，，所以，，因为所以.故选：C.例30．（2023·河南焦作·高一校考期末）已知为奇函数，且为偶函数，若，则下列哪个式子不正确（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为奇函数，所以，又因为为偶函数，所以，所以，对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，所以，所以，所以，所以，故B正确；对于C：由B可知，所以，所以，故C正确；对于D：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，显然这与矛盾，故D错误；故选：D.例31．（2023·黑龙江鸡西·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，又，∴是周期函数，周期为4．∴．故选：A．例32．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由为奇函数，得，故①，函数的图象关于点对称；由为偶函数，得②，则函数的图象关于直线对称；由①②得，则，故的周期为，所以，由，令得，即③，已知，由函数的图象关于直线对称，得，又函数的图象关于点对称，得所以，即，所以④，联立③④解得故时，，由关于对称，可得.故选：A.考点九、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例33．（2023·江苏宿迁·高一校考期中）己知函数为上的函数，对于任意，都有，且当时，.(1)求；(2)证明函数是奇函数；(3)解关于的不等式，【解析】（1）对于任意，都有.令得即（2）函数定义在上，由（1）并令得，即所以函数是奇函数（3）原不等式即，由（2）是奇函数及对，都有，得即，任取、，且，则，由，．，，即，从而在上是增函数；所以，即，当时不等式即，解集为，当时，方程的两根为或，①当时，，所求不等式的解集为；②当时，，所求不等式的解集为；③当时，，所求不等式的解集为；综上，当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.例34．（2023·湖北孝感·高一校联考期中）已知函数对任意实数都有，并且当时.(1)判断的奇偶性；(2)求证：是上的减函数：(3)，求关于的不等式的解集.【解析】（1）取，则，∴．取，则，即对任意恒成立，∴为奇函数．（2）任取，且，则，，∴，又为奇函数，则，∴，即，∴是上的减函数.（3）为奇函数，则，不等式可化为，即，∵是上的减函数，∴，即，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.例35．（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．【解析】（1）定义域为，令，得，再令，得，所以，故是奇函数；（2）因为，故令得，即，又是奇函数，所以，令得，令得故；（3）不妨设，中，令得，，因为，又时，，所以，即，所以在R上单调递减，故．例36．（2023·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．(1)求；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)判断在上的单调性，并说明理由．【解析】（1）令，，可得，解得；令，，可得，解得.（2）为奇函数，理由如下：，而，得故在上是奇函数（3）当时，，所以当，则，得，又在上是奇函数，所以当，则，设，则，所以，，故，在上单调递减.考点十、函数性质的综合例37．（多选题）（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（

）A．是偶函数B．是奇函数C．在上单调递增D．在上单调递增【答案】AC【解析】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，所以，，所以和均为偶函数，A正确，B错误；又因为，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误.故选：AC例38．（多选题）（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）设（，，），若，，，则（

）A． B．C．为非奇非偶函数 D．【答案】BCD【解析】由题意可得，解得，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，，所以为非奇非偶函数，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.例39．（多选题）（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于原点对称C．D．【答案】AC【解析】由定义域为，且为偶函数，∴①，∴关于直线对称，故A正确；又为奇函数，∴，即，用替换上式中，得②，∴关于点对称，又关于直线对称，故关于轴对称，即为偶函数，无法确定的图象是否关于原点对称，故B错误；由①②得③，∴④，∴，∴，所以函数周期为4，在②式中，令得，解得，①式中令得，②式中令得，∴，故C正确，无法判断结果，故D错误.故选：AC.例40．（多选题）（2023·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知函数，下面命题正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数的值域为 D．函数在内单调递减【答案】ACD【解析】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称，又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误；又因为，，所以，所以，故C正确；因为，时，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；故选：ACD.过关检测一、单选题1．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由函数，可得，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D项；又由，可排除B项，所以A符合题意.故选：A.2．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数（

）A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为，最大值为0C．最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值【答案】C【解析】函数，当时，，故，故，所以的最小值为，最大值为3．故选：C．3．（2023·云南大理·高一云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数，则（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】因为，所以，所以故选:C.4．（2023·福建南平·高一校考期中）已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为为偶函数，所以.又当时，单调递增，且，所以，即.故选：C.5．（2023·辽宁大连·高一期末）若函数为偶函数，则b的值为（

）A．-1 B． C．0 D．【答案】B【解析】由题设，所以恒成立，则.故选：B6．（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知函数，实数，满足，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】，所以的定义域为，，所以是奇函数，由可得.故选：B7．（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，由为定义在上的减函数，故在上恒成立，且在上是减函数，则，，故.故选：A.二、多选题8．（2023·山东泰安·高一泰山中学校考期中）下列说法中，正确的是（）A．若对任意，，，则在上单调递增B．函数的递减区间是C．函数在定义域上是增函数D．函数的单调减区间是和【答案】ABD【解析】对于A：若对任意，，，显然，当时，则有；当时，则有；由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确．对于B：作出函数的图象，如图所示，由图象可知：函数的递减区间是，故B正确；对于C：由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误；对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确．故选：ABD．9．（2023·重庆·高一重庆市辅仁中学校校考期中）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】CD【解析】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，则，即，可得，结合选项可知AB错误，CD正确.故选：CD.10．（2023·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考阶段练习）下列命题不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．函数在区间上单调递增C．函数的单调递减区间是D．已知函数是上的增函数，则的取值范围是【答案】AB【解析】A：因为，即.所以函数的定义域为.因为，但是，所以函数在定义域内不是减函数.故选项A不成立；B：因为，解得.所以函数的定义域为，且，.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递增，所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.故选项B不成立；C：因为，解得：.所以函数的定义域为.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递减，所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.故选项C成立.D：因为函数是上的增函数，所以各段均为增函数，且在分界点处前段函数的函数值不大于后段函数的函数值，所以实数应满足，解得.故选项D成立.故选：AB.11．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：①在上是单调函数；②在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确；对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确；对于C，在上单调递减，在上单调递增，假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则，即有，而或，无解，若在上单调递减，则，即，两式相减得，而，则两式相加得，矛盾