高等数学-习题及答案 孙忠民 第1章 函数的极限与连续

第1章函数的极限与连续

【能力训练1.1】

(基础题)

一、填空题

⑴函数yq一月的定义域为.

-X,—1x<0,.1

(2)函数f(x)="O则长5)=______J(°)=______，汽1)=

V3-X,0<x<2.2

sinx,:至则，局=.

(3)已知y=/(x)=

0,

(1)略(2)略(3)略

二'基本初等函数具备哪些主要性质？

1、性质。基函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是

否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；索函数的图象最多只能同时出现在两个象限

内；如果易函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

2、初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本

初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数,

如狄利克雷函数和黎曼函数。目前有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数

学只有五种。

三'函数f(x)=1与g(x)=sir)2x+cos2x是否为同一函数?为什么？

是同一函数。

原因：因为g(x)=sin2x+cos2x=l所以f(x)=l与g(x)=sii?x+cos?x得定义域与值域都相同，

所以函数f(x)=l与g(x)=sin2x+cos2x是同一函数。

四、指出下列函数由那些基本初等函数复合而成。

4

(l)y=cosx;(2)y=-------尸=

arccosVx+1

1-(1-x2)213

(3)y=Vsin2x;

(4)y=

1+(1-x2)2

答案：略

(应用题)

一、［产品收入］某工厂第年某种产品的产量为120+2t+3t2单位，单位产品的

纯收入为6000+700t.试建立该厂第t年该产品的年收入函数。

答案：略

二'［汽车租赁］汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为：每天基本租金200

元，另外每千米收费1.5。

(1)试建立每天的租车费与行车路程xkm之间的函数关系；

答：设每天的租车费用为y行车路程x,贝iJy=200+1.5x(x20)

(2)若某人某天支付了400元租车费，问他行车路程为多少千米？

答：根据(1)可知y=2OO+1.5x

令y=400可得400=200+1.5x-l.5x=200-x=400/3千米

则行车路程为400/3千米。

【能力训练

(基础题)

一、分析函数的变化趋势，并求极限：

⑴y=m(xt8)；(2)y=ei(XT。-);

⑶丫=白—+8)；(4)y=cosx(x—0)

答案：略

二'下列极限是否存在?若存在，求出其数值：

(l)y=+

nT8n⑵吧(3%+1)；

答案：略

x—2,x<0,

三、已知函数，f(x)=0,x=0,讨论函数f(x)当XT0时的极无限。

x+2,x>0,

答案：略

四、下列叙述是否正确，并说明理由：

(1)一个纳米是一米的十亿分之一(即10%),则一个纳米是无穷小；

不正确。理由：略

(2)无穷小是零；

不正确。理由：略

(3)零是唯一可作为无穷小的常数；

不正确。理由：略

(4)无穷小是以零为极限的变量。

正确。

五'函数〃x)=匕L在什么变化过程中是无穷小量？又在什么变化过程中是无穷

大量？

答案：略

六、指出下列函数在变化过程中是无穷小量还是无穷大量？

⑴IOJ^+X［x->0);(2)-(x->0);

X

1+2x/

(3)—3-(XT8)；(4)—r-(XT8)；

人1十LX

(5)ex(xt-oo)；(6)Inx(xt0+);

y4-1

(7)1-cosx(x-»0);(8)--(XT3).

x—3

答案：略

(应用题)

一、［出租车费用］设某市白天出租车的收费y(单位：元)与路程x(单位：km)

之间的关系为

8,0<x<1,

f(x)=8+1.8(x-1),1<x<7,

18.8+2.7(x-7),x>7,

求f(x).

XT7

答案：略

【能力训练1.3】

（基础题）

一、求下列函数的极限:

(1)lim(3f+x-2);⑵地+号）；

x->2

⑶lim；(4)lim士

x->2X+2x->2X—2

仆x2-3x+2Ar<%+△%-毋

(5)hm--——--;

2(6)lim-------------;

XT11-X△JOAX

/(x+A)3-X3y1一1

⑺hm-----------;(8)Hm-

JOhX-*1X-1

e、「A111\(10)lim52,：］；

\242n)x-»82xl-3x+1

ylx+y/x

f+X

(11)lim-r----r--；(12)lim」-；--------.

xt8x3+2x2+81*872K+1

答案：略

二、求下列极限:

八、「sin3xsin5x

⑴物2x；⑵1%山；

2

(3)lim(1+邛；(4)lim(1-Ip；

XT8\2XJ

(5)1叫y；(6)lim(l-x)b

x->o\3/x-»0

erln(l+x)ex-1

⑺黑X；(8)lim-----.

XTOx

答案：略

（应用题）

一'设一产品的价格满足P（t）=20-20e°5;请你对该产品价格作一个长期预测。

答案：略

【能力训练1.41

（基础题）

一、指出下列函数的间断点，并指出间断点的类型:

V1+X2-1

(1)/«=(2)/(x)=

%,一1Wx41x2-1

(3)/(%)=(4)rw=

1,其他x(x-1)

答案：略

二'求下列函数曲线的水平渐近线与垂直渐近线:

X+1

(l)f(x)=⑵即占

X-1

(3)/(x)=ex;(4)f(x)=lnU-1).

答案：(1)略

(2)略

(3)水平渐近线y=0,没有垂直渐近线。

(4)略

三'证明方程xMx+2-O在区间(1.2)内至少有一个根。

证明：

令f(il)=i；-46i+2当x=1时，f(1)=1-4+2=-1当x=2时，f(2)=16-8+2=10

.-.f(1)<f(a:i)<f(2),1<6<2故14一4*+2=疏区间(1,2)内至少有一根

(应用题)

一、设1g冰从-40℃升到1009所需要的热量(单位：J)为