北京市朝阳区2023-2024学年高二年级上册期末质量检测数学试题（解析版）

北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测

局一数学

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷共4页，150分.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本

试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项.

1.若直线1的斜率为一石，贝心的倾斜角为（）

A.-工B.-&C.生D.包

3636

【答案】c

【解析】

【分析】设直线/的倾斜角为8，根据题意得到tan6=-君，即可求解.

【详解】设直线/的倾斜角为夕，

因为直线的斜率是-石，可得tan，=-石，

又因为OV，（万，所以9=斗，即直线的倾斜角为彳.

故选：c

2.已知等差数列｛。”｝,其前九项和为S.，若。2+%+/=3，则怎=（）

A.3B.6C.9D.27

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列性质，结合前九项和公式计算即得.

【详解】在等差数列｛%,｝中，3%=4+%+G=3，解得%=1，

所以59=9（。；旦）=9%=9.

故选：C

3.已知双曲线\-3=1（。>0,6>0）的实轴长为2夜，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为0,则

ab

双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±42x

C.y=±y[3xD.y=±2x

【答案】A

【解析】

【分析】由实轴长得a=也，由焦点到渐近线的距离为b=则可得渐近线方程.

22

【详解】由双曲线二-1=1(。>0/>0)知，焦点在X轴上，

ab

b

设左焦点厂(-c,0),其中一条渐近线方程为丫=一x,即次一@=0.

a

由实轴长为2&得2a=2后，解得。=行；

由左焦点F(-c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=J=—=b=y/2,

则双曲线渐近线方程为y=±%.

4.过抛物线好=4y的焦点尸作倾斜角为30的直线/与抛物线交于A3两点，贝U|A同=()

10-1316

A.—B.4C.—D.—

333

【答案】D

【解析】

【分析】将直线/的方程与抛物线方程联立，得％+%，由焦点弦长公式|人耳=%+%+，得弦长•

【详解】抛物线好=4〉的焦点厂(0,1),直线/的方程为〉=#彳+1，

x2=4y

联立方程组73，得3y2-10y+3=0,A>0

y=——x+1

13

rtI10I4r.1c16

则%+%=三，|AB|=yx+y2+l=—

故选：D.

5.在正方体ABC。—A4G2中，E产分别为CD和A片的中点，则异面直线”与2E.所成角的余

弦值是()

A.0B.-C.-D.毡

555

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，转化为求解两向量夹角的余弦值即可.

【详解】设正方体棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系，

则D](0,0,2),E(0,l,0),A(2,0,0),F(2,l,2),

^E=(0,l,-2),AF=(0,l,2),

则/…—”\国D.E网AF=耳存1-4=-二3，

由异面直线AF与2E.所成角为锐角，

3

则余弦值面直线AF与.所成角的余弦值为彳.

x

6.若方程上一-汇=1表示椭圆，则实数切的取值范围是()

4-mm

A.（0,4）B.（-oo,0）C.（4,+oo）D.(—,0)一(0,4)

【答案】B

【解析】

【分析】由方程表示椭圆得系数满足的不等式组，解不等式组可得.

22

【详解】因为方程二--2=1表示椭圆，

4-mm

4—m>0

则〈一机〉0,解得m<0,则实数加的取值范围是(-8,0).

4—加。—m

故选：B.

7.已知等比数列各项都为正数，前九项和为S"，则“｛4｝是递增数列”是N*,S2“<35J的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】通过两个特殊数列可知两个命题互相推不出，则可判断为既不充分也不必要条件.

【详解】等比数列｛&｝各项都为正数，设公比为9,则q=&包〉0,

an

①当％=1,4=2时，｛4｝是递增数列

1—2?"=22,!-1,35„='J)=3(2"—1)，

1-21—2

由S-fl『—,!n

2n3S“=(232+2=(2-l)(2-2)>o,则邑”3

不满足V”eN*,S2“<3S”.

所以｛4｝是递增数列KV“eN*,S2„<3Sn.

②当q=q=1时，则S2n=2n<3Sn=3n,

此时满足S2〃<3S“，｛a,｝为常数列，不是递增数列.

所以V〃eN*,S2“<3S“R｛a“｝是递增数列.

故“｛q,｝是递增数列”是“V”eN*,S2„<3SJ的既不充分也不必要条件.

故选：D.

8.为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W与

时间/的关系如图所示，下列说法正确的是（）

A.该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多

B.该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快

C.在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快

D.该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同

【答案】D

【解析】

【分析】选项A,结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B,由切线倾斜程度的大小比较可

得；选项C,在接近a时污水排放量减少快慢，可以用在务处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲

线在％处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D,利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲、乙两厂污水

排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同.

【详解】选项A,设AW=叱—叱力，

设甲工厂的污水排放量减少为公叱，乙工厂的污水排放量减少为,

结合图像可知：△叫＜A叱，

所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；

选项B,作出如图所示表示甲厂曲线的3条切线/i12,4可知，

直线/2的倾斜程度小于4的倾斜程度，直线k的倾斜程度大于4的倾斜程度，

而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，

从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误;

选项c,设4为接近t0的时刻且t,<t0,

w_-W_

从4时刻到fo时刻，污水排放量平均变化率f=*一-

由导数的定义与几何意义可知，

在接近九时，在接近。时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替.

设甲工厂在"处切线的斜率为匕，乙工厂在。处切线的斜率为区，

结合图象可知同>问，

所以在接近。时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；

选项D,如图，利用导数的几何意义，存在时刻两曲线切线的斜率相等,

即甲、乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，

所以该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确.

故选：D.

9.43是圆。]：（苫—2）2+（、—根）2=4上两点，|4即=26,若在圆Q:（x—2）2+（y+l）2=9上存在点

P恰为线段AB的中点，则实数加的取值范围为（）

A.[1,3]B,[-5,3]C.[-5,-3]o[l,3]D,[-4,-2]o[2,4]

【答案】C

【解析】

【分析】由|A3|=2后得弦中点p到圆心G的距离|GP|=1,则点P在以C1为圆心，1为半径的圆上，又

在圆C2上存在点p,则可转化为两圆有公共点问题求解即可.

【详解】圆£：（x—2）2+（y—根产=4,圆心G（2,m）,r=2,

由P是弦AB的中点，且|A3|=2百，则由圆的几何性质，C.P±AB,

所以（耳=,22—（括J=1，

故点P在以C（2,m）为圆心，以6=1为半径的圆上.

又在圆。2：（%-2『+（y+=9上存在点p满足题设，

且其圆心。2（2,-1），半径々=3,

则由两圆有公共点，得4-BPl<|m+l|<4,

解得一5二加<一3,或14根43.

10.已知数列｛4｝的通项公式4=2","eN*.设/=(q+1)(4+1)(4+1)(v+1)-左eN*，若

log2(，+1)=256,贝蛛=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】在已知/的等式代入通项公式4=2",在两边同乘以式子(2-1),连续使用平方差公式化简得

t=22'-1，再由对数式转化指数式得.=2256—1，则可解得上.

【详解】由题意知，/=(%+1)3+1)3+1)(^-,+1)=(2+1)(22+1)(24+1)(2*+1),

则f=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)Q2"'+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(2户+1)

=(24-1)(24+1)(2*+1)=22"-1,

由log2«+1)=256得/=2?56—1=22"贝［|2*=256=2®,

解得左=8.

故选：C.

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.两条直线6：x—y=0与6：x—V—2=0之间的距离是.

【答案】亚

【解析】

【分析】由两条平行线的距离公式求解即可.

【详解】由两条平行线的距离公式可得：

Vi+1

故答案为：V2-

12.已知函数/'(x)=sin2x,则/'(0)=.

【答案】2

【解析】

【分析】由复合函数导数运算公式求导函数，代入求导数值即可.

【详解】由/(x)=sin2x,则/'(x)=2cos2x,

所以/，(0)=2cos0=2.

故答案为：2.

13.以4(4,6),5(-2,-2)为直径端点的圆的方程是.

［答案］（1）2+（—）2=25

【解析】

【分析】利用直径端点求出圆心和半径，再用标准方程求解即可.

【详解】A（4,6）,B（-2,-2）是直径端点，

•••由两点间距离公式得直径长为|A3|=,36+64=10,故半径为5，

且设圆心为C,由中点坐标公式得圆心C（l,2）,

故圆的方程为（x—1）2+"—2）2=25.

故答案为：0—1）2+（y_2）2=25

14.在空间直角坐标系中，已知点A（l,0,0）,5（0,l,0）,C（0,0,l）,若点尸（羽%—1）在平面ABC内，写出

一个符合题意的点P的坐标.

【答案】尸（LL—1）（答案不唯一）

【解析】

【分析】由他。四点共面可得4。=〃?48+〃4。，代入计算可得工+丁—2=0,所以尸（苍又—1）满足

x+y-2=0即可.

【详解】点尸（苍X—1）在平面ABC内，所以ABCP四点共面，

则AP=mAB+nAC>

所以（*一1,y,-1）=m（-l,1,0）+«（-1,0,1）,

x—1=—m—n

所以<y=加,则x+y—2=0,

-1=n

所以P（x,y,—1）满足x+y—2=0即可.

令x=y=l,满足x+y-2=0,

所以符合题意的点P的坐标可以为p（l,l,-l）.

故答案为：p（l,l,-l）（答案不唯一）.

15.某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次

幕，那么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2022年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比

赛阶段，需要四轮，8+4+2+1=15场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次哥，则规定在第一轮

比赛中安排轮空（轮空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次幕.（如20人参加单淘汰制

比赛，第一轮有12人轮空，其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.）最终有120名

同学参加校乒乓球赛，则直到决出冠军共需轮；决出冠军的比赛总场数是.

【答案】①.7②.119

【解析】

【分析】根据比赛规则，第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛，以后每轮淘汰一

半同学，按每轮分析计算即可.

【详解】因为2,=64（120,27=128）120,

所以第二轮需要64名同学参加比赛，

则第一轮淘汰120—64=56人，

即第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛，

则第二轮有64名同学参加比赛，

所以共进行了32场比赛，淘汰了32人，

则第三轮有32名同学比赛，则进行了16场比赛，

第四轮有16名同学参加比赛，共进行了8场比赛，

第五轮有8名同学参加比赛，共进行了4场比赛，

第六轮有4名同学参加比赛，共进行了2场比赛，

第七轮有2名同学参加比赛，共进行了1场比赛，

故直到决出冠军共需7轮比赛，

共进行了56+32+16+8+4+2+1=119场比赛，

故答案为：7；119.

16.如图,在长方体ABCD—&耳GR中，A3==3,A&=1,"为棱的中点，点尸是侧面CCRD

上的动点，满足NAPD=NCPM,给出下列四个结论：

①动点尸的轨迹是一段圆弧;

TT

②动点尸的轨迹长度为一;

3

③动点P的轨迹与线段CG有且只有一个公共点;

④三棱锥P-ADD,的体积的最大值为土且

2

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】利用三角函数的定义得到PD=2PC,再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动

点P的轨迹，从而逐一分析各选项即可得解.

【详解】由长方体性质可知：4。,8。都与平面。£。。垂直，

而。RCP在平面内，所以AOLORCBC,

qiADCM工

由NA尸D=NCPM,可知tanNAP£>=tanZCPA/,a即一=——，故PD=2PC,

PDPC

建立如图所示的空间直角坐标系，

则。（0,0,0）,。（0,3,0）,因为点尸是侧面上的动点，故设尸（O,y,z）,

）2222

故所求点P（0,y,2满足JV+z2=27（y-3）+z，化简得（y-4）+z=4,

则动点尸的轨迹为此圆在矩形CDRG内的部分，是一段圆弧，故①正确；

记圆心F（0,4,0）,当y=3时，由（3-4『+Z2=4,得Z=6〉1，

显然动点尸的轨迹与线段CG没有公共点，故③错误;

Di

~D\m_cFT~y

\/

、、一/

当z=l时，由（y—4）2+F=4,得y=4—6或y=4+G（舍去），

当z=0时，由（y-4>+。2=4,得y=2或y=6（舍去），

则£（0,2,0）,G（0,4-A/3,1）,

]A/3

易得tanNGEEn：^—=—,又。<NGFE「,则NGbE=/，

4-I4-V3J326

JTJT

所以动点P的轨迹长度为一x2=」，故②正确；

63

显然，动点P到平面AD2的最大距离为点G到平面AD2的距离，即4-6，

所以三棱锥P—AD2的体积的最大值为gxgx3xlx（4—乎，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间向量法求得动点尸的轨迹,

从而得解.

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.己知函数/（0=（2%2一3%）61

⑴求曲线产/（%）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）求/（x）的单调区间.

【答案】（1）y=-3x

（2）单调递增区间为[-叫-+8）；单调递减区间为-1』

【解析】

【分析】（1）由导数的几何意义利用导数求切线的斜率，再由点斜式求切线方程;

（2）按步骤利用导数求函数的单调区间.

【小问1详解】

由/（尤）=（2*—3九）廿，/（x）的定义域为R.

贝ij/'（九）=（2x2+x—3）e）

所以八0）=—3e°=—3,又/（0）=0,

所以在点（0,7（0））处的切线方程为y=-3%.

【小问2详解】

/'（九）=（2尤2+%—3）ex=（x-l）（2x+3）e\

,3

由/'（%）=。，得％=—，或％=1,

2

当了<-1时，f\x）>0,/。）单调递增；

当一彳<x<l时，f\x）<0,/（x）单调递减；

当%>1时，r（X）>o,“X）单调递增；

所以函数〃x）的单调递增区间为8,-m］，（i，+°°）；

单调递减区间为［—|』］

18.已知5“为数列｛4｝的前九项和，满足S.=24-l,〃eN*,数列｛2｝是等差数列，且

b、——q,Z?2+-］0・

（1）求数列｛4｝和｛2｝的通项公式；

（2）求数列｛%,+〃｝的前〃项和.

【答案】（1）a〃=2"T;bn=-2n+l

（2）2n-n2-l

【解析】

【分析】（1）由%与S“关系得递推关系，进而证明｛4｝为等比数列，再由首项公比求｛4｝通项公式；设

出基本量，建立并求解方程组得｛〃｝通项公式即可；

（2）分组求和，利用公式法分别求解等比与等差数列的和.

【小问1详解】

当〃=1时，S]=2al-1-c^,得q=1,

当〃》2,〃eN*时，SAT=2。“_]-1①，

由已知S”=2a“-l②,

②-①得，an=2an-2%,

所以。“=2a,i，由得名-=2

an-l

所以数列｛4｝为等比数列，公比4=2,

因为4=1,所以%=2"T("CN*).

设等差数列｛d｝的公差为d,

由4=—1,则打+4=-1+d+(―1)+3d=-2+4d=-10,解得d=—2.

所以2=4+(〃-l)d=-2n+l(HGN*).

【小问2详解】

设g=4+〃，则%=2n-1+(~2n+1)=2n-x-(2n-1)，

设｛%｝的前〃项和为北，

则7；=(1+2+4++2"T)—(1+3+5++2/7-1)

_1-2Hn(l+2n-l)

-1-22

=2"-"—I.

19.如图，三棱锥P—ABC中，钻=5。=6=?8=1,平面2钻，平面ABC,点E是棱P5的中点,

再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)求证：AB±PC；

(2)求二面角七一AC-3的余弦值.

条件①：PC=旦;

2

条件②：直线PC与平面上45所成角为45.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

力3m

\^)-----

13

【解析】

【分析】(1)由面面垂直性质定理证明线面垂直，进而得线线垂直，再由长度关系利用勾股定理证明另一

组线线垂直，则由线面垂直判定理证明线面垂直，由此线线垂直得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量方法求解二面角的大小.

【小问1详解】

选择条件①.

取AB的中点。，连接

由于ABC是等边三角形，故CDLAB,

又平面ABC1平面已钻，CDu平面ABC,

平面ABCc平面RIB=AB,

故CD,平面

而？Du平面MB,故CD_L?D,即NPDC=90，

又BP=l,BD=g,故尸4=皮>2+p02,

则N3£>P=90，即

因为ASLCD,PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以AB工平面尸CO,PCu平面PC。，

所以A6LPC.

选择条件②.

取AB的中点。，连接

由于ABC是等边三角形，故CDLA6,

又平面ABC1平面已钻，CDu平面ABC,

平面ABCc平面八IB=AB,

故CD,平面Q43，

所以PC在平面ABP内的射影是PD，

所以NCPD是直线PC与平面A5P所成角.

所以NCPD=45.

由CD,平面P4B，而PDu平面上钻，故CDLPD,即NPDC=90,

所以PD=CD=2,又BP=1,BD=L

22

故PB?=BD2+PD?，则N3£>P=90，即ABLPD.

因为ABLCD,PDcco=r),pr),cr)u平面pc。，

所以A3工平面尸CD,PCu平面尸C。，

所以A5LPC.

由(1)知。P,OC,ZM两两垂直，

以。为坐标原点，DCDAOP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

于是A(O,5,O],B[O,—5,o：c[q^,o,o,Po,o,,

(i5

由点E是棱的中点，所以E0,-■,

I44J

不曰「J括16]ACJ1。]

于"£=[=，-7F，又vAC=曰-5'。)

设〃=（x,y,z）是平面EAC的一个法向量，

“指1n

n-AC=——x——y=0

则2L2，令>=百，则x=l,z=3,

，CE=--x--y+—z=0

n24-4

所以“=（1,、6,3卜

又加=（0,0,1）是平面ABC的一个法向量,

设二面角E-AC-B的大小为8,由题可知，为锐角,

|八〃|_3_3A/13

所以cos0-cos(m,n

m\'\n\而一13

=1（。＞〃〉0）的一个顶点坐标为（0,、6），离心率为：.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）过椭圆E的右焦点尸作斜率为M左W0）的直线/交椭圆E于A3两点，线段A3的垂直平分线m分

别交直线/,x轴，y轴于点的值.

22

【答案】（1）'+匕=1

95

⑶回」

\MN\5

【解析】

【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及标一^=,2求出〃、步可得答案;

(2)直线/的方程与椭圆方程联立，设利用韦达定理求出加点坐标，可得直线

的方程，令y=。、彳=0可得N、K点坐标，利用两点间的距离公式求出|KN|、|肱V|,再做比值可得答

案.

【小问1详解】

b=45

c2…口"2=5

由题意可得e=—=—,解得<

a3=9'

a1-b2=c2

,22

所以椭圆E的标准方程为—+^=1；

95

【小问2详解】

22

由(1)椭圆E的标准方程为］+3=1,可得-2,0),

可得直线/的方程为丁=左(％—2)(左wO),

y=^（x-2）

22

与椭圆方程联立《xy,可得（5+9左2）%2—36k2%+36%2_45=0,

[95

oZTL-236左2-45

易知A>0,设A（XQJ,3（W，%）,所以玉+1

TXi1X22二----------------丁

DI/C、5+9左2

1’18公—10左

所以X”=,代入直线/的方程得y=k-2

M、5+9左25+9左2

5+9k7

（18左2-10Z：）

所以M

^5+9k2,5+9k2

—10左1'18/、

所以直线的方程为y-

5+9严kJ~5+9k\

18左210左28左2

当y=o时，x

N5+9左25+9k25+9k2

18左1048k

当x=0时，y

K5+9左25+9左②5+9左2

8k）

所以N［用斗K］。

所以区N|U+PM、8尸,

11][5+9k2J[5+9k2J5+9k2

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【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（国,%）,（%2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次方程，注意△的判断;

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为玉+%、（或％+%、％%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21.设正整数n之4,若由实数组成的集合人={4，4，，，%}满足如下性质，则称A为H“集合：对A中

任意四个不同的元素Q,0,c,d，均有必+cdwA.

（1）判断集合A小g，1,2卜口&1,2,31是否为H4集合，说明理由;

（2）若集合A={0,x,y,z}为H4集合，求A中大于1的元素的可能个数；

（3）若集合A为H”集合，求证：A中元素不能全为正实数.

【答案】（1）A=[o,g』,21是集合，&=1,1,2,31不是H4集合；

（2）A中大于1的元素的可能个数为0』.

（3）见解析

【解析】

【分析】(1)由H4集合的定义即可得出答案；

(2)由题意可得{x,y,z}={^,yz,xz},不妨设*<y<z,分类讨论为<y<z<0,x<y<0<z,

x<O<y<z和。<x<y<z结合集合的性质即可得出答案；

(3)根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明.

【小问1详解】

集合4=[o,g,l,21是H4集合，

当{{。,可，{。,1}}=1()，3},{1,2}>时，0x|+lx2=2e4；

当{{a,0},{c,d}}=<{0」},g,21时，0xl+|x2=le4；

当{{a,A},{c,d}}=<{0,2},1,“，时，0x2+；xl=；eA；

集合&={；1,2,31不是集合，

取{。,4c,d}={；」,2,31,则4人+。4=；><1+2*3