2023-2024学年黑龙江省大庆杜尔伯特蒙古族自治县联考九年级上册数学期末监测试题含解析

2023-2024学年黑龙江省大庆杜尔伯特蒙古族自治县联考九上数学期末监测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在矩形中，AB=4,BC=6,将矩形A8CO绕8逆时针旋转30°后得到矩形G8EV,延长ZM交尸G

C.3G-4D.6-373

2.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()

A.x2+-=0B.(X-1)2=(X+3)(X-2)+1

x

C.x=x2D.ax2+bx+c=0

3.关于X的方程依2+3x—1=0有实数根，则k的取值范围是（）

9999

A.k工—B.kN—且左H0C.kN—D.k>——且左

4444

4.对于二次函数y=/-6x+10,下列说法不正确的是（）

A.其图象的对称轴为过（3,1）且平行于.V轴的直线.

B.其最小值为1.

C.其图象与x轴没有交点.

D.当x<3时，，'随x的增大而增大.

3

5.如图，点A在反比例函数y=—（x>0）的图象上，过点A作ABJ_x轴，垂足为点B,点C在y轴上，则AABC的面

x

积为（）

6.抛物线y=3x2-6x+4的顶点坐标是（）

A.（1,1）B.（-1,1）C.（-1,-2）D.（1,2）

7.一次函数y=-3x+》图象上有两点A（xi,ji）,B（M,户），若xi〈X2,则yi,山的大小关系是（）

A.J1>J2B.J1<J2

C.y\—yiD.无法比较yi，也的大小

8.如图，PA是。O的切线，切点为A,PO的延长线交。O于点B,若NP=40。，则NB的度数为（）

二P

A.20°B.25°C.40°I）.50°

9.如图，下列四个三角形中，与ABC相似的是（）

A

B人C

a

A，B.C.1

555

10.函数y=ax2与》=-ax+6的图象可能是（）

A-y小B-4J泳C

11.关于X的一元二次方程（。一1）/一2彳+1=0有实数根，贝！J"满足（）

A.a<2B.。<2且C.a<2S.a^lD.。彳1

12.如图，在ABC。中，E为CD上一点,连接4£、BD,且AE、BD交于点F,O£:AB=2:5,则DE:职

等于（）

C.3:5D.3:2

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，正六边形ABCDEF内接于00,。0的半径为6,则这个正六边形的边心距0M的长为

14.如图，在△A8C中，NA4c=50。，AC=2,48=3,将△ABC绕点4逆时针旋转5（）。，得到△ABG,则阴影部分

的面积为.

15.计算：^-（1）-'+4sin30=.

16.如图，已知菱形ABCD中，ZB=60°,点E在边BC上，NBAE=25。，把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点

E落在边CD上，那么旋转角a的度数为.

A

D

17.如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，BM±CE,AB=6,则BM=

18.因式分解：27a2-3b2=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）计算：|一百|一A+2020°；

20.（8分）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D（如图）.

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.

21.（8分）已知抛物线的解析式是y=R-（*+1）x+lk-1.

（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（1）若抛物线与直线》=*+犬-1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标.

12

22.（10分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡比DE:EC=1：y,高为DE,在斜坡下的点C

处测得楼顶B的仰角为64。，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45。，其中A、C、E在同一直线上.

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64K0.9,tan64%2）.

ECA

23.(10分)如图，一艘游轮在A处测得北偏东45。的方向上有一灯塔B.游轮以20夜海里/时的速度向正东方向航

行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15。的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？(结果精确到1海

里，参考数据：收工.41,73=1.73)

24.(10分)如图，在等腰A4BC中，AB=AC,以AC为直径作。。交8c于点O,过点。作垂足为

E.

(1)求证：DE是一。的切线.

(2)若OE=百，NC=3O。，求A0的长.

25.(12分)如图，线段48,A(2,3),B(5,3),抛物线y=-(x-1)2-”/+2„?+1与才轴的两个交点分别为C,

D(点C在点。的左侧)

(1)求，”为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标.

(2)设抛物线的顶点为P,，"为何值时△产口)的面积最大，最大面积是多少.

(3)将线段A8沿y轴向下平移〃个单位，求当，〃与"有怎样的关系时，抛物线能把线段A〃分成1：2两部分.

26.如图，NMON=60。，0尸平分NMON,点A在射线OM上，P,。是射线ON上的两动点，点尸在点。的左侧,

且尸Q=QA,作线段。。的垂直平分线，分别交OM,OF,ON于点Z),B,C,连接48,PB.

(1)依题意补全图形；

(2)判断线段48,P8之间的数量关系，并证明;

(3)连接AP,设上，当尸和。两点都在射线ON上移动时，人是否存在最小值？若存在，请直接写出女的最

小值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】作辅助线，构建直角△A”M,先由旋转得8G的长，根据旋转角为30。得/GBA=30°,利用30。角的三

角函数可得GM和的长，由此得AM和的长，相减可得结论.

【详解】如图，延长BA交G尸于M,

由旋转得：ZGBA=30°,ZG=ZBAD=90°,BG=AB=4,

：.ZBMG=60°,

GM

tanN30°=

~BG

.6M73

••=

43

.•.GM=半

3

.皿86.

..AM=-------4,

3

中，ZAHM=30°,

：.HM=2AM=-8,

3

AGH=GM-HM=-(1^1-8)=8-473，

【点睛】

考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30。的性质，解题关键是直角三角形30。所对的直角

边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值.

2、C

【详解】A.x2+-=0,是分式方程，故错误；

X

B.(x—l)2=(x+3)(x—2)+1经过整理后为：3x-6=0,是一元一次方程，故错误;

C.x=x2,是一元二次方程，故正确；

D.当a=()时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故错误，

故选C.

3、C

【分析】关于X的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；

当方程为一元一次方程时，k=l;

是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足

【详解】当k=l时，方程为3x-l=l,有实数根，

当片1时，A=b2-4ac=32-4xkx（-1）=9+4k>l,

9

解得k'—.

4

9

综上可知，当k壬丁时，方程有实数根；

4

故选C.

【点睛】

本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这

一隐含条件.注意到分两种情况讨论是解题的关键.

4、D

【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A、B、D三项，再根据抛物线的顶点和开口即

可判断C项，进而可得答案.

【详解】解：y=f—6x+10=（x—3了+1,所以抛物线的对称轴是直线：m3,顶点坐标是（3,1）；

A、其图象的对称轴为过（3,1）且平行于），轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；

B、其最小值为1,说法正确，本选项不符合题意；

C、因为抛物线的顶点是（3,1）,开口向上，所以其图象与x轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；

D、当x<3时，）'随x的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

5、C

【分析】连结OA,如图，利用三角形面积公式得到SMAB二SMAB,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到

SAOAB=y|k|,便可求得结果.

【详解】解：连结OA,如图,

VAB±x^,

AOC/7AB,

••SAOAB=SACAB,

HC13

而SAOAB=—­|k|=一,

22

SACAB=—>

2

故选C.

【点睛】

k

本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=一图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别

x

作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

6、A

【解析】利用二次函数的性质可求出抛物线的顶点坐标，此题得解（利用配方法找出顶点坐标亦可）.

一64x3x4-（-6）2

【详解】•••平3,炉-6,炉4,...抛物线的顶点坐标为（一一匕」4二）,即（1,1）.

2x34x3

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数尸af+*c（a¥0）的顶点坐标是（）,,是解题的关键.

2a4。

7、A

【分析】根据一次函数图象的增减性判断即可.

【详解】-3V0,

•••）值随x值的增大而减小，

又,.FVxi,

故选：A.

【点睛】

本题考查一次函数图象的增减性，关键在于先判断k值再根据图象的增减性判断.

8、B

【解析】连接OA,由切线的性质可得NOAP=90。，继而根据直角三角形两锐角互余可得NAOP=50。，再根据圆周角

定理即可求得答案.

【详解】连接OA,如图：

•；PA是。O的切线，切点为A,

.,.OA1AP,

AZOAP=90°,

VZP=40°,

:.ZAOP=90°-40°=50°,

.*.ZB=-ZAOB=25°,

2

故选B.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.

9、C

【分析】AABC是等腰三角形，底角是75。，则顶角是30。，结合各选项是否符合相似的条件即可.

【详解】由题图可知，A6=AC=6,NB=750所以NB=NC=75。，

所以NA=30°.根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知，与A6C相似的是C项中的三角形

故选：C.

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较

强.

10、B

【解析】A选项中，由图可知：在丁二奴?，«>0；在丁=一。%+人，-<7>0,.,.a<Q,所以A错误;

B选项中，由图可知：在y=«>0；在丁=一。%+匕，-a<0,：.a>0,所以B正确；

C选项中，由图可知：在y=a%2,a<Q,在>=一数+。，-a<o,;.a>Q,所以C错误；

D选项中，由图可知：在^=办2,a<Ot在y=-O¥+。，-a<0,：,a>0,所以D错误.

故选B.

点睛：在函数>=依2与丁=一6+匕中，相同的系数是“a”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变

化趋势确定出两个解析式中的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与

“b”的取值无关.

11、C

【分析】根据一元二次方程（。-1）/-2》+1=0有实数根得到^..0且。_1。0,解不等式求出"的取值范围即可.

【详解】解：关于x的一元二次方程（。-1）/-2工+1=0有实数根，

且a—IHO,

二△=4-4（。-1）=-4a+8..0且a。1,

aW2且

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程，a2+必+。=0包/0）的根的判别式△=〃一4ac：当△>（），方程有两个不相等的实数

根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.

12、A

【分析】根据平行四边形得出DEF.84尸，再根据相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】四边形ABCD为平行四边形

DC//AB

「DEF一BAF

DFDE2

,--5

故选A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、36

【解析】连接0B,

360°

,六边形ABCDEF是。。内接正六边形，.'.NBOMM-------=30°,

6x2

.•.0M=0B・cosNB0M=6X—=3^/3,

2

故答案为3G.

D

.c_c_50乃,AB~_5.经妥七5

【解析】试题分析：・・S阴影=3扇形Ag==:),故答案为—冗•

36044

考点：旋转的性质；扇形面积的计算.

15、272

【分析】先计算根号、负指数和sin30。，再运用实数的加减法运算法则计算即可得出答案.

【详解】原式=2夜-2+4x；=2&,故答案为2vL

【点睛】

本题考查的是实数的运算，中考必考题型，需要熟练掌握实数的运算法则.

16、60。或70°.

【分析】连接AC,根据菱形的性质及等边三角形的判定易证AABC是等边三角形.分两种情况：①将AABE绕点A

逆时针旋转60。，点E可落在边DC上，此时AABE与AABEi重合；②将线段AE绕点A逆时针旋转70。，点E可落

在边DC上，点E与点E2重合，此AAEC丝ZkAEzC.

【详解】连接AC.

,菱形ABCD中，ZABC=60°,

.,.△ABC是等边三角形，

.,.ZBAC=ZACB=60°,

/.ZACD=60°.

本题有两种情况：

①如图，将AABE绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点E与点Ei重合，此时AABEg4ABEi,AE=AEi,旋

转角a=ZBAC=60°；

，D

//、、/£

Zf、/

/I、/

BKC

②•.•NBAC=60°,NBAE=25°,

.♦.NEAC=35。.

如图，将线段AE绕点A逆时针旋转70。，使点E到点E2的位置,

此时AAEC且△AE2C,AE=AE2,旋转角a=ZEAE2=70°.

综上可知，符合条件的旋转角a的度数为60度或70度.

171275

5

【分析】根据正方形的性质，可证△8CMS4CE。，可得照=g,即可求8肠的长

BMBC

【详解】解：正方形A3C。中，AB=6,

E是AO的中点，故EO=3；CE=3y/5,

\'BM±CE,

:ABCMsACED,

根据相似三角形的性质，可得盥=段，

BMBC

解得：BM=^H.

5

【点睛】

主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定和性质.充分利用正方形的特殊性质来找到相似的条件从而判定相似后

利用相似三角形的性质解题.一般情况下求线段的长度常用相似中的比例线段求解.

18、3（3a+A）（3a-b）

【分析】先提取公因式，然后用平方差公式因式分解即可.

【详解】解：27«2-3b2=3（9«2-Z?2）=3（3a+Z?）（3«-b）

故答案为：3（3a+0）（3a-。）.

【点睛】

此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和公式法的结合是解决此题的关键.

三、解答题(共78分)

19、-373+1

【分析】先根据绝对值的意义、二次根式的性质、零指数幕的意义逐项化简，再合并同类二次根式即可.

【详解】原式=6-46+1

=-373+1.

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解答本题的关键.

20、(1)证明见解析；(2)8-277.

【分析】(1)过O作OE_LAB,根据垂径定理得到AE=BE,CE=DE,从而得到AC=BD；

(2)由(1)可知，OELAB且OE_LCD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE-CE

即可得出结论.

【详解】解：(1)证明：如答图，过点O作OE_LAB于点E,

VAE=BE,CE=DE,

ABE-DE=AE-CE,即AC=BD.

(2)由(1)可知，OE_LAB且OEJLCD,连接OC,OA,

VOA=10,OC=8,OE=6,

•••CE=YIOC2-OE2=V82-62=2#i,AE=y/OA^-OE2=A/102-62=8-

r.AC=AE-CE=8-2币.

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

39

21、(1)此抛物线与x轴必有两个不同的交点；(1)(三，-

【分析】(D由△=[-(k+1)],-4xlx(lk-1)=k'-4k+U=(k-1)i+8>0可得答案；

(1)先根据抛物线与直线y=x+k」的一个交点在y轴上得出lk-l=k」，据此求得k的值，再代入函数解析式，配方

成顶点式，从而得出答案.

【详解】(1),/△=[-(k+1)],-4xlx(Ik-1)

=k1-4k+ll

=(k-1)'+8>0,

•••此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

(1),•,抛物线与直线y=x+k]-1的一个交点在y轴上，

Aik-l=k'-1,

解得k=L

39

则抛物线解析式为y=x,-3x=(x--)

24

39

所以该二次函数的顶点坐标为(一，

24

【点睛】

本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数y=ax/bx+c(a,b,c是常数，a和)的交点与一

元二次方程ax4bx+c=0根之间的关系及熟练求二次函数的顶点式.

22、(1)斜坡CD的高度DE是5米；(2)大楼AB的高度是34米.

12

【解析】试题分析：(1)根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡度为1:y,高为DE,可以求得DE

的高度；

(2)根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度.

12

试题解析：(1),••在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡度为1：y,

DE15

AEC-I2-12»

5

设DE=5x米，则EC=12x米，

(5x)2+(12x)2=13-

解得：x=l,

5x=5,12x=12,

即DE=5米，EC=12米，

故斜坡CD的高度DE是5米；

(2)过点D作AB的垂线，垂足为H,设DH的长为x,

由题意可知NBDH=45。，

.*.BH=DH=x,DE=5,

在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12,AB=x+5,AC=x-12,

Vtan64°=-----,

AC

AB

••2=------9

AC

解得，x=29,AB=x+5=34,

即大楼AB的高度是34米.

23、A处与灯塔B相距109海里.

【解析】直接过点C作CMJ_AB求出AM,CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案.

【详解】过点C作CM_LAB,垂足为M,

在RtAACM中，ZMAC=90°-45°=45°,则NMCA=45。，

，AM=MC,

由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=(200X2)2,

解得：AM=CM=4(),

VZECB=15°,

/.ZBCF=90°-15°=75°,

ZB=ZBCF-ZMAC=75°-45。=30。，

在RtABCM中，tanB=tan3(T=^^,即更=^2_,

BM3BM

.".BM=40V3»

AB=AM+BM=40+408=40+40x1.73=109（海里）,

答：A处与灯塔B相距109海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

2

24、(1)见解析；(2)A0=§7

【解析】(1)连结O/),根据等腰三角形性质和等量代换得N1=N5,由垂直定义和三角形内角和定理得

N2+ZB=90°,等量代换得N2+Nl=90°,由平角定义得N£>OE=90°,从而可得证.(2)连结A。，由圆周角

定理得NADC=90°,根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得NAO。=60。，在RtADEB中，由直角三角形性

质得BD=CD=2C，在RtAADC中，由直角三角形性质得Q4=OC=2,再由弧长公式计算即可求得答案.

【详解】(1)证明：如图，连结8.

•：OC=OD,AB^AC,

二N1=NC,NC=ZB,

AZ1=ZB,

二DELAB,

二N2+N6=90°,

二N2+Nl=90°,

...NODE=90°,

・'•DE为。的切线.

(2)解：连结A。，•.'AC为0。的直径.

：.ZADC^90°.

VAB=AC,

AZB=ZC=30%BD=CD,

：.ZAOD=60°.

VDE=6

BD=CD=26

：.OC=2,

..c60c2

・・AD—---万、2=-7i

1803

【点睛】

本题考查切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

25、(1)当股=()或m=2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y=-(x-1)M,对称轴为直线x=l,顶点

为(1,1)；(2)，〃为1时的面积最大，最大面积是20；(3)-2/«+6或-2»i+l.

【分析】(1)根据抛物线过原点和题目中的函数解析式可以求得机的值，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点

坐标；

(2)根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得机为何值时△尸C。的面积最大，求得点C、D的坐标，

由此求出4PCD的面积最大值；

(3)根据题意抛物线能把线段AB分成1：2,存在两种情况，求出两种情况下线段43与抛物线的交点，即可得到当

，"与"有怎样的关系时，抛物线能把线段分成1：2两部分.

【详解】(1)当y=-(x-1)2-m2+2m+l过原点(0,0)时，0=-1-m2+2m+l,得mi=(),m2=2,

当mi=0时，y=-(x-1)2+1,

当m2=2时，y=-(x-1)2+1,

由上可得，当m=0或m=2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y=-(x-1)2+1,对称轴为直线x=L顶

点为(1,1);

(2):•抛物线y=-(x-1)2-m2+2m+l,

••.该抛物线的顶点P为(1,-m2+2m+l),

当-m2+2m+l最大时，4PCD的面积最大，

■:-m2+2m+l=-(m-1)2+2,

.,.当m=l时，-nP+Zm+l最大为2,

；.y=-(x-1)2+2,

当y=0时，0=-(x-1)2+2,得xi=l+72，X2=l-6,

.,.点C的坐标为(1-&，0),点D的坐标为(1+72.0)

；.CD=