重庆市永川中学2023-2024学年高一年级上册第二次联考数学复习题二含解析

重庆市永川中学高2026届高一上期第二次联考

数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.)

1.下列四组函数中，表示同一函数的是()

2

A./(x)=log2xg(x)=21og2X

B.〃x)=singg(x)=(sinx)

sinx

C./(力=(2工)2与g(x)=4，

D./(x)=x%g(x)=l

【答案】C

【解析】

【分析】由表示同一函数的满足条件：定义域相同，对应关系相同，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】对于A：〃尤)的定义域为何"0},且(目的定义域为{小＞0},定义域不相同，故A错

误；

对于B："%)的定义域为R,g(x)的定义域为同x/E,keZ},定义域不相同，故B错误；

对于C：/(%),g(x)的定义域都为R,且解析式相同，故C正确；

对于D：7(尤)的定义域为{目%。0},g(x)的定义域为R,定义域不相同，故D错误.

故选：C.

2.下列叙述正确的是()

A.180。的角是第二象限的角

B.第二象限的角必大于第一象限的角

C.终边相同的角必相等

D.终边相同的角的同一个三角函数的值相等

【答案】D

【解析】

【分析】ABC可举出反例，D选项，根据三角函数定义得到D正确.

【详解】A选项，180。的角是轴线角，不是象限角，A错误；

B选项，390°是第一象限角，150°是第二象限角，显然390°>150°,B错误；

C选项，30°与390。是终边相同的角，说明C错误；

D选项，由三角函数定义可知，终边相同的角的同一个三角函数的值相等，D相等.

故选：D.

3.已知函数〃％)的定义域为［1,3］,则函数g(x)=〃2x-l).log2(3x-3)的定义域为()

A.(1,2]B.；,2C.(1,5]D.-,5

-3-3

【答案】B

【解析】

【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.

1<x<2

1<2%-1<3

44

【详解】因为"％)的定义域为［L3］,贝卜log(3x-3)>0,解得则一所以

23

3x—3>01

g(%)=〃2x—Jlog2(3尤—3)的定义域为g,2

故选：B

4.已知sin|e-1)=—；,则cos1'+V]=()

I20口2r

AB.

33"I-'3-

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式即可得到答案.

【详解】cosp+|jij=cosf6>-j+^j=cosf6>-j+^+TiVsinp-=,

故选：B.

5.函数丁=3氏"—卜—［图像大致是(

【解析】

【分析】分0<x<l两种情况对函数的解析式进行化简，然后可得答案.

【详解】当时，y=3!log^-|x-l|=x-(x-l)=l,

当0<x<l,y=3降/_卜一1|=3一立产_(1_x)=J_+x—1,

所以函数y=3限力-|%-1|的图像大致是选项D,

故选：D

6.若函数/(x)=log3(G：2—无+1)的定义域为R,则实数a的取值范围为()

A.［。，；］B.(0,1)仁D.(1,+8)

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知依2—%+1>0在R上恒成立，然后分a=0和awo两种情况讨论求解即可.

【详解】因为函数/(%)=1隼3(幺2—%+1)的定义域为R,

所以依2—%+1>。在R上恒成立，

当。=0时，一x+l>0,得尤<1,不合题意，

a>01

当a/0时，贝股人，“八，解得a〉一，

A=l-4a<04

综上实数。的取值范围为,

故选：C

7.已知定义在R上的函数/⑺满足/(x)+/(—x)=2,且xNO时，f(x)=x———+2,则不等式

x+1

#(x)<0的解集为()

、

A.(-oo,0)B.,0,+oo

7

C.D.

【答案】c

【解析】

【分析】根据/'(X)+/(—%)=2可知函数关于(0,1)对称，并求出九<0时函数/(x)的解析式，画出大致图

象，然后结合图象得到犷。)<。的解集.

【详解】定义在R上的函数/⑴满足/。)+/(—%)=2,所以/⑺关于(0,1)对称，

当xNO时，/(x)=x—£+2,因为丁=*在［0,+")上单调递增，y=占在［0,+。)上单调递减,

y=——L在［0,+。)上单调递增，所以/(%)=x一一匚+2在［0,+。)上单调递增，/(0)=1,

X+1X+1

因为/(%)+/(—%)=2,当光v。，即一%>0时，

x2-x-1

-X----------F2

—X+1x-1

X—1=0,即％=匕且或x=竽⑴,

令/(x)=

x-12

所以画出〃龙)的大致图象

时，/(%)<0,当％=与叵

由图象知，当xe,+co时，/(x)>0,当XG-00,

7

时,/(^)=0,

<1尺\

所以，当xe(0,+co)时，W(x)>0,当xe-------,0时，j^(x)<0,

、2,

当xe—『J25]时,xf(x)>0,当％=或。时,xf(x)=O,

<1J7)

所以不等式#(幻<。的解集为—^,0,

I2)

故选：C.

8.已知函数y=/(X)是定义在R上的偶函数，对任意外,马e[0,+oo),且石片马,都有

"七)/㈤〉。成立,若a=/0og]53.1ogi55),6=/',os4],c=/(501),则()

石一*2I4J

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和对称性判断函数y=/(x)在[0,+。)上的单调性，再结合单调性比较三个数

的大小.

【详解】因为0<log153<log15岳=g,0<log155<log1515=1,

所以0<log1531og155=；，

n兀f3兀)3兀0

cos---=cos2兀H---=cos——=--——•，

4I4J42

501>5°=1，

又因为函数y=/(%)是定义在R上的偶函数,

r、/(X.

又因为对任意司，羽eO,+8),且石wx,,都有、\，>0成立,

再一马

所以函数y=/(力在[0,+。)上单调递增，

历

又由上可知，0<log]5310gl55<¥<5°,，

所以

故选：A

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）

9.下列说法正确的有（）

A.命题“VXGR,N+X+1>0”的否定为“mxeR,x2+x+l<0”

B.函数/（%）=logox+l（a>0且的图象恒过定点（1,1）

C.已知函数/（x）=因+2,则/（x）的图象关于直线x=2对称

【答案】AB

【解析】

【分析】由全称量词命题的否定可判断A；利用函数平移的即可判断BC；由换底公式可可判断D

【详解】对于A选项："VxCR,x2+x+l>0"的否定为"mxeR.x2+x+l<0w,故A正确；

对于B选项：由函数对数函数y=logaX（。>0且aWl）恒过（1,0）,所以/'（x）=k>gox+l恒过（1,

1）,故B正确；

对于C选项：由函数y=|尤|图像关于尤=0对称，所以/（%）=|x|+2,关于了=0对称，故C错误；

对于D选项：由换底公式1。874=鲁告，故D错误；

1脸7

故选：AB.

10.下列四个选项中，正确的选项有（）

A.“不等式2V—5%-3<0成立”的一个必要不充分条件是—!<x<4

2

B若c>d,则ac>仇7

C.=与g（x）=W不是同一函数

c36c，一、、

D.已知x>0,y>0JIT-H—=2,若4x+y〉7根-"广恒成立，则加的取值范围为

2xy

（-00,3）_（4,+CO）

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合一元二次不等式的解法，以及充分、必要条件的判定方法，可判断A；举反例判断B；根据

同一函数与的定义判断C；根据基本不等式求得4%+y的最小值为12,得到7m-加2<12恒成立，进而

可判断D.

【详解】对于A,由不等式2f—5X—3=(x-3)(2x+l)<0,解得—Q<X<3,

所以-工<x<4是不等式2炉一5%-3<0成立的一个必要不充分条件，所以A正确；

2

对于B,取Q=O,Z?=—l,c=l,d=O,贝ij满足々>6,c>d,但此时ac=Z?d,所以B不正确;

对于C,/定义域为[0,+"),g(x)=W的定义域为R,

定义域不同，所以/(x)=(Wy与g(x)=W不是同一函数，所以C正确；

c36c

对于D,由x>0,y>0J1.——।—=2,

2xy

3y24x

=­x>-x12+2=12,

(2xy)22xy)

3y24x3

当且仅当e=——时，即％=大,丁=6时，等号成立，

2xy2

即4x+y的最小值为12,

可得7m-加2<12恒成立，

由不等式.一7帆+12=(7"—4)(/"一3)>0,解得帆>4或爪<3,

所以冽的取值范围为(—8,3)(4,+co),所以D正确.

故选：ACD.

11.下列表达式正确的是()

A.若ee]',?!：],则Jl—2sin(兀+6)sin(，一e]=sine+cos8

B.在锐角,ABC中，sinA>cos5恒成立

sin(7i-6z)

C.——)----^二一tan1

cos(兀+a)

D.Vo,，£0,g,sin2a+cos2/?<sin+cos/?

【答案】BCD

【解析】

jr7T

【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由一<A+3<兀且0<A,B<—结合诱导公

22

式判断B；作差法比较大小判断D.

【详解1A：由题设一2sin（71+8）sin［今一=Vl-2sin^cos^=Vsin2^-2sin^cos^+cos20

=\sin3-cos01,

又°£1三,兀），故Jl-2sin（兀+6）sin［普一e］=sine—cosS,错；

TTTTTTTTJi

B：由题意一<4+3<兀且0<A,3<—,则一一B<A<-,所以sinA>sin(——B)=cosB,对;

22222

sin(7t-«)sin(Z

C：——)-------------=-tan(z,对;

cos(兀+(z)—cos。

D：由sin?a+cos2/3-(sina+cos尸)=sintz(sina-1)+cos/3(cos，-1),

又a,13e[0,1-I,故0<sina,cos/7<l,故sin?a+COS?，—(sina+cos/7)<0,

所以sin?a+cos2，<sina+cos，，对.

故选：BCD

1

12.已知函数«2，则下列说法正确的是（）

'7*+4X—3,X>2

A.若y=/（x）的图象与直线y=f有三个交点，则实数年（0,1）

B,若/（%）=上有三个不同实数根土,々，%，则4<%+々+W<5

C.不等式04/（/（耳）41的解集是［0,3］

D.若〃%+a）>/（x）对任意实数x恒成立，则实数。的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于AB,作出函数的图象即可判断；对于C,先根据图象求出了（%）的范围，再分情况讨论即可;

对于D,根据图象结合图象平移分析运算即可判断.

【详解】对于A,如图，作出函数y=/(x)的图象,

由图可知，若y=/(x)的图象与直线y=f有三个交点，则实数年故A正确;

对于B,如图1,作出函数y=/(x),y=左的图象,

由题意得两函数交点得横坐标为为,乙,工，不妨设石＜x2＜%3,

则为关于x=l对称，故%+々=2,

由图可知2＜七＜3,所以4＜为+々+退＜5,故B正确;

V-1

v-k

对于C,由函数y=/(x)的图象可知，当OW/(x)Wl时，04九43,

则由04/(〃耳)<1,可得0W/(x)W3,

x<2x>2

则..或V

0<L-l<30<-x2+4x-3<3)

解得一2<x<2或2Vx<3,

所以不等式的解集是[―2,3],故C错误;

对于D,当。=0时，〃x)＞/(x)显然不成立，故a=0舍去,

当a＞0时，/(%+。)可以通过了(%)向左平移。个单位得到,

如图2,显然/(x+a)＞/(x)不成立，舍去,

当a<0时，/（尤+。）可以通过了⑺向右平移同个单位得到，如图3,

以射线y=—无+1—。与y=—/+4%一3相切为临界，

即-X+1-6Z=-%2+4%—3，贝（J%?一5%+4—。=0,

go

所以A=25—4（4—.）=0,解得】=—所以〃<—j,

综上所述，实数。的取值范围是1-8,-二］,故D正确.

图3

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13.己知某机械装置有两个相互鸣合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分

钟，大轮的半径为10cm,则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为cm.

【答案】15兀

【解析】

【分析】利用每秒转过的齿轮数相同即可求解.

【详解】由题意知，小轮每秒转过的圈数为120+60=2,

则每秒大轮转过的圈数为3

484

3

所以大轮每秒转过的弧长为一义2万义10=15万.

4

故答案为：15万.

14.若二次函数/(x)=f—2%+加在区间(0,4)上存在零点，则实数机的取值范围是.

【答案】(-8』

【解析】

【分析】根据题意转化为方程m=-9+2%在区间(0,4)上有解，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】令/(x)=o,可得f―2x+m=0,即加=—d+2x，

由函数/(x)=f-2%+加在区间(0,4)上存在零点，

即方程〃?=—f+2尤在区间(0,4)上有解，

设8(力=-/+2%=-(%-1)2+1,可得g(x)a=g(l)=l,g(x)min>g(4)=-8,

所以—8〈加<1,即实数加的取值范围是(—8』].

故答案为：(—8」].

15.己知函数=与g(x)=f—2ax+4(a>0),若对任意的当e(0,1),都存在々€[0,2],使

得/(X)=g(%)，则实数。的取值范围是.

【答案】[浮，+°°

【解析】

【分析】根据函数的单调性计算/(xje,确定g(々)的值域包含[』]，考虑0<a<2和a»2两

种情况，根据二次函数性质计算值域得到答案.

【详解】/(x)=]£|,函数单调递减，丫(0,1),故/(xj拈,11,

对任意的占e(0,1),都存在々e[0,2],使得/'(%,)=g(%)，

故g(9)的值域包含g，"，

2

①当0<a<2时，g(x)m,n=g(«)=4-a解得2^<a<2,

22

此时g(x)1mx=g(O)=4ZL成立；

②当aN2时，函数在［0,2］上单调递减，g(%)^=^(0)=4>1,成立，

g(x)min=g(2)=8-40K%,解得即a'2；

2o

综上所述：ae］］中,+co.

故答案为：,+0°

16.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.tanh函数是常用的

2

激活函数之一，其解析式为/■")=立”-1.给出以下结论：

①tanh函数是增函数；

②tanh函数是奇函数；

③tanh函数的值域为(一1,1);

④对于任意实数。，函数y=/(%)—改—1至少有一个零点.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】利用函数单调性的定义可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；令由丁=号二1可得

-e2v+l

r,1—V

e=「，由e?x〉0解出》的取值范围，可判断③；取。=0,结合③可判断④.

i+y

【详解】对于①，任取当、x2eR,且石<々，则e-2』>e」迎>0,

(?W2、2(e—一尸再)

所以，小)-/(/)=［777^—\HT7^"=(l+e3)(l+e、)S

所以，/(%)</(%)，故tanh函数是增函数，①对；

对于②，对任意的尤eR,1+}2X>0,则函数7(%)的定义域为R,

日f(x\=--____1=____________1=2e"1=广一］

且/⑴一l+e-2*Je2，(l+e3)l+e2Te2j;+r

Q-2X-ie(e-1i-e2x

/(一%)=一2%1=2-2%.=；―M=一/(%)，tanh函数是奇函数，②对；

7e+le(e+l)l+e7

p2x_1]_y

对于③，由y可得声2'+丁=1—e21可得e2'=L，

•e2'+l1+y

—Vv—1/\

由e2'=「〉0,可得的'<0,解得故tanh函数的值域为(—1,1),③对；

对于④，由③可知，一1</(%)<1,则<1,

当a=0时，y=|/(%)|-1<0,此时，函数y=ox—1没有零点，④错.

故答案为：①②③.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.平面直角坐标系中，若角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-L2)

(1)求sina和tana的值

sin—+atan(»+a)+2cos(»-a)

(2)若了⑻二(2J1/IJ化简并求值

sina+cos(-a)

【答案】(1)sina=----,tana=-2

5

,、“、sin。-2cos〃/

(2)f(a)=------------,4

sina+cosa

【解析】

【分析】(1)根据三角函数的定义计算：

(2)用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算.

【小问1详解】

•：OP=5由三角函数的定义得sina=管，tan«=-2；

【小问2详解】

sin^-+atan(7T+«)+2cos(7r-tt)S—_2cr.。

/⑷=12J=cosacosa____C_O_S__=sin"2cosa

sincr+cos(-«)sina+cosasina+cosa

tancif-2-2-2)

/((z)=-----=4.

tan+1-1

18.设集合A=<xlog](2x+4)>log](x+9)>,B=^X\JC-3mx+2m2-m-l<oj.

、22J

(1)若3为空集，求实数加的取值范围；

(2)若30求实数m的取值范围.

【答案】(1)me{-2}；

(2)m=-2.^—l<m<2.

【解析】

【分析】(1)利用一元二次不等式解集为空集，列出不等式求解即得.

(2)解对数不等式化简集合A,再分类讨论解不等式化简集合2,并结合包含关系求解即得.

【小问1详解】

依题意，不等式d—33+24-1<0解集为空集，

于是△=9相2-4(2:1-加一1)<0,即7%2+4771+440，解得〃z=-2,

所以〃ze{—2}.

【小问2详解】

不等式10gl(2x+4)〉log；(x+9)oO<2x+4<x+9,解得—2<x<5,即A={R—2<x<5},

x2—3mx+2m2—m—1<0<»[X—(2m+l)][x—(m—1)]<0,

当相=-2时，B=0oA,则根=—2；

当mv-2时，则5=(2加+1,加一1),而加一1<—3<—2,显然5不是A的子集；

当相>一2时，2m+l>m—L则6=(加-1,2m+1),

由BqrA,得—24根—1<2加+1<5,解得一1«加《2,

所以加的取值范围是根=-2或一14加工2.

19.2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是

1000万元，每生产％千台，需另投入成本R(%)(单位：万元)，

|x2+450x(1<<60)

R(x)=<生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元.

510x+-3000(60<x<100)

(D写出年利润尸(%)(单位:万元)关于年产量无(单位:千台)的关系式;

（2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？

-1%2+50%-1000(1<X<60)?

【答案】（1）尸（%）=

…八Ac36000

2000-10%+-----(60<x<100)

1%-10

（2）产量为7万台时，年利润最大为700万元

【解析】

【分析】（1）求出销售收入，减去成本后可得利润函数;

（2）根据利润函数分段求最大值，一段利用二次函数性质得最大值，一段利用勾形函数的单调性求得最大

值，比较后即可得.

【小问1详解】

由题意得空调销售收入为0.5x1000%=500%（万），则

500x450x1-1000(1

<x<60)?

P(x)=〈

500x—15lOx+西£一3000j-1000(60<x<100)

-1x2+50^-1000(1<%<60)?

—<•

2000-H0x+)(60<x<100)

【小问2详解】

由(1)得：

19

当14XW60时，P(x)=--(x-50)-+250

...当x=50时，「(%)取得最大值250；

当60cx<100时P（x）=1900—10（x—10）+^^=1900-10(10)+3

_x-10_')x—10

由勾形函数性质知？（%）在（60,70）上递增，在（70,100）上递减，

.••当1=70时，？（%）取得最大值700.综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万

元.

20.若函数>=/（无）对任意,恒有/（x+y）=/（尤）+/（y）.

（1）指出y=/（尤）的奇偶性，并给予证明;

(2)如果x>0时，/(%)<0,判断了⑺的单调性;

(3)在⑵的条件下，若对任意实数x,恒有区2)+/(一产+工一2)>0.成立，求上的取值范围.

3

【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)Ax)在R上单调递减，证明见解析；(3)

【解析】

【分析】(1)利用赋值法求出/(。)=0,根据函数奇偶性定义即可证明;

(2)根据函数单调性定义即判断函数的单调性；

(3)结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论

【详解】(1)>=/(尤)为奇函数；

证明：令x=y=O,得/(0+0)=/(0)+/(0),解得：/(0)=0

令y=T,则“X—X)=令X)+令-X)=/(0)=0,.-./(x)=-/(-X)

所以函数y=/(x)为奇函数；

(2)F(x)在R上单调递减;

证明：任意取石,々eR,且石〉々，则占一%〉。，二/(%一/)<0

又/(%-%)=/(%1)+f(-X2)=/(%1)-/(X2)<0,即又%)<f(X2)

所以/(无)在R上单调递减；

(3)对任意实数x,恒有f(kx2)+/(-x2+x—2)〉0等价于&②)>-/(-%2+x—2)=/(犬—x+2)

成立

又了(无)在R上单调递减，.•.丘2<f—x+2

即对任意实数x,(左—1)/+%-2<0恒成立,

当左一1=0时，即左=1时，％—2<0不恒成立;

%-1<07

当左一1W0时，即上中1时，贝卜，解得：k<—

A=l+8（左一1）<08

所以实数上的取值范围为

【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性,

方法是：

（1）把不等式转化为/［g（X）］>/［"（X）］的模型；

（2）判断了（%）的单调性，再根据函数的单调性将脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇

偶函数的区别.

21.已知函数/（尤）="（a>0且awl）图像与函数g（x）的图像关于直线丁=%对称.

「33~

⑴若尸（x）=〃x）+g（x）在区间［1,2］上的值域为4,—,求。的值；

x-2

（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式<g

（x+49

【答案】（1）a=4

（2）xe（8,+oo）

【解析】

【分析】（1）根据反函数的关系先得出g（x）表达式，进而得出歹（左）表达式，利用/（幻的单调性，分类讨

论得出结果；

（2）由（1）的单调性，结合定义域的范围，解不等式组即可.

小问1详解】

由题知，g（x）是/（尤）的反函数，g（x）=log“x,故E（九）=a*+logaX.

当。<a<i时，根据指数函数，对数函数的单调性，丁=优,丁=。“%均在（0,+8）单调递减，于是

/（九）在（0,+。）上单调递减，故尸（1）=°=万>1,此时不成立；

当时，根据指数函数，对数函数的单调性，丁=优,丁=。小均在（0,+。）单调递增，/（九）在

（0,+。）上单调递增，故/（l）=a=4,此时成立.综上可知：。=4

【小问2详解】

由⑴知，g（x）=log4x,为定义在（0,+8）的增函数,

x-2

（.、（.、、---->0

根据g嗫<g苫一，定义域满足：<:,解得xe（2,y）.

、x+4>°

由g（x）单调性和可得，」一<之二，整理得V—7%一8>0，结合xe（2,+8）

lx+4jk9Jx+49'7

可知，xe(8,+oo)

22.己知函数/(x)=log,”(x-m)+log,”(%-2m)(m>0且加W1).

(1)当机=%时，解不等式/(x)+log25>0；

(2)若对于任意的XG［3m,4m］,都有求实数机的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在飞-,+8,使/(%)在区间［a,£］上的值域是

［log,“/7,log,"C|?若存在，求实数加的取值范围:若不存在，说明理由.

【答案】(1){x|1<%<3}

(2)—<m<l

2

(3)不存在，理由见解析