初中数学集合 模式识别试题答案

模式识别试题答案最终版

在初中几何解题教学中，模式识别是一种很有效的策

略，即在数学问题的解决过程中，所积累的知识和经验经

过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的经典结构

与重要类型一一模式.当遇到一个新问题时，我们联想起

已经解决的问题，便可以在记忆中提取相应的方法对新问

题加以解决。

基本图形

例1在正方形4BCD中，点尸分别在边刀C,CD上，连接交

于点〃若尸你可以得到哪些结论？你是怎样得到的？

例1在正方形45CZ）中，点E,尸分别在边6C,CZ）上，连接ZE,5尸交

于点"若你可以得到哪些结论？你是怎样得到的？

①△ABEWABCF

②AE=BF

(f)AE±BF

④S的ECFH

BE

变式1将部分结论与题设交换，你可以得到哪些命题？是真命题

吗？如何证明？

(1)AABE^ABCF(5)AE=BF®AE^BF⑥S^KZECFH

(5)BE=CF

①T②③④⑤

②T①③④⑤

③T①②④⑤

④T①②③⑤

4E=BFi△ABE=ABCF(HL)—AE1.BF),

AEJ_BF4-4AE=BF

AE上BFTAABE^ABCF(AAS)-^AE=BF

【分析】：若AE=BF，贝ljAE±BF；若AE±BF，贝ljAE=BF.

形内变式

变式2在正方形ZAC。中，点N,产，“分别在边6C,上，连接

MN,BF交于点、G.

(1).如图，若肋V_LAF,则厂吗？你是怎样得到的？

(2).如图，若的V=5F,则MN_LB尸吗？你是怎样得到的？

变式2在正方形N5CD中，点N,F,M分别在边BC,CD,AD±.,连接

MN,BF交于点、G.

(1).如图，若初V，刀尸，则尸吗？你是怎样得到的？

(2).如图，若施V=6尸，则吗？你是怎样得到的？

将MN向左平移，使得点、M

与Z重合，点N落在点E处.

MN//AE,MN=AE

应用

MN1BFlMN=BFAE±BF^AE=BF

变式3在正方形力6C。中，点P,N,Q,M分别在边力8BC,CD,AD

上，连接跖V,P。交于点K你能提出什么问题？如何解决？

变式3在正方形ABCD中，点P,N,Q,M分别在边X5,BC,CD,AD

上，连接MN,P。交于点K你能提出什么问题？如何解决？

将P。向下平移，使得点尸与

8重合，点。落在点尸处.

PQ//BF,PQ=BF

应用

MN工PQIMN=P?4MN±BFlMN=BF

变式3在正方形ABCD中，点P,N,Q,M分别在HLAB,BC,CD,AD

上，连接MN,PQ交于点G.你能提出什么问题？如何解决？

将P0向下平移，使得点尸与5重合，点

。落在点尸处.将MV向左平移，使得点

M与/重合，点N落在点E处.

PQ//BF,PQ=BF

MN//AE,MN=AE

应用

MNLPQIMN=P@4AE±BFIAE=BF

【分析】：通过变式逐渐得到这样的结论:在这个特定

的结构中,MN与PQ若垂直则相等.都是通过平行化归构

造全等三角形来得到的。

AE±BF^AE=BFMN±BFlMN=BFMNLPQiMN=PQ

1.端点分别在正方形两组对边上且互相垂直的两条线段相等.

2.端点分别在正方形两组对边上且相等的两条线段互相垂直.

形外变式

变式4在正方形/BCD中，如果点G,E分别在4D,5C的延长线上，点

尸在CD上的延长线交GE于点M.上述结论是否裔在？如何说明？

变式4在正方形/BCD中，如果点G,E分别在AD,BC的延长线上，点

尸在CZ）上,8尸的延长线交GE于点M.上述结论是否春在？如何说明？

变式5在正方形4BCD中，如果点G,E分别在。的延长线上，点

“，尸分别在Z4,DC的延长线上，连接"尸并延长交GE于点M.上述结论

是否存在？如何说明？

H

变式5在正方形4BCD中，如果点GE分别在4»,6c的延长线上，点

私尸分别在4B,DC的延长线上，连接并延长交GE于点M.上述结论

是否存在？如何说明？

将GE向左平移，使得点E与C重合，

G落在点N处.将///向上平移，使得点

a与3重合，点尸落在点p处.

---------------------

GE//CN,GE=CN

HF//BP,HF=BP

应用

GE±HF1GE=HFCNA.BP—CN=BP

【分析】：变式4与变式5是在正方形的形外变式.

得到的结论与前面的变式一样，在这个特定的结构中,GE

与HF（BF）若垂直则相等.这也是一个“变化中的不变性”:

线段的位置在变,但是特殊的位置关系（互相垂直）没有变,

特殊的数量关系（相等）没有变，证明的方法没有变:都是通

过平行化归构造全等三角形来得到的。

模型应用

例1将正方形纸片N5CD沿的V折叠，使点刀落在边幺刀上，对应点为

“，点。落在点。处.若力£=6,40'=2,折痕肋V的长为.

例1将正方形纸片4BCD沿"N折叠，使点。落在边48上，对应点为

7)',点C落在点。处.若ZB=6,NZF=2,折痕MV的长为.

DD」MN—DD'=MN

-►DD'=^AD'2+AD2=yj62+22=2710

例2在正方形ZBCZ)中，点P在直线6c上，点G在直线ZD上(P,G不

与正方形的顶点重合，且在CI)的同侧)，W=PG,刀产_LPG于点交直

线45于点下,将线段PG绕点尸逆时针旋转90。得到线段PE,连接EF.

(1).当点P与点G分别在线段BC与线段上时，请说明线段DP与EF有

什么关系？

(2).当点P与点G分别在线段4c与线段4D的延长线上时，请猜想四边形

P£D是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.

例2在正方形46co中，点尸在直线上，点G在直线力。上(P,G不

与正方形的顶点重合，且在。的同»),PD=PG,。尸J_PG于点、H,交直

线46于点厂,将线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段尸E,连接EF.

(1).当点P与点G分别在线段与线段上时，请说明线段。尸与E尸有

CM=DF

—PG=DFfPE=DF

DF±PG

八”PE//DF

NGPE=90。

一口PDEF

-►DP//EF,DP=EF

例2在正方形⑷5CZ)中，点尸在直线6。上，点G在直线，。上(P,G不

与正方形的顶点重合，且在CO的同侧)，PZ)=PG。尸_LPG于点交直

线AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段PE,连接EF.

(2).当点P与点G分别在线和BC与线段的延长线上时，请猜想四边形

尸EFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.

DF-LPG-^AM±DN―AM=DN—FD=GP

―FD=PD=PE

DF.LPG^GPE=900->PE//DF一口PDEF

PD=PE口PDEF-►菱形PZ)E/

FD//AM,FD=AM

GP//DX,GP=DX

例3⑴.已知，点GE分别在矩形/BCD的四条边上，且EF_LGH若

AB=m,BC=n,求GMG”的值.

(2).在四边形N5CD中，点E,尸分别在5C,CD上，SLAE±BF,若乙BCE>=90。,

AB=BC=10,AD=CD=5,求AE:BF的值.

例3(1).已知，点GF,H,E分别在矩形/3CD的四条边上，^EF±GH.若

AB=m,BC=n,求GH:GH的值.

将FE向左平移，使得点E与4重合,

点尸落在点M处.将GH向下平移，

使得点G与B重合，点H落在点N处.

FE//AM,FE=AM

GH//B