广东省深圳市龙岗区2020-2021学年八年级下学期数学期中试卷

广东省深圳市龙岗区2020-2021学年八年级下学期数学期中试卷一、单选题1．2021年3月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书2020》，华为对遵循5G标准的单台手机专利许可费不高于2.5美元，则下面表示专利许可费x的不等关系正确的是（）A．x>2.5 B．x<2.5 C．x≤2.5 D．x≥2.52．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（） A． B． C． D．3．已知a<b，下列不等式中，变形正确的是（）．A．a−3>b−3 B．aC．−3a>−3b D．3a−1>3b−14．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2x（x－1）＝2x2－2x B．x2－2x＋3＝x（x－2）＋3C．（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2 D．－x2＋2x＝－x（x－2）5．不等式组2x−4⩽0x+2>0A． B．C． D．6．在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于80分？设答对x题，可列不等式为()A．10x−5(20−x)⩾80 B．10x+5(20−x)⩾80C．10x−5(20−x)>80 D．10x+5(20−x)>807．下列说法，正确的是（）A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等B．“若a>b，则a2C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°8．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于12BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则A．45° B．65° C．60° D．75°9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．410．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题11．分解因式：a2+3a=．12．已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为.13．某商店对一商品进行促销活动，将定价为10元的商品，按以下方式优惠销售：若购买不超过5件按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打8折，现有98元钱，最多可以购买该商品件．14．如图，已知函数y=x+1和y=ax+3的图像交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式x+1≥ax+3的解集是．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=23，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．三、解答题16．因式分解：（1）−20a−15ax （2）(a−3)17．解不等式（组）：（1）3x+2<9−4x （2）5x<1+4x18．按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．（1）图中线段AB的长度为．（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B（3）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC219．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；20．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．（1）求证：BE＝CF；（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．21．某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元．（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案？哪种方案花费资金最少？22．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）求经过A、B两点的一次函数表达式．如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得∠B'C'D'，当直线B'（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵单台手机专利许可费不高于2.5美元，∴表示专利许可费x的不等关系正确的是x≤2.5，故答案为：C．

【分析】不高于即是小于等于，列出不等式即可。2．【答案】D【解析】【解答】解：A，此图案是轴对称图形不是中心对称图形，故A不符合题意；

B、此图案不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B不符合题意；

C、此图案不是轴对称图形也不是中心对称图形，故C不符合题意；

D、此图案是轴对称图形也是中心对称图形，故D符合题意；

故答案为：D

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断可求解。3．【答案】C【解析】【解答】解：A、不等式a＜b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a−3＜b−3，故本选项不符合题意；B、不等式a＜b的两边同时除以3，不等式仍成立，即a3C、不等式a＜b的两边同时乘以−3，不等式的符号方向改变，即−3a＞−3b，故本选项符合题意；D、不等式a＜b的两边同时乘以3再减去1，不等式仍成立，即3a−1＜3b−1，故本选项不符合题意；故答案为：C．【分析】根据不等式的性质解答即可．4．【答案】D【解析】【解答】A、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；B、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意；故答案为：D．

【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：2x−4⩽0①x+2>0②∵解不等式①，得x⩽2，解不等式②，得x>−2，∴不等式组的解集是−2<x⩽2，在数轴上表示为：，故答案为：C．【分析】利用不等式性质，先求解集，再取公共部分即为不等式组的解集。6．【答案】A【解析】【解答】设答对x道题，根据题意可得：10x−5(20−x)⩾80，故答案为：A．

【分析】设答对x道题，根据题意列出不等式即可。7．【答案】C【解析】【解答】A.一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项不符合题意；B.“若a>b，则a2>b2”的逆命题为“若C.在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，故该选项符合题意；D.用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故该选项不符合题意，故答案为：C．

【分析】根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答即可。8．【答案】D【解析】【解答】∵∠A=45°，∠B=30°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−45°−30°=105°．由作图可知，所作的直线为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠DCB=∠B=30°，∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=75°，故答案为：D．

【分析】先根据题意得出MD为BC的垂直平分线，得出CD=BD，即∠DCB=∠B=30°、即可得到∠ACD的度数。9．【答案】C【解析】【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=12BC•EF=1故选C．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．10．【答案】B【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在△POE和△POF中，OP=OPPE=PF∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，∠MPE＝∠NPFPE=PF∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM=NF，PM=PN，故①正确，∴S△PEM=S△PNF，∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，故答案为：B.【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.利用同角的补角相等，可证得∠EPF=∠MPN，从而可推出∠EPM=∠FPN，利用角平分线的性质可得到PE=PF，利用HL证明Rt△POE≌Rt△POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF；再利用AAS证明△PEM≌△PFN，利用全等三角形的性质可证得EM=NF，PM=PN，可对①作出判断；利用全等三角形的面积相等，可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，可对④作出判断；再证明OM+ON=2OE，可对②作出判断；在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。11．【答案】a（a+3）．【解析】【解答】解：a2+3a=a(a+3).12．【答案】70°或40°【解析】【解答】解：若70°的角是顶角，则底角是180°−70°2=55°若70°的角是底角，则顶角是180°−2×70°=40°，成立故答案为：70°或40°【分析】分这个70°的角是顶角还是底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果.13．【答案】11【解析】【解答】∵98＞10×5，∴可以购买的商品一定超过5件，设可以购买x件这样的商品，由题意得：10×5+(x−5)×10×0.8≤98，解得：x≤11，∴最多可以购买该商品11件．故答案为：11．【分析】根据若一次性购买5件以上，超过部分打8折，现有98元钱，列不等式，再解不等式求解即可。14．【答案】x≥1【解析】【解答】解：由图象可知，在P点右侧，y=x+1的图象在y=ax+3的图像上方，故不等式x+1≥ax+3的解集是x≥1，故答案为：x≥1．

【分析】根据两函数的焦点坐标，结合图象即确定出所求不等式的解集。15．【答案】3或14【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=23，AC=2，∴tanB=ACBC=223∴∠B=30°，∴AB=2AC=4，∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F∴DB=DC=3，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，设AE=x，则BE=4﹣x，EB′=4﹣x，当∠AFB′=90°时，在Rt△BDF中，cosB=BFBD∴BF=3cos30°=32∴EF=32﹣（4﹣x）=x﹣5在Rt△B′EF中，∵∠EB′F=30°，∴EB′=2EF，即4﹣x=2（x﹣52当∠FB′A=90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，∵DC=DB′，AD=AD，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′=AC=2，∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，∴∠EB′H=60°，在Rt△EHB′中，B′H=12B′E=12（4﹣x），EH=3B′H=在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，∴34（4﹣x）2+[12（4﹣x）+2]2=x2，解得x=145综上所述，AE的长为3或145故答案为3或145【分析】首先根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠B=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AB=2AC=4，根据翻折的性质得出DB=DC=3，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，设AE=x，则BE=4﹣x，EB′=4﹣x，当∠AFB′=90°时，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值算出BF，进而表示出EF，在Rt△B′EF中根据含30°直角三角形的边之间的关系得出EB′=2EF，从而列出方程，求解得出x的值，即AE的长；当∠FB′A=90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，首先利用HL判断出Rt△ADB′≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应边相等得出AB′=AC=2，根据角的和差及邻补角的定义得出∠EB′H=60°，在Rt△EHB′中，表示出B′H，EH，在Rt△AEH中利用勾股定理建立方程求解得出x的值，即AE的长，综上所述得出答案。16．【答案】（1）解：−20a−15ax=−5a×4−5a⋅3x=−5a(4+3x)；（2）解：(a−3)=(a−3)=(a−3)(a−3−2)=(a−3)(a−5)【解析】【分析】（1）提取公因式-5a即可；

（2）先提取公因式2，再将（a-3）当作整体再提取公因式求解即可。17．【答案】（1）解：3x+2<9−4x3x+4x<9−27x<7x<1（2）解：5x<1+4x由①得x<1，由②得x≤−11∴不等式组的解集为x≤−11【解析】【分析】（1）利用不等式的性质和不等式的解法求解即可；

（2）利用不等式的性质和不等式组的解法求解即可。18．【答案】（1）10（2）解：结合题意，△A；（3）解：△A∴A2(0，0)，【解析】【解答】（1）根据题意，AB的长度为：3故答案为：10；【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点A1，B19．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CEF中：∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形（2）解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，由（1）知△BDE≌△CEF，则∠BDE=∠CEF，∴∠DEF=∠B，∵∠A=40°，∴∠B=∠C=180∘∴∠DEF=70°【解析】【分析】（1）通过边角边证得△BDE≌△CEF，即可证得DE=EF，从而证得△DEF是等腰三角形；（2）由（1）知△BDE≌△CEF即可知由三角形内角和定理与平角定义可知∠DEF=∠B，从而根据等边对等角可求得∠B即求得∠DEF的值.20．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠DFC=90°；在RtΔBDE和RtΔDFC中，BD=CDDE=DF∴RtΔBDE≅RtΔDFC(HL)，∴BE=CF；（2）证明：∵AD平分∠BAC，∠DAF=15°，∴∠BAC=30°，∠BAD=∠DAF，∵BD//AC，∴∠DBE=∠BAC=30°，∠DAF=∠BDA，∴∠BAD=∠BDA，∴AB=BD，在RtΔBDE中，∠DBE=30°，∴BD=2DE，∴AB=2DE，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴AB=2DF．【解析】【分析】（1）证明DE=DF，∠BED=∠DFC=90°，进而证明RtΔBDE≅RtΔDFC(HL)即可解决问题；

（2）根据平行线的性质和含30度的直角三角形的性质解答即可。21．【答案】（1）解：设甲、乙品牌消毒液单价分别为x元、y元，由题意得：20x+10y=130010x+10y=800 解得x=50y=30答：甲、乙品牌消毒液单价分别为50元、30元．（2）解：设购进甲品牌消毒液a瓶，则购进乙品牌消毒液(50−a)瓶．由题意得：∴50a+30(50−a)≤1900解得503≤a≤20∵a为正整数，∴a可取17，18，19，20，设购买消毒液共花费w元，则W=50a+30(50−a)=20a+1500，∵20>0，∴W