2023-2024学年辽宁省锦州市新海新区实验学校数学九年级上册期末统考模拟试题含解析

2023-2024学年辽宁省锦州市新海新区实验学校数学九上期末统考模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在平面直角坐标系Xoy中，以（3,0）为圆心作。P,。"与X轴交于A、B,与）'轴交于点C（0,2）,。为

OP上不同于A、3的任意一点，连接QUQB,过P点分别作PE_LQA于£,PE工QB于F.设点。的横坐

标为X,PE2+PF2=y.当。点在OP上顺时针从点A运动到点3的过程中，下列图象中能表示＞与X的函数关系

的部分图象是（）

k

2.若反比例函数），=—（攵≠0）的图象经过点（-1,2）,则这个函数的图象一定还经过点（）

X

A.（2,-1）B.（—（,2）C.（-2,-1）D.（ɪ,2）

3.下列关系式中，y是X的反比例函数的是（）

1

A.y=5xB.2=3C.y-——D.y=χ2-3

X

4.下列命题正确的是（）

A.三点确定一个圆B.圆中平分弦的直径必垂直于弦

C.矩形一定有外接圆D.三角形的内心是三角形三条中线的交点

5.下列运算正确的是（）

A.5m+2m=7m2

-2m2∙m,=2m5

C.(-a2b)3=-a6b3

D.(b+2a)(2a-b)=b2-4a2

6.如图，。是正方形ABc。的外接圆，点尸是CO上的一点，则Z4尸8的度数是（）

A.30B.36°

C.45D.72

7.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：石，堤高BC=5m,则坡面AB的长度是（）

B.10√3mC.15mD.5√3m

8.如图，已知AABC,ABVBC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是（）

9.二次函数y=Λj经过平移后得到二次函数y=（x-l>+l,则平移方法可为（）

A.向左平移1个单位，向上平移1个单位

B.向左平移1个单位，向下平移1个单位

C.向右平移1个单位，向下平移1个单位

D.向右平移1个单位，向上平移1个单位

io.已知如;=改，则下列各式中不正确的是（）

ymmnmxχy

A.—=—B.-=-C.—=—D.-=—

xnyxny∏m

11.抛物线y=χ2+b*+c过（-2,0）,（2,0）两点，那么抛物线对称轴为（）

A.x=lB.y轴C.X=-1D.x=-2

12.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，

深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深

2寸（EO=2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图三角形ABC的两条高线BD,CE相交于点F,已知NABC等于60度，AB=a,CF=EF,则三角形ABC的

面积为（用含。的代数式表示）.

14.如图，每个小正方形的边长都为1,点A、B、C都在小正方形的顶点上，则NAbC的正切值为

15.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0∙l）.

投篮次数（n）50100150200250300500

投中次数（m）286078104123152251

投中频率(m∕n)0.560.600.520.520.490.510.50

16.如图，是一个半径为6cm,面积为15万Ca?的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组

合成圆锥体，则R=.

3m—2

17.已知反比例函数y=——，当机时，其图象在每个象限内y随X的增大而增大.

X

3

18.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y=60t-yt2,在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距

离是m

三、解答题(共78分)

19.(8分)图①、图②均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段43的端点均在格点上，按下列

要求画出图形.

图②

(1)在图①中找到两个格点C,使NBAC是锐角，且tanNR4C=g;

(2)在图②中找到两个格点使N4O8是锐角，且tanNAO5=l.

20.(8分)定义：如果三角形的两个内角1与月满足α+2Q=90。，那么称这样的三角形为“类直角三角形”.

尝试运用

(1)如图1,在RtAABC中，NC=90°,BC=3,AB=5,Bo是NABC的平分线.

C

DZ\

B

图1

①证明ΔABD是“类直角三角形”；

②试问在边AC上是否存在点E（异于点。），使得ΔABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不

存在，请说明理由.

类比拓展

（2）如图2,ΔΛβD内接于直径AB=I3,弦4）=5,点E是弧AO上一动点（包括端点A，D）,延长BE

至点C,连结AC,且NC4。=NAOr>,当AABC是“类直角三角形”时，求AC的长.

21.（8分）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中任意抽取牛奶饮用，抽取任意一瓶都是等可能

的.

（1）若小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是；

（2）若小芳任意抽取2瓶，请用画树状图或列表法求，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.

22.（10分）如图，抛物线y=χ2+∕7χ+c与X轴交于点A和B（3,0）,与）'轴交于点C（0,3）,顶点为。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求NCBZ）的度数；

（3）若点N是线段BC上一个动点，过N作MN/∕y轴交抛物线于点/，交X轴于点，，设H点的横坐标为心.

①求线段MN的最大值；

②若AfiMN是等腰三角形，直接写出〃？的值.

23.(10分)在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分

统计图表如下：

类别家庭藏书m本学生人数

A0≤∕n<2520

B26≤∕n≤50a

C51<∕n≤7550

Dm>7666

根据以上信息，解答下列问题：

(1)该调查的样本容量为,α=;

(2)随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；

(3)若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数.

24.(10分)τ+M:√3tan30o-(-2019)°+√8-√2cos45°.

25.(12分)某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图(1),已测出树48的影长AC为12米，并测出此时太阳光

线与地面成30。夹角.

(1)求出树高AB；

(2)因水土流失，此时树AS沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角

保持不变.求树的最大影长.(用图(2)解答)

B

26.如图，ZkABC内接于。O,AB=AC,NBAC=36。，过点A作AD〃BC,与NABC的平分线交于点D,BD与

AC交于点E,与。O交于点F.

⑴求NDAF的度数；

2

(2)求证：AE=EF∙EDi

(3)求证：AD是。O的切线.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】由题意，连接PC、EF,利用勾股定理求出PC=尸，然后得到AB的长度，由垂径定理可得，点E是AQ中

点，点F是BQ的中点，则EF是AQAB的中位线，即族=LAB为定值，由EF?=PE?+PF?=y,即可得到答

2'

案.

【详解】解：如图，连接PC,EF,则

；点P为(3,0),点C为(0,2),

:∙PC=√2F+31=√13>

.∙.半径r=PC=√i5,

ʌAB=2√13;

•••「后，04于£,PELQB于F,

.∙.点E是AQ中点，点F是BQ的中点，

.∙.EF是aQAB的中位线，

.∙.EF=LAB=LX2如=而为定值；

22

：AB为直径，则NAQB=90。，

.∙.四边形PFQE是矩形，

.∙.EF2=PE2+PF2=y=13,为定值；

.∙.当Q点在。P上顺时针从点A运动到点B的过程中，y的值不变；

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确作出辅助线，根据

所学性质进行求解，正确找到22是解题的关键.

EF-=PE+PF=y=13

2、A

【分析】根据反比例函数的定义，得左=盯=-以2=-2,分别判断各点的乘积是否等于-2,即可得到答案.

k

【详解】解：・・・反比例函数y=-(Z≠0)的图象经过点(-1,2),

X

：,k=xy=-i×2=-2•

V2x(-1)=-2,故A符合题意；

V(-∣)×2=-l,—2x(—1)=2,∣×2=1,故B、C、D不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义，熟练掌握k=W.

3、C

【解析】根据反比例函数的定义逐一判断即可.

【详解】解：A、是正比例函数，故A错误；

B、是正比例函数，故B错误；

C、是反比例函数，故C正确；

D、是二次函数，故D错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，形如y=A(k≠0)的函数是反比例函数.正确理解反比例函数解析式是解题的关键.

X

4、C

【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、矩形的性质定理和三角形内心的定义，进行判断即可.

【详解】V不在一条直线上的三点确定一个圆，

.∙.A错误；

V圆中平分弦(不是直径)的直径必垂直于弦，

.∙.B错误；

Y矩形一定有外接圆，

，C正确；

V三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，

.∙.D错误;

故选：C.

【点睛】

本题主要考查真假命题的判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、矩形的性质定理和三角形内心的定义，是解题的关键.

5、C

【解析】试题分析：选项A,根据合并同类项法则可得5m+2m=(5+2)m=7m,错误；选项B,依据单项式乘单项式

法则可得-2m2∙m3=-2n√,错误；选项C,根据积的乘方法则可得(-a2j>)3=-a6b3,正确；选项D,根据平方差公

式可得(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=4a2-b2,错误.故答案选C.

考点：幕的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式.

6、C

【分析】首先连接OB,OA,由。。是正方形ABCD的外接圆，即可求得NAoB的度数，又由在同圆或等圆中，同

弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得ZAPB的度数.

【详解】解：连接OB,OA,

VOO是正方形ABCD的外接圆，

ΛZBOA=90o,

1

：.ZAPB=-ZBOA=45o.

2

故选：C.

【点睛】

此题考查了圆周角定理与圆的内接多边形、正方形的性质等知识.此题难度不大，注意准确作出辅助线，注意数形结

合思想的应用.

7、A

【解析】试题分析：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：6,

即tan∕BAC=区=近，

AC3

ΛZBAC=30o,

ΛAB=2BC=2×5=10,

故选A.

考点：解直角三角形

8、B

【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线

上，于是可判断D选项正确.

故选B.

考点：作图一复杂作图

9、D

【分析】解答本题可根据二次函数平移的特征，左右平移自变量X加减（左加右减），上下平移y加减（下加上减），

据此便能得出答案.

［详解］由y=α-l）2+l得y_l=（x—l）2

平移方法可为向右平移1个单位，向上平移1个单位

故答案为：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的平移问题，掌握次函数的平移特征是解题的关键.

10、C

【分析】依据比例的基本性质，将比例式化为等积式，即可得出结论.

【详解】A.由2V=一Hl可得如=变形正确，不合题意；

Xn

mn

B.由一=一可得如=犯，变形正确，不合题意；

yX

γγi尤

C.由一=一可得利=依，变形不正确，符合题意；

ny

D.由土=)可得以=∙，变形正确，不合题意.

nm

故选C.

【点睛】

本题考查了比例的性质，此题比较简单，解题的关键是掌握比例的变形.

11、B

【分析】由二次函数图像与X轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴.

【详解】解：Y抛物线y=aχ2+bx+c(a≠0)与X轴的交点是(-2,0)和(2,0),

,这条抛物线的对称轴是：x=y+2=o,

2

即对称轴为y轴；

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点问题.对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点

式求得，或直接利用公式X=土产求解.

12、C

【分析】设OO的半径为/",在RtZUEO中√1E=4,OE=r-2,0A=r,则有r2=42+(r-2))解方程即可.

【详解】设。。的半径为r,

在RtAAEO中,AE=4,OE=r-2,OA=r,

则有r2=42+(r-2)2,

解得r=5,

.∙.。。的直径为10寸，

故选C∙

【点睛】

本题主要考查垂径定理、勾股定理等知识,解决本题的关键是学会利用利用勾股定理构造方程进行求解.

二、填空题（每题4分，共24分）

1QG2

13、——a

5

【分析】连接AF延长AF交BC于G.⅛EF=CF=x,连接AF延长AF交BC于G,设EF=CF=x,因为BD、CE是

高，所以AGjLBC由NABC=60°,ZAGB=90o,推出NBAG=30°,在RtZkAEF中，由EF=x,ZEAF=30o,

可得AE=√5x在RtABCE中，由EC=2x,ZCBE=60o可得BE=3巨x.由AE+BE=AB可得昌+型x=”,代入

33

SΔABC=-ABCE即可解决问题.

2

【详解】解：连接A尸延长AF交BC于G,设CF=EE=X,

BD、CE是高，

.∙.AG±BC,

VZAfiC=60o,ZAGB=90。，

.-.ZBAG=30°,

在RtAEb中，

EF=x,NEAF'=30°,

√,AE=EX>

在RtVBCE中,

.EC=2x,NCSE=60°,

,„„2√3

..BE=-----X9

3

.,.∖∣3x^^^-x=a，

3

,√3a2√3

：.x=——a9CE=-----a,

55

714AEl2g√32

..SΔABC=-∙AB∙CE=­∙α-------a=——a

2

EB

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，掌握勾股定理和30°直角三角形是解题的关键.

14、1

【解析】根据勾股定理求出aABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出NACB=90。，再解直角三角形求出

即可.

【详解】如图：长方形AEFM,连接AC

T由勾股定理得：AB2=32+l2=10,BC2=22+12=5,AC2=22+12=5

ΛAC2+BC2=AB2,AC=BC,

即NACB=90°,

ΛZABC=45o

AtanZABC=I

【点睛】

本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出NACB=90。是解此题的关键.

15、0.1

【解析】利用频率的计算公式进行计算即可.

【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为UlO次，投中的次数为796,故这名球员投篮一次，投中的概率约为:

796

-------≈0.1.

1550

故答案为0.1.

【点睛】

本题考查利用频率估计概率，难度不大.

【分析】先根据扇形的面积和半径求出扇形的弧长，即圆锥底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求出R.

【详解】解：设扇形的弧长为I,半径为r,

T扇形面积S=-lr=-l×()=∖5π,

22

・・I=57r9

.∖5π—2πR,

故答案为：一.

2

【点睛】

本题主要考查圆锥的有关计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.

2

17、m<—

3

【分析】根据反比例函数的性质求出m的取值范围即可.

【详解】T反比例函数在每个象限内)‘随X的增大而增大

：.3m-2<0

2

解得m<-

,2

故答案为：，

【点睛】

本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键.

18、6

【分析】先求出飞机停下时，也就是滑行距离最远时，s最大时对应的t值，再求出最后2s滑行的距离.

【详解】由题意，

3

y=60t-ɪt2,

3

=一一(t-20)2+600,

2

即当t=20秒时，飞机才停下来.

3

.∙.当t=18秒时，y=~-(18-20)2+600=594m,

故最后2s滑行的距离是600-594=6m

故填：6.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用.解题时，利用配方法求得t=20时，s取最大值,再根据题意进行求解.

三、解答题(共78分)

19、(1)如图①点C即为所求作的点；见解析；(2)如图②，点。即为所求作的点，见解析.

【分析】(D在图①中找到两个格点C,使NBAC是锐角，且tan∕BAC=g;

(2)在图②中找到两个格点O,使NAO5是锐角，且tanNAD8=l.

【详解】解：（1）如图①点C即为所求作的点;

（2）如图②，点。即为所求作的点.

【点睛】

本题考查了作图——应用与设计作图，解直角三角形.解决本题的关键是准确画图.

20、（1）①证明见解析，②存在，二9；（2）1——19或8——45.

45119

【分析】（1）①证明NA+2NABD=90。即可解决问题.

②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得AABE是“类直角三角形”.证明AABCS∕∖BEC,可得

—,由此构建方程即可解决问题.

CEBC

（2）分两种情形：①如图2中，当NABC+2NC=90。时，作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB.则点F在

ΘO±,且NDBF=NDoA.

②如图3中，由①可知，点C,A,F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分NFBC,可证NC+2NABC=90t>,

利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题.

【详解】（1）①证明：如图1中，

VBD是NΛ8C的角平分线，

：.AABC=IAABD,

,：ZC=90°,ZA+ZABC=90°,

ZA+2ZABD=90°,

：.ΔASZ）为“类直角三角形”.

②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点O）,使得ΔABE是“类直角三角形”.在RtΔA8C

中，∙.∙AB=5,BC=3,

∙'∙AC=y∣AB2-BC2=√52-324,

VZAEB=NC+ZEBC>90o，

ΛZABE+2ZA=90°,

VZABE+ZA+ACBE=90o

：.ZA=/CBE,：.^ABC^∖BEC,

BCAC

~CE~~BC

.∙.CE="∖,

AC4

(2)∙.∙AB是直径，.∙.ZAr>B=90°,∙.∙AD=5,Aβ=13,ʌBDɪ^AB2-AD2=√102-62-12»

①如图2中，当NAδC+2NC=90°时，作点。关于直线AB的对称点尸，连接E4,FB.则点尸在0，。上，且

NDBF=ZDOA,

且NC4£>=ZAOD,ZCAD+ZDAF=∖80o,ΛC,A，E共线,

pΛFB

YNC+ZΛBC+ZASE=90°.∙.NC=ZAB/，：."ABS∙BC,：.一=一，即

FBFC

'Y

②如图3中，由①可知，点C,A，JF共线，当点E与。共线时，由对称性可知，84平分NFBC,

.∙.NC+2ZABC=90°,,：ZCADZCBF,ZC=ZC,：.M)ACS"BC,

—,即一^-=9,.∙.CO=9(4C+5),且RtΔADC中AC2=CO2+AQ2

CFBFAC+51212

845

解得AC

∏9

综上所述，当ΔABC是“类直角三角形”时，AC的长为——或一.

5119

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思

想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

21、(1)ɪ;(2)抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为L.

42

【分析】(1)直接根据概率公式计算可得；

(2)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D1其中过期牛奶为A,画树状图可得所有等可能结果，从所有等可能结果中

找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得.

【详解】(1)：(D小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是故答案为：ɪ.

44

(2)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D,其中过期牛奶为A

画树状图如图所示，

由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，所以抽出的2瓶牛奶

中恰好抽到过期牛奶的概率为二=：.

122

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9

22、(1)y=x2-4x+2,(2)90°,(2)①一，②%=2或∕n=行或机=L

4

【分析】(1)将点B,C代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可得出答案；

(2)先求出点D的坐标，然后利用OB=OC,得出NCBo=45°,过。作。E_LX轴，垂足为E,再利用OE=5E,

得出/080=45°,则NCBo的度数可求；

(2)①先用待定系数法求出直线BC的表达式，然后设出M,N的坐标，表示出线段MN的长度，利用二次函数的性质

即可求出最大值：

②分三种情况：BN=BM,BN=MN,NM=BM分别建立方程求解即可.

【详解】解：(1)将点3(2,0)、C(0,2)代入抛物线y=X2+独+c中，

0=9+3b+c人=—4

得：解得:

3=c。=3

故抛物线的解析式为y=x2~4x+2.

(2)J=X2-4x÷2=(χ-2)2—1,

,O点坐标为(2,-1).

'：OB=OC=I,

：.ZCBO=45°,

过。作OEJ_x轴，垂足为E,贝IjOE=BE=I,

工NDBo=45°,

ΛZCBO=90".

(2)①设直线BC的解析式为y=Ax+2,得：0=2A+2,解得：k=-l,

.∙.直线BC的解析式为y=-χ+2.

点Af的坐标为(m,"产一4〃1+2),点N的坐标为(.m,—∕n+2).

39

线段MN=(—∕n+2)—(∕π2-4nz÷2)=-m2+2m=-(ιn--)2H—.

24

39

.∙.当机=3时，线段MN取最大值，最大值为二.

24

②在RtZkNB“中，BH=2-m,BN=y∣i(2-m).

当BN=BM时，NH=MH,则一机+2=一（混一4机+2）,

即谒-5wι+6=0,解得，“1=2,/712=2（舍去），

当BN=MN时，一,“2+2,〃=血（2—⑼，解得：mι=应，m2=2（舍去），

当NM=时，ZMNB=NNBM=45°,则与X轴重合，点M与点4重合,

∙-∙In=19

综合得：∕n=2或》i或，"=1.

【点睛】

本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

23、(1)200,64；(2)0.1；(3)全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人.

【分析】(1)根据类别C的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用样本容量减去A,C,D所对应的人数即可求出a

的值；

(2)用类别A所对应的人数除以样本容量即可求出抽到A类学生的概率；

(3)用200()乘以藏书不少于76本的概率即可得出答案.

【详解】(1)调查的样本容量为50÷25%=200(人)，

α=200-20-50-66=64(人),

故答案为200,64；

(2)刚好抽到A类学生的概率是20÷2()0=0.1,

故答案为0.1;

(3)全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：200OX里=660(人).

200

答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人.

【点睛】

本题主要考查随机事件的概率，用样本估计总体等，能够对统计表和扇形统计图结合是解题的关键.

24、2√2-1

【分析】首先计算乘方、开方、特殊三角函数值，再计算乘法，最后实数的加减法即可.

(详解】√3tan300-(Æ-2019)0+-√2cos