新高考一轮复习讲义：第7讲 函数的单调性与最值（解析版）

第7讲函数的单调性与最值

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•全国•高三专题练习）函数丫二心目/一/+以+时）单调递减区间是（）

3

A.（—oo,2）B.（2,+co）C.（—2,2）D.（—2,6）

【答案】C

【解析】令'一〃=一九2+4x+12・由〃=一/+4工+12>0,得一2vxv6.

3

因为函数y=l°g产是关于〃的递减函数，且“«-2,2）时，〃=f2+4x+i2为增函数，所以

y=log1—f+4x+12）为减函数，

3

所以函数y=log+4x+12）的单调减区间是（_2,2）.

3

故选：C.

2.（2021•山东临沂•高三阶段练习）“。=2”是“函数〃6=卜-4在区间［2,叱）上为增函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】〃x）=|x-a|的图象如图所示，要想函数f（x）=|x-4在区间［2,转）上为增函数，必须满足。42,

因为｛2｝是｛m42｝的子集，所以“a=2”是“函数〃x）=|x-a|在区间［2,叱）上为增函数”的充分不必要条件.

故选：A

3(2022•湖北•二模)已知函数“r)=lg(|x|-l)+2,+2T,则使不等式，。+1)</②)成立的冗的取值范

围是()

A.(-oo,-l)u(l,+oo)B.(-2,-1)

C.18,-；)u(l,+8)D.(F,-2)U(1,+O

【答案】D

【解析】由次|—1>0得/(X)定义域为(-00,—1)0(1,y0),

/(-X)=lg(lx|-1)+2"+2,=fix),故fix)为偶函数，

而y=lg(|x|-1),y=2'+*在(1,+co)上单调递增，

故/(x)在。,物)上单调递增，

[x+l|<|2x]

则/(x+l)</(2x)可化为，X+1|>1,得]/_1_0v-_1_14Y~

|2X|>1U+l>lnJcx+l<-l

解得x>1或r<-2

故选：D

4.(2022•湖南•长沙市明德中学二模)定义在R上的偶函数在[0,+。)上单调递减，且/(-3)=0,若

不等式的解集为(-1，5),则加的值为()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】B

【解析】因为f(x)为偶函数,/(3)=/(-3)=0,f(x)在［0,+8)单调递减,若〃x)>0,则

川动>〃3),不等式“X—〃?)>0可转化为〃,一砌>"3),所以,一曰<3,解得：m-3<x<m+3,

所以〃z-3=—1且机+3=5,即m=2.

故选:B.

2

x-2O¥4-9,X<1

5.(2022•河北•石家庄二中模拟预测)设aeR,函数=1,16，若f(x)的最小值为

X"4----3。,X>1

X

/(I),则实数〃的取值范围为()

A.[1,2]B.[1,3]C.[0,2]D.[2,3]

【答案】A

【解析】当x>l时，x2+--3a=x2+—+--3a>3^/x2x—x—-3«=12-3a,

XXXvXX

Q

当且仅当V=9时，等号成立；

X

即当x>l时，函数/(X)的最小值为12-3a,

当xVl时，/(x)=x2-2ax+9=(x-a)2+9-a2,

,、，、fa>1

要使得函数f(x)的最小值为f(l)，则满足[([)=[0_2a412_3a，解得心心？，

即实数。的取值范围是口，2].

故选：A.

6.(2022•山东济宁•三模)若函数〃x+2)为偶函数，对任意的与,9《2,母)，且x产々，都有

则()

A./(log26)</^</(log312)B./(log312)</^</(log26)

c.>Z(log26)>/(log312)D./(log312)>/(log26)>

【答案】A

【解析】解：由对％，We[2,+oo),且x产声，都有(%-々)[/(xj-f(9)]<0,

所以函数“X)在[2,十功上递减，

又函数〃x+2)为偶函数,

所以函数“X)关于x=2对称，

所以*图，

又log26=1+log23>2,log312=1+log34>2,

53—

S^log23+l-rlog23-rlog23-log22^1og23-log2^>0.

所以log23+l>g,

53—

S^log34+l-rlog34--=log34-log33^1og34-log3^<0,

所以Iog23+l<|,

所以log,6>|>log312>2,

所以川幅6)</(卜/(1嗝12),

即〃1吗6)</(1</(1幅12).

故选：A.

7.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=log“x,记g(x)=/(x)]/(x)+,“2)-l],若g(x)在区间

；,2上是增函数，则实数〃的取值范围是()

A.[2,词B.(0,；C.D.(O,1)U(1,2)

【答案】B

【解析】g(x)=/(%)-[/(x)+/(2)-l]=log„x(lognx+log“2-1)

令f=lgx,由xe[g,2],所以fw[-lg2,lg2]

令M（'）=-°g"lg2）f]

因为g（x）在区间仕,2]上是增函数，所以M⑺在问-Ig2,lg2]也是增函数

所以Igajg24Tg2n[ga4_]g2=]gg,则0<avg

即ae（0,；

故选：B

8.（2022•浙江•高三专题练习）已知函数/。）=》2-2枕+1在区间（—/1上递减，且当xe[0/+l]时，有

/（4"-/。）而“42,则实数/的取值范围是（）

A.[-△及]B.[1,721C.[2,3]D.[1,2]

【答案】B

【解析】解：函数，*）=*2-2枕+1的对称轴为宜线x=f,

因为函数/(x)=f-2a+1在区间(YO,1]上递减，

所以f21.

所以/(X)min=/⑺=产-2产+1=1—产，f(心=/(O)=1，

所以1—(1—厂)42,.,.—4,4>/2.

因为d1,所以iwVL

故选：B

9.(多选)(2022•重庆八中高三阶段练习)函数〃x),g(x)均是定义在R上的单调递增函数，且g(x)*O,

则下列各函数一定在R上单调递增的是()

A.f(x)-g(x)B./(x)+g(x)C."(x)FD.-^7

g(x)

【答案】BC

【解析】取解x)=x,g(x)=e*,故/(x)•g(x)=xe",设F(x)=xe*,

则F'(x)=(x+l)e'，

在(一,-1)上，F(x)<0,故F(x)在上为减函数，故A错误.

而一怒=T，设G(x)=-j，则G，(x)=宗，

在(—,1)上，G'(x)<0,故G(x)在(—,1)上为减函数，故D错误.

设5(%)=/(%)+g(x),。(x)=[/(x)]3,

任意再<电,贝1」5(与)一5(幻=/(用)一/(*2)+8(玉)一8七)，

因为f(x)，g(x)均是定义在R上的单调递增函数，

故)(石)</(毛),g(%)<g(%)，

所以S(xJ-S(w)<0即S(xJ<S(w),故S(x)是R上的单调递增函数.

而。(丙)-。(尤2)=[/(药)-/(》2)](/(当)+；/(9))+1尸(%)

因为/(X)是定义在R上的单调递增函数，

故/&)</5)，且|/3)+3〃动)2+(产(西)>。，

所以。（丹）-。（毛）＜0即U（X）＜U（W）,故u（x）是R上的单调递增函数.

故BC正确.

故选：BC

10.（多选）（2022•山东•青岛二中高三期末）记“X）的导函数为广（x）,若/（x）＜V[x）＜2/（x）—x对任

意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（）

A."1）＜2唱）B.

C./⑴卜D./⑴＜?（2）+：

【答案】BC

【解析】解：因为/（X）〈矿（力，所以r（x）x——（x）＞0,则9（力=件1]J（x）7（x）〉0,所以

尸（力=§在x«0,E）单调递增，所以尸⑴＞„即*＞寺2,所以〃1）＞2佃，故A错

2

误；同理尸（2）＞/1）,即卓＞犯，所以〃1）＜:/（2）,故B正确；因为短（同＜2/（刈-x,所以

212

xf'（x）-2f（x）+x＜0,构造函数心）=/（,7,则〃（x）=]，（2-⑴-2/（x）+X＜0,所以

XL厂」丫

f（L]_L

心尸号二在xe（O,y）单调递减，所以力⑴＜以；），即*J化简得

4

故C正确；同理网2）＜〃⑴，即"？二2＜*zl,化简得〃]）＞；〃2）+g,故D

错误.

故选：BC.

11.（2022•江苏省平潮高级中学高三开学考试）函数＞=一/+2仇|+3的单调减区间是.

【答案】（1,讨）和（-1。）.

【解析】根据题意，

.■）

/（幻=-工2+2可+3=[一，+,故当x20时，函数/*）=一/+2*+3=-*_1）2+4在区间（。，

一厂-2x+3,x＜0

2)上单调递增,在(1，+8)上单调递减;

当x<0时，函数/(幻=一/一2》+3=—(犬+1)2+4在区间(一8,-1)上单调递增，

在(-1,0)上单调递减.

故答案为：(1,+°0)和(-1,0).

12.(2022•浙江省普陀中学高三阶段练习)已知奇函数f(x)是定义在［—1,1］上的增函数，且

/(x-l)+/(l-2x)<0,则x的取值范围为.

【答案】(0』

【解析】因为奇函数/(x)在［-1,1］上是增函数，所以有〃f)=—f(x),+—2x)<0可化为

/(X-1)<-/(1-2X)=/(2X-1),要使该不等式成立，有一142》-141,解得

x-K2x-l

0<x<l,所以x的取值范围为(0』.

故答案为：(0』.

13.(2022•湖北•房县第一中学模拟预测)已知函数/(x)=|lnx-a|+a(a>0)在［14］上的最小值为1,则a

的值为.

【答案】1

【解析】由题意得lnxe［0,2］,

当aN2时，/(犬)=左一Inx在［14］上单调递减，

(X)的最小值为y(e2)=2«-2=l,a=］<2,

所以aN2不成立；

2a-lnx,xc「l,e")

当0<a<2时，/(》)=「°〃x)在［l,e］单调递减，在［e",e［上单调递增，

InX,XG|efl,e-I

•••f(X)的最小值为〃e")=a=1,符合题意.

故。=1.

故答案为：1.

14.（2022•广东•模拟预测）已知C（x）=2022d+log2N，且

a=f（《），6=，（lg羲际）则之间的大小关系是.（用“<”连接）

【答案】c<a<b

【解析】解：函数/（X）的定义域为（V,0）U（0,M）,

因为/（t）=2022x2+log?国=/（x）,

所以函数〃x）为偶函数，

2

因为函数V=2022x,y=log2|x|在（0,+（»）上递增，

所以函数/（x）=2022x2+log?W在（0,+8）上递增，

则"=人心2Q=大g募卜川g2。22）,

因为logo/vO,所以0<4*'<i，

l<10°2<（35），）2=3<lg2022,

所以4tag°』<1O02<1g2022，

所以/（4,o^6）</（1002）</（lg2022）,

即cvav].

故答案为：c<a<b.

15.（2022•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=署^是定义在（T1）上的函数，=恒成立,

且

⑴确定函数〃x）的解析式；

⑵用定义证明/（X）在（T，l）上是增函数；

⑶解不等式『(x-l)+〃x)<0.

【解】⑴解:因为函数/（力=詈〃T）=一“X）恒成立,

-cix-vb

所以，则6=0,

1+x21+x2

此时十)=得,所以/({|=不亍W

解得。=1,

Y

所以〃上行;

(2)证明：设-1＜%＜电＜1,

则如)-小)=自W_（芯一々）（1-占々）

1+X厂（l+x；）（l+x；）

,/—1<x1<x2<1,

/.-1<XyX2<1,且尤[一工2<0,则1一%%2>0，

则/(百)一/*2)<0，B|J/(x,X/(x2),

所以函数f(X)是增函数.

(3)v/(x-l)+/(x)<0,

/(x-l)<-/(x)=f(-x),

・・,fM是定义在(-1,1)上的增函数，

/.-1<-X<1,得0cxeL

,2

x-1<-x

所以不等式的解集为(O,；).

16.(2022•全国•高三专题练习)设函数/。)=以2+"+](a,6eR),满足f(-l)=O,且对任意实数x均有

fM>0.

⑴求f(x)的解析式;

⑵当XWS时，若g(x)=|/(x)-对是单调函数，求实数上的取值范围.

【解】(1):/(-1)=。，Z?=6!+l.BPf(x)=ax24-(674-l)X+l,

因为任意实数M/5)NO恒成立，则

Q>0旦△=〃—4。=(。+1)2—4。=(。-1)2<0,a=19h=2,

所以/（幻=/+2%+1.

(2)因为g(x)=|/(x)-时=*+(2-Z)x+1,

设力(x)=/+(2-k)x+l,要使g(x)在上单调，只需要

l-2>1fe-2>1A-2V1

22f22t、22

j或j或］i

吗”0/?(")<o/!(--)>0

解得34%《9或1弓所以实数%的取值范围3,91u--1,1

17.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=f+("-4)x+3-".

(1)若f(x)在区间［0』上不单调，求。的取值范围；

⑵求函数“X)在区间［0,1］上的最大值；

⑶若对于任意的。«0,4),存在%e［0,2］,使得,求f的取值范围.

【解】⑴解：函数/(x)=x2+(a-4)x+3-a的对称轴为*=-区三，

因为已知/(X)在区间［0,1］上不单调,

<7—4

则0<-----<1,解得2<a<4,

2

故。的范围为(2,4)；

⑵"(OX-a,f(1)=0,

当3—a>0时，即a<3时，最大值为/⑼=3-“，

当3-40时，即a.3时，最大值为/(1)=0,

=［0,〃..3

'J的［3-a,a<3

(3)解法一⑺当0<与@,,1时，即2,“<4时，《学卜"x)f(2),

1/⑵/⑶=「2+："-4=三，

〃2)H/(学)—a2—8-(a-4)+8>

44

所以l"x)|〃3.=a-l；

他)当1<?<2时，即0<。<2时，|/(0)|=|3-a|=3-a,/(?卜厂"+："-4

・•/o)H住卜？>0，

•,■1/(切3=3-4,

-不上，l/(-r)U=j3_^0<fl<2.

故"(x)Lw」，所以4,1，

解法二：=+("2)(x-l)忸［x-l)-+|("2)(x-l)|l+|a-2|,

当且仅当x=0时等号成立，

又(1+k-叽=1，

【素养提升】

1.(2022•江苏南通•高三期末)已知函数/(x)=e*-eT+ln(dFW+x)，则不等式区外+火缄-1)>0的解集

是()

A.(1,+oo)B.C.(fg)D.(-00,1)

【答案】B

【解析】“X)的定义域满足F「—x>0,由

所以G7T-x>0在R上恒成立.所以〃x)的定义域为R

xx

f(-x)=e~-e+ln(J%2+i-x)

则/(x)+/(—x)=，一6一"+ln(J%2+1+工)+［二一e*+ln(JM+1-x)

=ln(，f+i+%)+ln(Jf+1+x)=In1=0

所以/(x)=—/(—X)，即/(x)为奇函数.

设8(彳)=1116%+1+x),由上可知g(x)为奇函数.

当XNO时，y=GTT，)'=X均为增函数，则〉=小河口+兀在［0，+8)上为增函数.

所以g(x)=ln(Vx2+l+x)在［o,+8)上为增函数.

又g(x)为奇函数，则g(x)在(Y),0］上为增函数，且g(O)=O

所以g(x)在R上为增函数.

又^=炉在R上为增函数，y=e-"在R上为减函数

所以y=e*-"*在R上为增函数，故/(同在R上为增函数

由不等式〃x)+/(2x-l)>0,即f(x)>―/(2x-l)=f)_2x)

所以x>l-2x,则x>；

故选：B

2.(2022•福建省厦门集美中学模拟预测)已知函数/(x)是定义域为R的函数，”2+x)+/(-x)=0,对

任意A，Xje［l,-K»)(x,<x2),均有/(々)一/(与)>0,已知a,为关于x的方程f-2x+r-3=0

的两个解，则关于，的不等式/(“)+/。)+/(。>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由〃2+x)+〃—x)=0,得/⑴=0且函数关于点(1,0)对称.

由对任意4，x,G［1,+OO)(X,<x2),均有/(巧)一了(再)>0,

可知函数/(x)在口,物)上单调递增.

又因为函数“X)的定义域为R，

所以函数/(x)在R上单调递增.

因为。，人(。/A)为关于x的方程V-2x+r-3=0的两个解，

所以△=1(产-3)>0,解得-2<1<2,

且a+b=2,即b=2—a.

又〃2+X)+/(T)=0,

令x=-a,则/(4)+/(。)=0,

则由〃a)+〃6)+/(f)>0,得/0>0=〃1),

所以，>1.

综上，f的取值范围是(1,2).

故选：D.

3.(2022•湖南二中学模拟预测)已知函数“工人落，若不等式“1-")+/卜2"2对

Vxe(O,E)恒成立，则实数。的取值范围.

【答案】(9,2]

2(1e，2

【解析】/(A-)=-^=^；~=2--^，

1+e7l+el+eT

因为y=l+e*在R上为增函数，

2

所以~^在区上为增函数，

l+e

2?

因为

所以“1-词+/(f)*2可化为“1_依)22-/(巧=/(-V),

因为〃x)在R上为增函数,

所以1-or2-f对Vxe(0,+oo)恒成立，

所以“4x+，对Vxe(0,+co)恒成立，

因为x>0,所以x+=2,