向量法求空间角系-高考数学复习

第七章立体几何与空间向量

专题7.5向量法求空间角系

能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法

在研究空间角问题中的作用.

考点一异面直线所成的角

考点二直线与平面所成的角

考点三平面与平面的夹角

【知识梳理】

1.异面直线所成的角

若异面直线/2所成的角为仇其方向向量分别是“，V,则COS9=|COS〈“，V〉

回M

2.直线与平面所成的角

如图，直线N8与平面a相交于点8,设直线AB与平面a所成的角为仇直线48的方向向量为"，平面a的法向量

IunI

为"，则sin8=|cos(w,n)|=1|“||川1=®近.

3.平面与平面的夹角

如图，平面a与平面用相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平面少的夹

角.

若平面a,£的法向量分别是"I和心,则平面a与平面用的夹角即为向量"1和"2的夹角或其补角.设平面a与平面£

的夹角为仇则cos6=|cos<m,"2〉|=.

\ni\\n2\

第一部分核心典例

题型一异面直线所成的角

1.如图，在正方体ABCD-4片GA中，E、F分别是BBX,CD的中点，

⑴求证：平面NDE；

(2)求异面直线ERC风所成的角

【详解】(1)以。为原点，。/为》轴，为y轴，on为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

不妨设正方体的棱长为1,

则。(0,0,0),A(1,0,0),2(0,0,1),E(1,1,1),F(0,1,0),

则。1尸=(0,—1),DA=(1，0,0),AE=(0，1，；)，

贝U印而=0,印•荏=0,

所以印_L耳，D.FYAE.

所以功尸，。/,DXFVAE

因为。/门/£=/,£>/u平面NEu平面NDE,

所以2尸_1平面ADE.

(2)以。为原点，D4为x轴，。。为V轴，Z)n为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

不妨设正方体的棱长为1,

则⑸(1,1,1),C(0,1,0),

故5=(1,0,1),~EF=(T，一，—y),

设异面直线£尸，C5/所成的角为a,所以cose"cos(而，西

则异面直线£尸，CB所成的角为30°.

2.四棱锥尸一/3CO中，底面/BCD是正方形，PD=AD=2,PA=PC=26，£是尸B的中点.

(1)求直线BD与直线PC所成角的余弦值；

(2)求证：尸C_L平面4DE；

(3)求点B到平面ADE的距离.

【详解】(1)因为底面48C。是正方形，PD=AD=2,PA=PC=272.

所以在AP4D中，尸。2+/。2=4+4=8=尸/2,所以尸口，/。，

同理可证得尸+DC2=4+4=8=PC?,所以尸£>_L£>C,

又因为ND_LDC,AD,DCu平面/8CD,所以尸D_L面Z3CD；

以点D为原点，分别以所在直线为x/，z轴，建立如图空间直角坐标系，

由题意£>(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),£(1,1,1),

设直线与直线PC所成的角为0,

因为丽=(-2,-2,0),定=(0,2,-2),

\BD-PC\_4_1

月I以cos0——.---~f=T=~~

\BD\-\PC\2V2X2V22

所以直线5。与直线PC所成角的余弦值为

(2)因为属=(2,0,0),定=(0,2,-2),瓦=81,1)

^^,ZM-PC=2x0+0x2+0x(-2)=0,n£；-PC=0xl+2xl+(-2)xl=0,

所以PCIDA,PCIDE,又D4cDE=D,DA,DEu平面4DE,

所以PCI平面NDE.

(3)由(2)知，PCI.平面则PC=(O,2,-2)为平面NOE的一个法向量,

设点B到平面的距离为d,则d为向量9在向量定=(02-2)上的投影的绝对值,

由丽=（2,2,0）,得

八段C1

2夜''

|尸。

所以点B到平面NDE的距离为V2.

题型二直线与平面所成的角

尸-4BC。中，底面48CD是矩形，48=2/。=2,尸4,平面ABCRE为尸。中点，且川=1.

(1)求证：尸8〃平面ZCE；

(2)求直线BE与平面尸所成角的余弦值.

【详解】(1)连接2。，交/C于点O,连接EO,

为BD中点，E为PD中点，EO//PB.

又：EOu平面ZCE,PBC平面/CE,P3//平面/CE.

如图，以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则4（0,0,0）,C（2,l,0）,5（2,0,0）,尸（0,0,1）,£＞（0,1,0）,

J,1,PD=（0,l,-l）,PC=（2,l,-l）,

则E。,法,BE=\-2,

n•PD=y-z=0

设平面尸CD的法向量为〃=(x,y,z),贝卜令y=i,得〃=（o,U）.

n-PC=2x+y-z=0

设直线BE与平面尸。所成角为。，且。w

]_

•sin0=：.cose=Jl-sin?。=

33

即直线BE与平面尸CD所成角的余弦值为逑.

3

4.如图，NE_L平面/BCD,CFHAE,ADIIBC,AD1AB,AB=AD=\,AE=BC=2CF=2.

⑴求证：8尸〃平面4DE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

【详解】(1)由CFC平面/DE,/Eu平面ADE,则CF〃平面ADE,

由/O〃8C,5CC平面/DE,/Du平面4DE,则8c〃平面4DE,

而C〃nBC=C,CF,3Cu平面8CF,

故平面BCFH平面ADE,

又BFu平面BCF,则BFH平面ADE；

(2)AEV^^ABCD,N8,/Du平面/BCD,

则AEVAD,又AD上AB,

以A为原点，分别以为x),z轴构建空间直角坐标系/-孙z,如下图所示:

又48=40=1,AE=BC=2CF=2,

所以*1,0,0),C(l,2,0),£)(0,1,0),£(0,0,2),

贝lj演=(-1,-2,2),5£=(-1,0,2),瓦=(0,-1,2),

,、m-BE=-x+2z=Q

令平面瓦乃的一个法向量行=(x),z),贝叫—.,

m-DE=—y+2z=Q

令z=l,贝！］尤=2,y=2,即＞=(2,2,1),

4

即直线CE与平面5DE所成角的正弦值为§.

题型三平面与平面的夹角

5.在三棱柱N3C-4耳£中，4G，平面//CC，。为24的中点，A/CD是边长为1的等边三角形.

⑴证明：ACLAXB.

Q)若BC=也,求二面角8-。。一。的大小.

【详解】(1)连接4C,：4C1，平面44CC，且8C//4G,

...3C」平面粉。©,/Cu平面A41clC,BC±AC,

又AD=CD=AXD=1,/DAC=ZDCA,NDCA]=/D4c,

ZDAC+ZDCA+NDCA]+ZDA.C=180°,

所以ZDCA+/DCq=90。,即AC_L*,

又BCcCA】=C,5Cu平面BC4i,C4]U平面BO1，

所以力CL平面5C4],

45u平面BC4，:.ACLAXB.

(2)以C为坐标原点，C4,C4，C3分别为x轴，V轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则c（o,o,o）,3（o,o,g,G（-i,6,。）,。闺-1,后6）,

即8G=（-1,百,-百），8。=-,-A/3,

设平面BCQ的法向量为用=（x,y,z）,

［画标=0［-x+^y-^z=0

则］丽,玩=0，即＜』x+且y_6z=0，

、22

令z=2,解得x=y=3,故7"=（百,3,2）,

由题意平面CCQ的法向量为〃=(0,0,1%

m-n21

cos（m,n2,且二面角8-CQ-C为锐角,

R-H4

二面角8-CQ-4的大小60。.

6.如图，四棱锥P-/BCD的底面48。是矩形，P/_L平面/BCD,PA=AD=2,5£＞=272.

(1)求证：AD1平面上4C；

(2)求二面角尸-CD-B余弦值的大小；

【详解】(1)如图所示，以/为坐标原点建立空间直角坐标系,

则/（0,0,0）,0（0,2,0）,尸（0,0,2）,

在RtABND中，因为/O=2,BD=26，则48=2,所以B（2,0,0）,C（2,2,0）,

_____k_LILlUl

可得/尸=（0,0,2）,ZC=（2,2,0）,BD=（-2,2,0）,

因为丽•万=0，BDAC=0,即5Z）_L/P，BDLAC,

且/尸c/C=/,4P,/Cu平面勿C,所以2。1平面P4C.

（2）由（1）可得丽=（0,2,-2）,CD=（-2,0,0）,

”■»---►

々•PD=2y-2z=0

设平面尸C£＞的法向量为4=(无，为z),贝।卜

nx-CD=-2x=0

令y=1,则x=o,z=1,

故平面尸CD的法向量可取为，=(0,1,1),

因为尸/，平面ABCD,则万=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量,

LIUUJl

严腺）•怨2

前得cos（n,AP）=而皿=—7=—=

「侍'}I"网6x22，

设二面角尸--8的大小为。，由图易得。为锐角,

所以二面角尸-CD-8余弦值为变.

2

7.如图所示，在四棱锥尸-48。中，侧面尸40,底面48cD,侧棱尸/=尸。=0，PA±PD,底面48CD

为直角梯形，BCHAD,ABLAD,AB=BC=l,。为/。的中点.

(1)求证：CO_L平面P4D；

⑵求平面BPC与平面PCD夹角的余弦值.

【详解】(1)证明：因为P4=PD,且。为4D的中点，可得尸O_L4D,

又因为侧面尸4。，底面/BCD,侧面尸/De底面48cz)=40,且尸Ou平面尸

所以尸01底面/BCD,因为。Cu平面/BCD,所以PO_LOC,

因为P/=PD=正且尸可得40=2,

因为底面48CD为直角梯形，且4B=BC=1,且。为4。的中点，

所以OC//AB,所以。C_L/D,

又因为尸On/D=。，且PO,4Du平面p/。，所以OC_L平面

(2)解：以。为原点，以。所在的直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，

在等腰直角AP4D中，可得尸0=1,且4B=3C=1,

可得5(l,-l,0),C(l,0,0),尸(0,0,1),£>(0,1,0),

贝ljG=(0,-1,0)不=(T0,1),丽=(_1,1,0),

设平面8PC的法向量为4=(%,加4)

%•CP=-%j+Zj=0

取玉=1,可得弘=0,马=1,所以々=(1,0,1),

设平面PCD的法向量为〃2=(%2,%/2)

n2CD=-x2+y2=0

取々=1,可得歹2=I/2=1,所以〃2=(1,1,1),

2瓜

则COS("],"J=

所以平面5PC与平面尸CD夹角的余弦值为逅.

3

第二部分课堂达标

一、单选题

1.已知两条异面直线的方向向量分别是以=(3,-1,2),"=(-1,3,2),则这两条直线所成的角。满足()

1111

A.sin0=—B.cos6=—C.sin6)=——D.cos0-——

7777

【答案】B

【详解】因为两条异面直线的方向向量分别是瓦=(3,-1,2)尸=(-1,3,2),

|-3-3+4|1

所以cos0=cos<u,v>

讲心+(-1)2+22J(T)2+3、227

故选：B

2.已知直平行六面体48co-4片中，AAX=AB=BC=2,ZBAD=60°,则直线BQ与。8所成角的余

弦值为()

6]1

A.—B.-C.-D.0

424

【答案】A

【详解】取的中点尸，连接。尸，因为N8=8C=2,N8/D=60。，

所以48=40=2,故△48。为等边三角形，故

所以。尸

又平行六面体ABCD.AMR为直平行六面体,

故以。为坐标原点，DC。。所在直线分别为x/，z轴，建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),8(百,1,0),G(0,2,2),

设直线BC,与DB所成角的大小为0,

「西3_|(-V3,1,2).(73,1,0)1J-3+1+O|V|

贝Ijcos—cos(画，丽

一函，词\/3+l+4xj3+l+0.2/2x2~4

g与D8所成角的余弦值为去

故选：A

3.若平面。的一个法向量为比=(1,0/)，平面尸的一个法向量是五=(-3,1,3),则平面。与尸所成的角等于

A.30°B.45°C.60D.90°

【答案】D

【详解】因为成•为=(1,0,1)•(-3,1,3)=-3+0+3=0,

所以而±M,

所以平面。与尸所成的角等于90。.

故选：D

2兀

4.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于胃，则直线/与平面a所成的角等于()

27r7C—兀兀

A.—B.—C.—D.一

3364

【答案】c

【详解】令直线/的方向向量为Z，平面a的法向量为3,直线/与平面。所成的夹角为万，

.cl一2兀1八C兀c兀

sinp=|cos<a,b>^=cos—=—,0<p<—,p=—.

故选：C

5.设直线/与平面。相交，且/的方向向量为的法向量为/若=则/与。所成的角为()

【答案】C

【详解】V=

/与a的法向量所在直线所成锐角为三,

•••/与々所成的角为=

236

故选:C.

6.如图，在圆锥S。中，是底面圆。的直径，D,E分别为SO,SB的中点，OC±AB,SO=AB^4,

则直线AD与直线CE所成角的余弦值为()

A.@B-Tc-fD-f

3

【答案】C

【详解】

以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2,0,0),4(020),Z>(0,0,2),E(0-1,2),

则无5=(0,-2,2),CE=(-2-1,2),

I/______\|ADCE2+4_也

所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为卜os(/D,CE)卜一“一

AD\KZIE12VL312

故选：C

7.已知ZE垂直于正方形48co所在的平面，若48=1,/£=6，则平面/3E与平面CDE夹角的大小是

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【详解】以A为原点，分别以N8,AD,NE所在直线为x轴、了轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

则/1,0,0),C(l,l,o),£>(0,1,0),£(0,0,73),

可得丽=(-1,0,0),CE=(-1,-1,V3).

设平面CDE的法向量为£=(x,y,z),

则一，令z=l,可得〃=0,后1.

n-CD=-x=Q''

因为/E垂直于正方形NBC。所在的平面，NOu平面48CD

所以NEJ./。，又因为48CD是正方形，所以

因为/£口48=A,AE,ABu平面/BE,所以40_L平面/BE,

Ulin

所以平面/BE的一个法向量为40=(0,1,0),

/_.■\n-ADA/3y/i

所以cos(〃,4D)=同商=西=则平面/BE与平面C7)E夹角的大小是30°.

故选:A

8.如图，四棱锥尸一48CD的底面48CD是菱形，AB=4,ZABC=60°,PAlnABCD,且尸4=4,E

是尸/的中点，贝IPC到平面BED的距离为()

A.V2B.y/3C.2V2D.2A/3

【答案】A

【详解】取CD的中点尸，连接NG/C,

因为四边形48C。是菱形，ZABC=60°,

所以A/CZ>为等边三角形，

又因为尸为中点，

所以/P_LCQ,

以点A为原点，以所在直线为x/，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(4,0,0),D(-2,2瓜0),£1(0,0,2),尸(0,0,4),C(2,273,0),

所以砺=(-4,0,2),瓦=(2,-2指',2),

设平面BED的一个法向量为n=(x,y,z),

n-BE=0f-4x+2z=0_厂

则｛—，即｛厂，取z=2,得"=(1,6,2),

n•DE=02x-2j3y+2z=0

因为斤=(2,2g,-4),

所以£定=2+6—8=0，即正_LA，

又因为尸CO平面BED,

所以PC〃平面BED,

所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离

因为丽=(0,0,2),

所以点尸到平面BED的距离d=用何=，=也，

\n\2V2

所以尸C到平面BED的距离为V2，

故选：A.

二、多选题

9.如图，在底面为正方形的四棱锥尸-4BCD中，尸平面48cD,4P=48=1,则下列说法正确的是()

A.异面直线PB与NC所成的角为60°

B.直线产。与平面所成的角为30。

C.平面PBO与平面尸/B的夹角为30。

D.点。到面总。的距离为必

3

【答案】ABD

【详解】A选项，因为P/_L平面/8C。，/2,/Du平面/3C£),

所以PAYAD,

又四边形/BCD为正方形，故两两垂直，

以A为坐标原点，48,40,4?所在直线分别为x/,z轴，建立空间直角坐标系，

则尸(0,0,1),5(1,0,0),/(0,0,0),C。,1,0),。(0,1,0),

则丽=(1,0,-1),就=(1,1,0),

I/______A|I丽・就|1(1,0,-1).(1,1,0)11

设直线PB与AC所成的角大小为0,贝Ucos。=COS(P8,AC\=二」=z八,=-,

1\4叫Vl+lxVl+12

故。=60。，A正确;

B选项，因为四边形为正方形，所以ZC_LAD,

又P4_L平面48CD,BDu平面48CD,故尸/_LM),

因为ZCcP/=4,ZC,尸Zu平面R4C,

所以8。，平面川C,故可取丽=(-1,1,0)为平面R4c的法向量,

设直线与平面P4C所成的角大小为a,

阿•明|(0,1,-1卜(-1,1,0)|

则sina=cos(PD,BD

西.瓯VT+ixVi+T2

故直线尸。与平面K4C所成的角为30。，B正确;

C选项，设平面尸5。的法向量为K=(x,y,z),

n-BD=(x,y,z)\-l,tO)=-x+y=O

则_—►/、/、，令歹=1得x=z=l,

五=(%,、/)•(0,1,-1)=y-z=0

故〃=(1,1,1),

平面PAB的法向量为蔡=(0,1,0),

何.”_|(O,l,O)-(l,U)|_

\m\-\nVi+i+i3

故平面PBD与平面尸48的夹角不为30。，C错误;

D选项，由C选项知，平面尸3。的法向量为"=(1,1,1),

\n^CB\二|”』)『矶旦口正确.

故点C到面PBD的距离d=门

\n\V33

故选：ABD

V31/-一

10.已知二面角中，平面。的一个法向量为或=三3,&，平面力的一个法向量为巧

7

则二面角尸的平面角满足()

A.余弦值为在

B.正弦值为5

2

C.大小为60。D.大小为30。或150。

【答案】BD

【详解】设所求二面角的平面角的大小为6,

-+2

4

3

x—

2

所以＜9=30。或150。，故C错误，D正确,

又因为sin30o=sinl5（r=L故A错误，B正确,

2

故选：BD

三、填空题

11.在菱形/BCD中，ZABC=60°,沿对角线NC折叠之后，使得平面2/C1•平面NCO（如图），则平面

BCD与平面ACD夹角的正弦值为.

【答案】拽心病

55

【详解】设/C的中点为E,连接BE,DE,

因为菱形ABCD中,ZABC=60°,

所以三角形8/C和三角形ZCD都是等边三角形，

因此3E_L/C,DEJ.AC,

因为平面A4C_L平面NCZ）,平面A4Cc平面NCZ>=/C,

所以BE_L平面/CD,而。Eu平面/CD,

因此BE工DE,因此建立如图所示的空间直角坐标系，

设菱形的边长为2,^（l,0,0）,C（-l,0,0）,D（0,^0）5@0,出）,

设平面BCD的法向量为〃?=（x,%z）,BC=1-l,0,-6）,BD=',区-小,

m-BC=-x-6z=0一/厂\

所以有《一rrn应=（一百,1,1）,

m-BD=y/3y-y/3z=0'7

平面/CD的法向量为3=砺=（0,0,6），

平面BCD与平面ACD夹角为。，

故答案为：孚

12.如图，在圆锥SO中，N8是底面圆。的直径，D,E分别为SO,S3的中点，OC±AB,SO=AB=4,

则直线AD与直线CE所成角的余弦值为.

【答案】①）正

22

【详解】以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（2,0,0）,4（0,2,0）,0（0,0,2）,£（0,-1,2）,

所以40=(0,—2,2),=(-2,-1,2),

/77H7^\AD-CE65/2

所以cos〈4D,CE)=~p_=—『—=—

"即||词25义32.

故直线AD与直线CE所成角的余弦值为旦.

2

四、解答题

13.如图，在直角梯形/BCD中，AB//CD,4048=90。，AD=OC=!A3.以直线A8为轴，将直角梯形

2

A8CD旋转得到直角梯形/BEF,且/尸_LND.

⑴求证：。尸//平面8CE；

(2)在线段。尸上是否存在点尸，使得直线N尸和平面8C尸所成角的正弦值为逆？若存在，求出g的值；

3DF

若不存在，说明理由.

【详解】(1)将直角梯形/BCD绕着AB旋转得到直角梯形/3EF,

故CD=EF豆CDUEF,

故四边形。力方为平行四边形，

所以DF//CE,

又CEu平面BCE,DFa平面8CE,所以DF//平面3CE；

(2)因为/F_L/。，ZDAB=90°,NF4B=90°,

所以尸两两垂直，

故以A为坐标原点，以尸所在直线分别为xj,z轴，建立空间直角坐标系，

因为/£)=DC=,设AD=1,

2

则4(0,0,0),0,0),尸(0,0,1),8(0,2,0),C(l,1,0),

设袈=M(0V掰VI),则丽=疝再设尸0,6),

Ur

则(。一1,0,6)=77?(-1,0,1),解得〃=l-m9b=m,故尸(1一九0,冽),

当机=0时，此时尸与。重合，直线肝和平面5co垂直，

不满足所成角的正弦值为逑，舍去；

3

当加。0时，设平面5。尸的法向量为〃=(%,%2),

•力=(1,—l,0)・(x,y,z)=x—y=0

则<---f/\\'

PC-n=~m)'^x,y,z)=mx+y-mz=0

人_eim+1.m+\\

令x=l,则歹=l,z=------,故〃=1,1,-------,

mm

设直线AF和平面BCP所成角的正弦值为e，

则sin0=cos

解得加或-1(舍去),

综上，在线段。厂上是否存在点P,使得直线肝和平面尸所成角的正弦值为逆,

3

…DP1

此;时——=-

DF3

14.如图，在直棱柱48co-4片&。中，底面/BCD是菱形，AB=2,ZBAD=60°,AAl=a,E,尸分别是棱

3C,Z)4的中点.

⑴求证：£尸〃平面4助；

(2)若二面角4-3。-/的大小是45。，求。值，并求直线4c与平面43。所成角的正弦值.

【详解】(1)取4。的中点尸，连接PF,PB,

因为E,尸分别是棱3C,。〃的中点，所以尸尸〃42且尸尸=342，BE=；BC,

因为直棱柱/3CO-4耳CQ中，8。〃4"且"=42，

所以PF//BE,且PF=BE,

故四边形为平行四边形，所以EF//BP,

因为防.平面4比),平面4助，

所以跖〃平面4助；

(2)连接NC,与80相交于点。，连接4G，耳2相交于点”，

因为底面43。是菱形，所以/C,8。相互垂直，则NC,AD,。〃两两垂直，

以O为坐标原点，。4。民。〃所在直线分别为x/，z轴，建立空间直角坐标系,

因为43=2,/8/。=60。,幺4=。，所以/。=8。=2,OB=1,AO=43,

故/(百,0,0)4(6,0,@,网0,1,叽40,-1，9,qd,oj,

设平面4瓦＞的法向量为加=(x,y,z),

m-BD=(x,乂z)•(0,-2,0)=—2y=0

m-=(x,y,z)-^-^3,-1,=-y]~3x-y-az=C

解得歹=0,令x=l,则2=—见，故加=1,0,--

a

a\7

平面N8O的法向量为"=(0,0,1),

解得a=百，

设直线4c与平面AtBD所成角大小为0,

小福卜1,0,-1).卜26,0,一句］而

则sin6=cos(m9AxC

同.困—71+1x712+3-10

15.如图，尸。是三棱锥尸-4BC的高，PA=PB,AB1AC,E是尸B的中点.

(1)求证：OE〃平面融C；

(2)若ZABO=/C3。=30°,尸0=3,PA=5.

①求二面角C-/E-8所成平面角的正弦值；

②在线段CE上是否存在一点M,使得直线MO与平面BCP所成角为30°?

【详解】(1)如图，取N5的中点D,连接。4。8,

,?PO上面ABC,PA=PB,；.OA=OBOD