留数与留数定理

关于留数与留数定理一、孤立奇点及其类型定义1

设在不解析，而在的去心邻域内解析，则称为的孤立奇点．

第2页,共36页，2024年2月25日，星期天例如，是的孤立奇点．是的奇点，而非孤立奇点，因为都是它的奇点．当n无限增大时，在不论怎样小的去心邻域内总有的奇点存在．第3页,共36页，2024年2月25日，星期天设为的孤立奇点，那么的某去心邻域内展为洛朗级数，其中正幂次项部分是在以为中心圆域内解析函数(称为解析部分)，所以点的奇异性完全体现在负幂次项的级数部分(称为主要部分)．下面就洛朗级数负幂次项部分的情况对孤立奇点进行分类．

第4页,共36页，2024年2月25日，星期天定义2

设为的孤立奇点，且在的去心邻域内洛朗级数展开式有如下三种情况：（1）若没有负幂次项，则称为的可去奇点；（2）若关于的最高次幂项为，即

则称为的m级极点；（3）若有无穷个的负幂次项，则称为的本性奇点．第5页,共36页，2024年2月25日，星期天例１已知，展式中没有负幂次项，故为的可去奇点．例２已知，展式中的最高次幂项为，故为的二级极点．第6页,共36页，2024年2月25日，星期天例３已知，展式中有无穷多负幂次项，故为的本性奇点．关于孤立奇点类型的判别，我们有如下结论：第7页,共36页，2024年2月25日，星期天定理1

设在内解析，则(1)为的可去奇点的充要条件是存在极限，其中为一复常数；(2)为的极点的充要条件是；(3)为的本性奇点的充要条件是不存在且不为无穷．证明：略。第8页,共36页，2024年2月25日，星期天

现在研究极点的特征．设在内解析，且是的级极点，则在内，有洛朗展式

其中．于是在内，

(13.6)其中在内是解析的函数，且．反之，如果在内可表示成(13.6)，而在内解析且，那么不难推出是的m级极点，第9页,共36页，2024年2月25日，星期天结论：是的m级极点的充要条件是

其中在解析且．于是有：第10页,共36页，2024年2月25日，星期天例４

判断函数孤立奇点的类型．

解：

和为的孤立奇点．因为

其中在解析且，故是

的三级极点．类似地，分别是的一级极点．第11页,共36页，2024年2月25日，星期天定义3

设，其中在解析且，则称是的m级零点．例如，则和分别是的一级与三级零点．由定义3可得结论：设在解析，则为的m级零点的充要条件是．(13.7)第12页,共36页，2024年2月25日，星期天事实上，若为的m级零点，则可写为，设在的泰勒展开式为，其中，从而在的泰勒展开式为

由此可见，当时，，

．这就证明了上述结论的必要性，充分性请读者自己证明．第13页,共36页，2024年2月25日，星期天例５

问为的几级零点？

解：

因为，，，故是的三级零点．零点与极点有如下关系：第14页,共36页，2024年2月25日，星期天定理2

若是的m级零点，则是的m级极点，反之也成立．证明：

若是的m级零点，则有，其中在解析且．由此，当时，

其中在解析且，所以是的m级极点．第15页,共36页，2024年2月25日，星期天

反之，如果是的m级极点，则有

这里在解析且，于是有，其中也在解析且，由定义3可知是的m级零点．

定理2为判断函数的极点及其类型提供了一个较为简便的方法．

第16页,共36页，2024年2月25日，星期天例６

函数有哪些奇点？如果是极点，指出它们为几级极点．

解：

凡是使的点都是的奇点，这些奇点是，且均为孤立奇点。又由于，所以都是的一级零点，也就是的一级极点．第17页,共36页，2024年2月25日，星期天二、留数与留数定理定义4

设是的孤立奇点，在去心邻域内的洛朗级数中负一次幂项的系数称为在的留数，记作，即．(13.8)第18页,共36页，2024年2月25日，星期天

设,是的孤立奇点，曲线C是函数解析域内围绕的任一正向简单闭曲线，等式两边逐项积分得

于是有

(13.9)关于留数，我们有下面的重要定理：第19页,共36页，2024年2月25日，星期天定理3(留数定理)设曲线C是一条正向简单闭曲线，在C内有有限个孤立奇点，除此以外，在C内及C上解析，则

(13.10)证：

如图13.3，在曲线C内用互不包含且互不相交的正向简单闭曲线将各孤立奇点围绕起来，图13-3第20页,共36页，2024年2月25日，星期天由复合闭路定理

,进而

故

利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就可转化为求被积函数在C内各孤立奇点的留数．第21页,共36页，2024年2月25日，星期天例７求，C为正向圆周．解：

在C内被积函数有两个孤立奇点和,下面分别求.

在内

故第22页,共36页，2024年2月25日，星期天

在内

故由留数定理得原式

第23页,共36页，2024年2月25日，星期天求函数在其孤立奇点处的留数，如果先知道奇点为何种类型，一般来说会更方便，因为（1）若为的可去奇点，则（2）若为的本性奇点，则将在解析域内展为洛朗级数，其中负一次幂项系数即为所求留数；（3）若为的极点，则可用下列计算规则求留数．第24页,共36页，2024年2月25日，星期天规则１若为的一级极点，则

．证：

由于为的一级极点，故有，上式两边同乘以，得

两端取极限，得．第25页,共36页，2024年2月25日，星期天规则２若为的m级极点，则

证：

由于为的m级极点，所以

上式两边同乘以，得

两边对z求m-1阶导数，得

令，两端取极限得结论成立．第26页,共36页，2024年2月25日，星期天规则３设，及在都解析，若则是的一级极点，且．证：

因为的一级极点，由规则１，

已知在解析，且，于是

第27页,共36页，2024年2月25日，星期天

例8

求，C为正向圆周．解：

在C内有一个一级极点和一个二级极点．由规则１，．由规则２，

由留数定理，原式第28页,共36页，2024年2月25日，星期天例９计算积分，C为正向圆周．解：

在C内有四个一级极点．由规则３，．同理可求，，由留数定理，原式

第29页,共36页，2024年2月25日，星期天例10

计算积分，C为正向圆周．解：

在C内有两个孤立奇点和．因为，所以是的可去奇点，从而另外由规则１，

由留数定理，原式第30页,共36页，2024年2月25日，星期天例11

计算定积分，其中．

解：

令，则，，代入原式得

.记，令得,.第31页,共36页，2024年2月25日，星期天其中在圆内，且为的一级极点．由规则３得，根据留数定理，得．第32页,共36页，2024年2月25日，星期天习题13-41、下列函数