6.1平方根2024年七年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第六章实数6.1平方根1算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数xa的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.解释①非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根；②举例：9的算术平方根是3，即9=3；425的算术平方根是25③正数越大，它的算术平方根越大，即若a>b，则a>比如：因为5>4，所以5>4，即2平方根（1）一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方和开平方互为你运算.解释①正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；②举例：9的平方根是3和-3；425的平方根是25和【题型1】求一个数的算术平方根或平方根【典题1】在下列结论中，正确的是()A．-542=±54 BC．﹣x2一定没有平方根 D．9的平方根是±解析A.-542=54，故错误；B．xC．﹣x2，当x＝0时，平方根为0，故错误；D.9的平方根为±3故选：D．【典题2】已知14.35≈3.788，则1435≈，0.1435≈解析∵14.35≈3.788∴1435≈37.88，0.1435故答案为：37.88，0.3788．【巩固练习】1.﹣1的平方根说法正确的是()A．1 B．﹣1 C．±1 D．没有答案D解析∵负数没有平方根，∴﹣1没有平方根，故选：D．2.实数16的平方根是()A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8答案C解析因为(±4)2＝16，所以16的平方根是±4．故选：C．3.一个数的平方根等于它本身，则这个数是()A．1 B．0 C．﹣1 D．0或1答案B解析∵02＝0，∴0的平方根等于它本身，故选：B．4.下列说法正确的是()A．212是414的平方根 B．0.2C．﹣2是﹣4的平方根 D．2是4的平方根答案D解析A、214的平方根是±17B、0.4的平方根是±21010C、﹣4没有平方根，故C不符合题意．D、2是4的平方根，故D符合题意．故选：D．5.下列说法：①0.4=0.2；②179=±43④(-5)2的算术平方根是5；⑤﹣32的平方根是其中正确的个数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案A解析①.0.4=0.2，因此①②179=③0.1是0.01的一个平方根，因此③不正确；④(-5)2=5，而5的算术平方根是5⑤﹣32＝﹣9，由于负数没有平方根，因此⑤不正确；综上所述，正确的结论有④，共1个，故选：A．6.若12|x-2|+(2y+1)2=0，则A．-3 B．3 C．﹣2 D．答案D解析由题意得，x﹣2＝0，2y+1＝0，解得x=2,y=-1∴x-4y=故答案为：D．7.已知实数x，y满足|x﹣1|+(3x+y﹣1)2＝0，则5x+y2的值是(A．3 B．±3 C．4 D．±4答案A解析根据题意得，x﹣1＝0，3x+y﹣1＝0，解得x＝1，y＝﹣2，∴5x+y2＝5×1+(﹣2)2＝5+4＝9，∵32＝9，∴5x+y故选：A．8.若1.7201=1.312,172.01=13.12,17.201=4.147,1720.1=41.47，则答案414.7解析∵17.201=4.147，∴172010故答案为：414.7．【题型2】平方根的性质【典题1】已知正数a的两个不同的平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求a﹣b2﹣2的平方根．解析(1)∵正数a的两个不同的平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，∴2x﹣2+6﹣3x＝0，解得：x＝4，则2x﹣2＝8﹣2＝6，那么a＝62＝36，∵a﹣4b的算术平方根是4，∴a﹣4b＝16，解得b＝5；(2)∵a﹣b2﹣2＝36﹣52﹣2＝36﹣25﹣2＝9，那么其平方根为±3．【巩固练习】1.若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为()A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1答案D解析∵m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，∴m+4+m﹣2＝0，解得m＝﹣1，故选：D．2.如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是()A．441 B．49 C．7或21 D．49或441答案B解析∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，∴a+3和2a﹣15互为相反数，即(a+3)+(2a﹣15)＝0；解得a＝4，则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；则这个数为72＝49；故选：B．3.已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．答案(1)﹣4；(2)1或25解析(1)∵x的算术平方根是3，∴1﹣2a＝9，解得a＝﹣4．故a的值是﹣4；(2)x，y都是同一个数的平方根，∴1﹣2a＝3a﹣4，或1﹣2a+(3a﹣4)＝0，解得a＝1，或a＝3，(1﹣2a)＝(1﹣2)2＝1，(1﹣2a)＝(1﹣6)2＝25．答：这个数是1或25．【题型3】算术平方根的非负性【典题1】已知a、b、c都是实数，若a-2+2b-12+(c+2a)A．1 B．﹣23 C．2 D．﹣解析∵a-2+a-2⩾0,2b-12⩾0，(c+2∴a﹣2＝0，2b﹣12＝0，c+2a＝0∴a＝2，b＝14，c＝﹣4∴a-ca+4b故选：C．【巩固练习】1.已知x，y都是实数，且|x+1|+y-4=0，则xy＝(A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4答案D解析∵|x+1|+y-4=0，|x+1|≥0，y-4∴x+1＝0，y﹣4＝0，解得x＝﹣1，y＝4，∴xy＝(﹣1)×4＝﹣4．故选：D．2.a-b-3+|2a-4|=0，则a+b＝(A．a+b＝﹣1 B．a+b＝1 C．a+b＝2 D．a+b＝3答案B解析∵a-b-3+|2a-4|=0,∴a-b-3=0,|2a-4|=0∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故选：B．3.若x，y为实数，且(x﹣1)2与3y-6互为相反数，则x2+y2的平方根为()A．±3 B．5 C．±5 D．答案D解析∵(x﹣1)2与3y-6互为相反数，∴(x﹣1)2+3y-6＝0，∴x﹣1＝0，3y﹣6＝0，解得：x＝1，y＝2，则x2+y2＝12+22＝5，故x2+y2的平方根为：±5故选：D．4.已知x+1与2-y互为相反数，z是64的平方根，求x﹣y+z的平方根．答案±5解析∵已知x+1与2-y互为相反数，∴x+1+2-y＝0，∴x+1＝0，2﹣y＝0，解得x＝﹣1，y＝2，∵z是64的平方根，∴z＝8或z＝﹣8，当z＝8时，x﹣y+z＝﹣1﹣2+8＝5；当z＝﹣8时，x﹣y+z＝﹣1﹣2﹣8＝﹣11(不合题意，舍去)，所以，x﹣y+z的平方根是±5．【题型4】一个数算术平方根的估值【典题1】估计81-7的值在下列哪两个整数之间(A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定解析∵4＜7＜9，∴2＜7＜3，即7在2和3之间，∴9-7在6和7之间，∴81-7的值在6故选：B．【典题2】阅读下面的文字，解答问题．大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1例如：∵4＜7＜9，即2<7∴7的整数部分为2，小数部分为7-2(1)求出3+2(2)若10+5=x+y其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣(3)已知5+11的小数部分是a，5-11的小数部分是b，求a+解析(1)∵1＜3＜2，∴3的整数部分为1，小数部分为3﹣1，∴3+2的整数部分为3，小数部分为3+2﹣3＝3﹣1，(2)∵2＜5＜3，∴5的整数部分为2，小数部分为5﹣2，∴10+5＝(10+2)+(5﹣2)＝x+y，∴x是整数，且0＜y＜1，∴x＝12，y＝5﹣2，∴x﹣y＝12﹣(5﹣2)＝14﹣5，(3)∵3＜11＜4，∴8＜5+11＜9，1＜5﹣11＜2，∴a＝5+11﹣8＝11﹣3，b＝5﹣11﹣1＝4﹣11，∴a+b＝11﹣3+4﹣11＝1．【巩固练习】1.已知m=4+3，则以下对m的估算正确的A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6答案B解析m=4∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴3＜2+3＜4．∴3＜m＜4，故选：B．2.若10的整数部分为a，小数部分为b，则数轴上表示实数a，﹣b两点之间的距离为()A．10-3 B．10+3 C．6-10 答案D解析∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∴10的整数部分为3，小数部分为10﹣3，∴a＝3，b＝10﹣3，∴﹣b＝3﹣10，∴数轴上表示实数a，﹣b两点之间的距离＝3﹣(3﹣10)＝3﹣3+10＝10，故选：D．3.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，例如[5]＝5，[5]＝2，若将a变换成[a]称为对a进行一次操作，例如：现对72进行如下操作72⟶第1次[72]=8⟶①对11进行一次操作后的结果是3；②对210进行三次操作后的结果是1；③若正整数n进行3次操作后变为1，则n的最大值是225．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个答案B解析①∵11⟶∴对11进行一次操作后的结果是3，故①正确；②∵210⟶∴对210进行三次操作后的结果是1；，故②正确；③∵256⟶255⟶∴若正整数n进行3次操作后变为1，则n的最大值是255，故③不正确；所以，上列说法正确的个数有2个，故选：B．4.6﹣11的小数部分为a，7+11的小数部分为b，则(a+b)2017＝．答案1解析∵3<11∴a=6-11∴(a+b)故答案为：1．5.阅读材料大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2-1来表示2事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵4<5<∴5的整数部分为2，小数部分为5﹣2．解答问题(1)直接写出23的整数部分和小数部分；(2)已知：9+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣答案(1)23的整数部分是4，小数部分是23﹣4；(2)11﹣3解析(1)∵16<23<25，即4＜∴23的整数部分是4，小数部分是23﹣4；(2)∵1＜3＜2，∴1+9＜9+3＜2+9，即10＜9+3＜11，∴9+3的整数部分是10，小数部分是9+3﹣10，∵x是整数，且0＜y＜1，∴x＝10，y＝3﹣1，∴x﹣y＝10﹣(3﹣1)＝11﹣3．【题型5】实际问题中的平方根【典题1】列方程解答下面问题．小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．(1)求长方形的长和宽；(2)现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4，面积为520cm2的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．解析(1)设AB＝xcm，则BC＝(10+x)cm，依题意有：2[x+(10+x)]＝100，∴x＝20，答：长方形的长为30cm，宽为20cm．(2)设新长方形的长为5acm，宽为4acm，则5a×4a＝520，∴a=26即新长方形的长为526cm，宽为426∵26＞25，∴26＞5即426＞20故小丽不能成功．答：小丽不能用这块长方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．【巩固练习】1.将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图1中原长方形的长是．​答案2解析设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，∵A的面积为2，∴x＝2，∵拼接后的大正方形的面积是5，∴x+y＝5，∴y＝5-∴图①中原长方形的长为：x+x+y=2x+y=22故答案为：2+2.如图，用两个面积为15cm2的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形．(1)求大正方形的边长；(2)想在这个大正方形的四周粘上彩纸，请问20cm长的彩纸够吗？请说明理由．答案(1)30cm；(2)不够解析(1)因为大正方形的面积为30cm2，所以大正方形的边长为30cm；(2)不够，理由如下：因为分到每条边的彩纸长为20÷4＝5cm，且5cm所以20cm长的彩纸不够．3.为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，市教育局举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．各学校积极响应组织开展手工绘制精美贺卡活动．小芳制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．答案能将这张贺卡不折叠就放入此信封解析设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm，由题意得：3x•2x＝420，∴x＝70，∴长方形信封宽为2x＝270(cm)，∵70＞64，所以70>8∴270∵面积为256cm2的正方形贺卡的边长是256=16(cm)∴信封的宽大于正方形贺卡的边长．答：能将这张贺卡不折叠就放入此信封．4.在一次数学活动课中，小明同学用一根绳子围成一个长与宽之比为2：1，面积为50cm2的长方形．(1)求长方形的长和宽；(2)他用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于(1)中长方形的面积．他说：“围成的正方形的边长与长方形的宽之差大于2cm．”请你判断他的说法是否正确，并说明理由．答案(1)长为10cm，宽为5cm；(2)说法正确解析(1)根据题意设长方形的长为2xcm，宽为xcm，则2x•x＝50，即x2＝25，∵x＞0，∴x＝5，∴2x＝10，答：长方形的长为10cm，宽为5cm；(2)设正方形的边长为ycm，根据题意可得，y2＝50，∵y＞0，∴y=50∵长方形的宽为5cm，∴正方形的边长与长方形的宽之差为：50﹣5，∵7＜50＜8，∴2＜50﹣5＜3，所以他的说法正确．【A组基础题】1.下列说法正确的是()A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．﹣10是100的一个平方根 D．﹣1的平方根是﹣1答案C解析A、正数的平方根是它本身，错误；B、100的平方根是10，错误，应为±10；C、﹣10是100的一个平方根，正确；D、﹣1没有平方根，故此选项错误；故选：C．2.若(x﹣1)2＝64，则x的值为()A．8 B．9 C．±9 D．9或﹣7答案D解析∵(x﹣1)2＝64，∴x﹣1＝±8，∴x﹣1＝8，x﹣1＝﹣8，∴x＝9或x＝﹣7．故选：D．3.若x，y为实数，且(x﹣1)2与3y-6互为相反数，则x2+y2的平方根为()A．±3 B．5 C．±5 D．答案D解析∵(x﹣1)2与3y-6互为相反数，∴(x﹣1)2+3y-6＝0，∴x﹣1＝0，3y﹣6＝0，解得：x＝1，y＝2，则x2+y2＝12+22＝5，故x2+y2的平方根为：±5故选：D．4.如图1，将两块边长均为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在哪两个相邻的整数之间？()A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间答案B解析根据题意得：大正方形的面积为12则大正方形的边长为18cm．∵16<18<25，∴4<18即大正方形边长的值在4和5之间．故选：B．5.根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是()x1515.115.215.315.415.515.615.7x2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49①228.01=15.1；②235的算术平方根比15.3小；③231040=1520；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出15.82比15.72A．一个 B．两个 C．三个 D．四个答案C解析①228.01=15.1②235的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意；③231040=1520④根据表中数据的变化趋势，可以推断出15.82比15.72增大3.15，故本选项错误，符合题意．故选：C．6.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b＝．答案9解析依题知：2a﹣1＝9①3a+b﹣1＝16②解得：a＝5，b＝2，所以a+2b＝9，故答案为：9．7.代数式9-3-x的值最大时，则x的值为答案3解析代数式9-3-x的值最大时，3-x∴3﹣x＝0，解得x＝3，故答案为：3．8.定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[3]=1，[4.1]＝4，则满足[n]=5，则n的最大整数为答案35解析由题意得：∵5≤n＜6，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．9.一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a．(1)求ab的值；(2)求关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解．答案(1)﹣9；(2)±2解析∵一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a，∴a﹣2+1﹣2a＝0，解得a＝﹣1，当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3，∴b＝9，∴ab＝﹣9，答：ab的值为﹣9；(2)当a＝﹣1时，原方程可变为﹣2x2+5＝﹣3，即x2＝4，∴x=±4答：关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解为x＝±2．10.用两个边长为200cm的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．(1)求大正方形的边长．(2)小丽想用此大正方形沿着边的方向裁出一块面积为360cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她能否裁出来？(请用计算说明理由)答案(1)20cm；(2)不能，理由略解析(1)设大正方形边长为xcm，由题意得x2∴x2＝400，∵x＞0，∴x＝20．∴大正方形边长为20cm．(2)不能，理由如下：设长方形长为4acm，那么宽为3acm．由题意得：4a⋅3a＝360，∴12a2＝360，∵a＞0，∴a＝30，∴4a=430∴小丽不能裁出符合要求的长方形．11.我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．