《勾股定理》知识小结

《勾股定理》知识小结四川省内江市第十一中学641008蒋锋勾股定理是中学数学中的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一．勾股定理及其逆定理的运用非常的广泛，在中考中的考查出现的频率也非常的高文主要就勾股定理的应用方面作一小结，供大家参考一、知识结构二、知识要点勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．说明：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则c2=a2+b2，a2=c2-b2,b2=c2-a2，那么c=，a=，b=，大家应注意勾股定理的这些常见表达式和变形式．三、定理的应用（一）求三角形边长例1．已知三角形的两边长为3和4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长．．所以，第三边的长为5或．评注：本题是勾股定理中容易出错的一道题。例2．如图，折叠矩形，使顶点与边上的点F重合，已知，求BF、DE的长解：根据翻折问题知，与关于AE对称在中，由勾股定理得：即又在中，由勾股定理得：即评注：翻折问题中，注意抓住图形翻折前后线段和角的不变性。应用勾股定理求最短距离、物体的高度等都属于求两点之间的线段长之范畴，这也是勾股定理的最为直接的应用（二）判断三角形的形状例3．若的三条边、、满足条件等式，试判断的形状解：，即根据非负数的性质，得，即，，显然，故为直角三角形评注：本题根据条件等式及非负数的性质，求出的三条边、、的具体数值，是解题的关键，从而运用勾股定理逆定理使问题得以解决（三）求图形的面积.例4．Rt△ABC中，∠C=90°，斜边，周长为，求这个三角形的面积

解：设两直角边长分别为a和b，由勾股定理，得∵三角形的周长是∴

∵∴

∴∴

∴

评注：本题由和，巧妙地运用了完全平方公式，整体求出了的值，进而较简捷地求出三角形的面积．另外此题也可以通过解方程组求出a和b的值，显然这种方法比较麻烦，所以在解题时，一定要认真观察思考，寻找简单方法例5．如图所示，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，DA=13，求该四边形的面积

解：连结AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得

在△ACD中∵DC2+AC2=122+52=169又AD2=132=169

∴DC2+AC2=AD2

∴△ACD是直角三角形.

∴

评注：本题解答的关键是通过分割将其转化为特殊的直角三角形，并且这些特殊三角形以已知线段为边例6．在一棵树的高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘．如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？解：如图,C为树顶，,D为池塘，．设，则树高为．在中，由勾股定理，有解之，得故，即树高为．评注：先根据题意画出图形，把实际问题转化成几何问题，设出某些线段的长度，在直角三角形中运用勾股定理，建立方程（组）求解．例7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根式)解：如图，A、C两点之间的最短距离就是线段AC的长其中