2024年茂名市高二数学3月份联考试卷附答案解析

2024年茂名市高二数学3月份联考试卷试卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于A． B． C． D．3．若函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为（

）A．B．C． D．4．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A． B． C． D．5．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（

）

A． B． C． D．46．双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（

）A． B． C． D．7．已知是自然对数的底数，设，则（

）A． B． C． D．8．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（

）A．18 B． C． D．27二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．正方体的棱长为分别为的中点，则（

）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点和点到平面的距离不相等10．已知，则（

）A．的值域为B．时，恒有极值点C．恒有零点D．对于恒成立11．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，则（

）A．若点的坐标为，则B．直线恒过定点C．点的轨迹方程为D．的面积的最小值为三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是.13．下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.若第1个图中的三角形的周长为1，则第个图形的周长为若第1个图中的三角形的面积为1，则第个图形的面积为.14．已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为．四､解答题本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.(1)根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.16．已知数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的首项为1，其前项和满足，证明：若.17．如图所示，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为的中点.(1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知椭圆的左､右焦点分别为，该椭圆的离心率为，且椭圆上动点与点的最大距离为3.

(1)求椭圆的方程；(2)如图，若直线与轴､椭圆顺次交于（点在椭圆左顶点的左侧），且，求面积的最大值.19．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点、，且不等式恒成立，求实数的取值范围．1．C【分析】由斜率直接求解倾斜角即可.【详解】设倾斜角为，则，则.故选：C.2．B【分析】由等比数列的性质可得，求得，得到，再由等差数列的前n项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列中，满足，由等比数列的性质可得，即，所以，又由，所以所以数列的前项和，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．B【分析】根据导数的几何意义求出，再根据对数函数的单调性解不等式可得结果.【详解】因为，所以，依题意可得，解得，所以，，所以，所以.故选：B4．D【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，由垂径定理得到最小值.【详解】直线.恒过定点，圆的圆心为，半径为，且，即在圆内，当时，圆心到直线的距离最大为，此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：D.5．C【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知，所以，由，，得，，又因为，所以，所以，即．故选：C.6．C【分析】根据双曲线定义和得到边长之间的关系，结合勾股定理得到方程，求出离心率.【详解】设，则，，由双曲线定义得，故，由勾股定理得，即①，连接，则，故，由勾股定理得，即②，由②得，代入①得，故.故选：C7．A【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.【详解】设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.8．C【分析】设正四棱锥的底面边长为，高为，求出的关系式，即可表示出四棱锥的体积，利用导数求得其最大值，即得答案.【详解】球的表面积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，则，，所以，故正四棱锥的体积为，，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为.故选：C.9．BC【分析】根据线线位置关系判断A；证明平面平面，利用面面平行的性质可判断B；作出平面截正方体所得的截面，求出截面面积判断C；设，则是的中点。结合点到平面的距离的含义判断D.【详解】，而F为的中点，与不垂直，与不垂直，错误；取中点，连接，由分别是中点，得，平面，平面，故平面，又是平行四边形，，平面，平面，故平面，而平面，故平面平面，又平面平面，B正确；由正方体性质，连接，由于，故四边形为平行四边形，则，而，故，则截面即为四边形，它是等腰梯形，正方体冷场为2，故，等腰梯形的高为，截面面积为，C正确；设，则是的中点，而平面即为平面，平面，两点到平面的距离相等，不正确.故选：.10．BCD【分析】令,则，求导数分析单调性即可求得；B选项由A选项即可判断B选项；C选项由)，根据方程有零点转化为两个方程的根的问题来判断；D选项，转化为，即可判断D选项；【详解】对于：令，则，当单调递增；当单调递减.，的值域不为，故A不正确；对于：由选项可知，当时，是的极值点，故B正确；对于C：有零点，即有根，当时，与函数图象恒有交点，当时，由选项A知；且在上单增，在上单减，当时，函数图象在第三象限与有交点，当时，函数图象在第四象限与有交点，与函数图象恒有交点，故C正确；对于D：若，则，(，令，，所以，故当时等号成立)，当，则，故D正确.故选：BCD.11．ACD【分析】A选项，求出，由垂直关系得到，与抛物线方程联立，得到两根之积，求出；B选项，设，联立抛物线方程，得到两根之积，由得到，得到，得到所过定点；C选项，由得到点的轨迹；D选项，由B选项基础上求出，得到面积的最小值.【详解】对于选项，，∵，，联立，消去，有，记，则，由，得，，故A正确；对于B：可设，联立，消去，有，则，由得，，过定点，故B不正确；C选项，∵，在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；D选项，由B选项可知，过定点，，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．或【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用导数探讨函数的性质，再数形结合求出的范围.【详解】函数的定义域为，求导得，当或时，，当或时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，函数在上恒有，而，当时，，而函数在上递减，值域为，因此函数在上无最大值，当时，，显然在上无最大值，函数的大致图象如图，观察图象知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，因此方程有两个不同的实数解时，或，所以实数的取值范围是或故答案为：或13．【分析】结合等比数列的相关知识，观察图形可得出三角形的边长为，边数为满足，，求出通项公式，利用计算即可；易得到，利用累加法及等比数列相关公式求解即可.【详解】记第个图形为，三角形的边长为，边数为，周长为，面积为则有条边，边长为有条边，边长为有条边，边长为，即，即.当第1个图中的三角形的周长为1时，即；由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，即，，利用累加法可得，因为数列是以为公比的等比数列，数列是以4为公比的等比数列，故数列是以为公比的等比数列，当第1个图中的三角形面积为1时，，即，此时有条边，则.故答案为：.14．【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围.【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以．设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为．点的轨迹是以为圆心半径为的圆.设点，，到直线的距离分别为，，，所以，，，所以．因为点到直线的距离为，所以，即，所以．所以的取值范围为．故答案为：【点睛】思路点睛：利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围.15．(1)，第80百分位数为(2)（i）；（ii）10【分析】（1）根据第一组的人数及所占比例求出，利用百分位数的计算公式求出第80百分位数为；（2）（i）利用列举法求解甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）结合第四组和第五组的平均数和方差，利用公式求出这m人中35~45岁所有人的平均数和方差.【详解】（1）由题意，，所以.设第80百分位数为，因为，，故第80百分位数位于第四组：[35，40）内，由，解得：，所以第80百分位数为；（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，甲，乙，甲，乙），（B，D），（C，甲），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）共15个样本点.设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则，甲，乙，甲，乙），，甲，乙），（甲，乙），（甲，乙，，共有9个样本点.所以.（ii）设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为，则，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年䍅在岁的所有人的年龄方差约为10.16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用累加法求解即可；（2）根据题中条件可得为等差数列，继而可求得，，利用错误相减法求得，考场其单调性即可证明.【详解】（1），时，.又符合上式，所以.（2）由，得，数列是以公差为，首项为1的等差数列，则，即.当时，，也符合该式，.则，记，由，作差得，则.，数列在上单调递增，，.即.17．(1)(2)(3)存在，且【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得平面.根据已知得出.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出平面，求出的坐标，即可根据向量法求出答案；（2）求出平面的法向量，根据向量法即可得出距离；（3）假设存在，设，得出.求出平面的法向量，根据二面角结合向量，列出方程，求解即可得出的值，进而得出答案.【详解】（1）在中，，O为的中点，所以.又因为面底面，平面平面，平面，所以，平面.在中，，，所以，，.在直角梯形中，为的中点，所以.又，所以四边形为平行四边形，.因为，，所以.以O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，所以.因为，，，平面，平面，所以平面，所以为平面的法向量.因为，所以与平面所成角的正弦值为，余弦值为.（2）由（1）可得，，，设平面的法向量为，则，取，得.所以，B点到平面的距离.（3）假设存在，且设.因为，所以，，.设平面的法向量为，，，则，取，得.因为平面，所以平面的一个法向量为.因为二面角的余弦值为，所以，整理化简，得，解得或（舍去），所以，线段上存