中考数学总复习《等腰三角形》专项测试卷(附答案)

第第页中考数学总复习《等腰三角形》专项测试卷(附答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（）A．22 B．19 C．17 D．17或222．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD＝20°，则∠B＝（）A．20° B．30° C．35° D．40°4．如图，△OAB的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且AB⊥x轴，若AB＝2，OA＝OB＝，则点A的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）5．如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65°7．如图，已知a∥b，截线c与直线a，b分别交于点A，B，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线b于点C，连接AC，若∠CAB＝50°，则∠ACB的度数是（）A．50° B．65° C．80° D．75°8．如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．92° B．102° C．112° D．114°9．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以1cm/s和2cm/s的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使△ADE为直角三角形（）A．9 B． C． D．110．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论：①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝4，则△ADE的周长为．12．如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝5cm，EC＝4cm，则DE＝cm．13．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝．14．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为cm．15．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝m2．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，8），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（8分）如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．求证：△ABD是等腰三角形．18．（8分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．20．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．21．（8分）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．（1）求证：∠B＝∠C；（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．22．（8分）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．23．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．参考答案与解析选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（）A．22 B．19 C．17 D．17或22【答案】A【解答】解：分两种情况：①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9∴三角形的周长＝4+9+9＝22；②当9为底边长，4为腰长时∵4+4＜9∴不能构成三角形；∴这个三角形的周长是22．故选：A．2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解答】解：连接BC，如图∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B∴OB＝OC∵以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC∴OB＝BC∴OB＝OC＝BC∴△OBC是等边三角形∴∠O＝60°．故选：C．3．如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD＝20°，则∠B＝（）A．20° B．30° C．35° D．40°【答案】C【解答】解：∵DE垂直平分AB∴AD＝DB∴∠B＝∠DAB∵∠C＝90°，∠CAD＝20°∴∠B＝（180°﹣∠C﹣∠CAD）÷2＝35°故选：C．4．如图，△OAB的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且AB⊥x轴，若AB＝2，OA＝OB＝，则点A的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）【答案】A【解答】解：设AB与x轴交于点C∵OA＝OB＝，OC⊥AB，AB＝2∴AC＝AB＝1由勾股定理得：OC＝＝＝2∴点A的坐标为（﹣2，1）故选：A．5．如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．∴∠A＝50°∵DE垂直平分AC∴AD＝CD∴∠A＝∠ACD＝50°∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．故选：B．6．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65°【答案】D【解答】解：当∠A为顶角时，则；当∠B为顶角时，则∠B＝180°﹣2∠A＝80°；当∠A、∠B为底角时，则∠B＝∠A＝50°．故选：D．7．如图，已知a∥b，截线c与直线a，b分别交于点A，B，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线b于点C，连接AC，若∠CAB＝50°，则∠ACB的度数是（）A．50° B．65° C．80° D．75°【答案】B【解答】解：由题意，AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵∠CAB＝50°∴故选：B．8．如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．92° B．102° C．112° D．114°【答案】B【解答】解：如图：AB，AC分别交直线a于点D，E∵△ABC是等边三角形∴∠A＝60°又∵∠ADE＝∠1＝42°∴∠DEC＝∠ADE+∠A＝102°又∵a∥b∴∠2＝∠DEC＝102°．故选：B．9．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以1cm/s和2cm/s的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使△ADE为直角三角形（）A．9 B． C． D．1【答案】D【解答】解：由题意，当t＝9时，9×1＝9，9×2＝18，如图1此时点D为BC的中点，E在C点．∵AB＝AE∴AD⊥BE．∴△ADE为直角三角形．∴A选项不符合题意．当t＝时，×1＝＝6+1.5，＝15＝6×2+3，如图2此时BD＝1.5，E为BC的中点．∵E为BC的中点，AB＝AC∴AE⊥BC．∴△ADE为直角三角形．∴B选项不符合题意．当t＝时，×1＝＝2.4，＝＝4.8，如图3此时AD＝1.5，CE＝4.8．∴AE＝AC﹣CE＝6﹣4.8＝1.2．取AC的中点H，连接BH．∵AB＝BC∴BH⊥AC．∵＝＝∴DE∥BH．∴∠AED＝∠BHA＝90°．∴△ADE为直角三角形．∴C选项不符合题意．当t＝1时，AD＝1×1＝1，CE＝1×2＝2．如图4此时AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4．运用排除法显然△ADE不是直角三角形．故选：D．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论：①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：因为∠ACB＝90°，DE⊥AB，∠DCA＝∠DAC所以90°﹣∠DCA＝90°﹣∠DAC所以∠E＝∠B＝∠DCB所以①正确；因为∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠B所以DC＝DA，DC＝DB即DC＝DA＝DB所以DC是直角三角形斜边AB上的中线所以所以②正确；根据已知，只能判断△ADC是等腰三角形所以③错误；因为∠E＝30°所以△ADC是等边三角形所以∠E＝∠B＝∠DCB＝∠CDF＝30°所以CF＝DF所以DE＝EF+DF＝EF+CF所以④正确故选：C．填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝4，则△ADE的周长为12．【答案】12．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°∴△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝4∴△ADE的周长＝4+4+4＝12故答案为：12．12．如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝5cm，EC＝4cm，则DE＝9cm．【答案】9．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF∴BD＝DF＝5cm，FE＝CE＝4cm∴DE＝DF+CE＝9（cm）．故答案为：9．13．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝10°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点∴AD＝BD，AE＝CE∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE∵∠B＝40°，∠C＝45°∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°∴∠BAD+∠CAE＝85°∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°故答案为：10°14．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为24cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF为平行四边形∴AE＝DF＝3cm，DE＝AF＝5cm∵△ABC为等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵DE∥AC，DF∥AB∴∠BED＝∠A＝60°，∠DFC＝∠A＝60°∴∠BED＝∠B＝60°，∠DFC＝∠C＝60°∴△BED为等边三角形，△DFC为等边三角形∴BE＝BD＝DE＝5cm，DF＝FC＝CD＝3cm∴AB＝AE+BE＝8cm，AC＝AF+CF＝8cm，BC＝BD+CD＝8cm∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝8+8+8＝24cm．故答案为：24．15．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝12m2．【答案】12．【解答】解：如图，延长BD交AC于点E∵AD平分∠BAE，AD⊥BD∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE在△ABD和△AED中∴△ABD≌△AED（ASA）∴BD＝DE∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2）故答案为：12；16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，8），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（）2020．【答案】（）2020．【解答】解：∵点A的坐标是（0，8），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝8∴A1O1＝OA1＝4，点A1纵坐标是4∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝4∴A2O2＝O1A2＝2，点A2的纵坐标是2∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3同理，得点A3的纵坐标是2×按此规律继续作下去，得：点A2023的纵坐标是8×（）2023，即（）2020故答案为：（）2020．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．(8分)如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．求证：△ABD是等腰三角形．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵BD、AE分别是AC、BC边上的高∴BD⊥AC，AE⊥BC∴∠BDC＝∠ADF＝90°，∠DBC+∠BFE＝∠DAF+∠AFD＝90°∵∠BFE＝∠AFD∴∠CBD＝∠DAF在△BCD和△AFD中∴△BCD≌△AFD（AAS）∴BD＝AD∴△ABD是等腰三角形．18．(8分)如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；∵BE＝BD＝BC∴△BCD，△BED是等腰三角形；∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；（2）解：∵∠AED＝114°∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．∵BD＝BE∴∠BDE＝∠BED＝66°．∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．解法一：设∠ACB＝x°∴∠ABC＝∠ACB＝x°．∴∠A＝180°﹣2x°．∵BC＝BD∴∠BDC＝∠ACB＝x°．又∵∠BDC为△ABD的外角∴∠BDC＝∠A+∠ABD．∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．∴∠ACB＝76°．（10分）解法二：设∠ACB＝x°∴∠ABC＝∠ACB＝x°．∴∠DBC＝x°﹣48°．∵BC＝BD∴∠BDC＝∠ACB＝x°．又∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°∴x﹣48+x+x＝180，解得：x＝76．∴∠ACB＝76°．19．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵ED⊥BC∴∠EDB＝∠EDC＝90°∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°∴∠E＝∠DFC∵∠DFC＝∠EFA∴∠EFA＝∠E∴AE＝AF∴△AEF为等腰三角形；（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，如图所示：∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12∴FG＝GE＝EF＝6∵F为AC中点∴AF＝FC＝AC＝AB＝在△AFG与△CFD中∴△AFG≌△CFD（AAS）∴DF＝FG＝6∴AH＝2DF＝12∴BH＝＝5∴BC＝2BH＝1020．(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．【答案】见试题解答内容【解答】证明：设AD、EF的交点为K∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED＝∠AFD＝90°在Rt△ADE和Rt△ADF中∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF．∵AD是△ABC的角平分线∴AD是线段EF的垂直平分线．21．(8分)如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．（1）求证：∠B＝∠C；（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH∴AH是BC的垂直平分线．∴AB＝AC．∴∠B＝∠C；（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC∴∠BAH＝∠CAH．∵AH⊥BC，EF⊥BC∴∠AHB＝∠EFB＝90°．∴AH∥EF．∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．∴∠E＝∠AME．∴AM＝AE＝2．∵AB＝AC＝5∴CM＝AC﹣CM＝3．∵AH∥EF∴△CMF∽△CAH．∴＝．∴＝．∴MF＝．22．(8分)已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三