中考数学总复习《等腰三角形》专项测试卷(含答案)

第第页中考数学总复习《等腰三角形》专项测试卷(含答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定性质等腰三角形的两个底角度数相等等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定有两条边相等的三角形的等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高考点2：等边三角形的性质与判定性质三条边相等三个内角相等，且每个内角都等于60°等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角相等的三角形是等边三角形有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h是任意边上的高考点3：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．181.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．50°2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A． B． C． D．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为度．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7 C．12 D．9或122．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30° B．20° C．25° D．15°3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处 B．AB，AC两边高线的交点处 C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处 D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15 B．18 C．20 D．226．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．107．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则BC长为（）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是度．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝°．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CDE的度数．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A． B． C． D．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A． B． C． D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.55.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2 B．1cm2 C．1.2cm2 D．不能确定二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为cm．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6 B．3 C．1.5 D．12．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．参考答案与解析1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定性质等腰三角形的两个底角度数相等等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定有两条边相等的三角形的等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高考点2：等边三角形的性质与判定性质三条边相等三个内角相等，且每个内角都等于60°等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角相等的三角形是等边三角形有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h是任意边上的高考点3：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【解答】解：由题意可得MN垂直平分BC∴DB＝DC∵△ABD的周长是AB+BD+AD∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC∵AB＝7，AC＝12∴AB+AC＝19∴△ABD的周长是19故选：C．1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°【答案】C【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°故选：C．2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由题意得解得∵a2+b2＝c2，且a＝b∴△ABC为等腰直角三角形故选：D．3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CD＝ED，理由见解析．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线∴∠CBD＝∠EBD∵DE∥BC∴∠CBD＝∠EDB∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC∴∠C＝∠ABC∵DE∥BC∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC∴∠ADE＝∠AED∴AD＝AE∴CD＝BE由（1）得，∠EBD＝∠EDB∴BE＝DE∴CD＝ED．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°∵BD是AC边上的高∴BD平分∠ABC∴∠CBD＝∠ABC＝30°∵BD＝ED∴∠DEC＝∠CBD＝30°故选：C1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴∠A＝60°∵∠A+∠3+∠2＝180°∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°∵a∥b∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2∴△BOD是等边三角形∴OD＝OB＝1∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4∴OD2+OC2＝CD2∴∠DOC＝90°∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝故选：C．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1+．【答案】1+．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC∴OC≤OD+DC当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD∵△ABC为等边三角形，D为AB中点∴BD＝1，BC＝2∴CD＝＝∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点∴OD＝AB＝1∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【答案】13．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD∴AC＝AD+CD＝AD+BD∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13故答案为：13．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．【答案】55．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形∵分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．∴AE垂直平分BC∴AE是∠BAC的平分线∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案为：55．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是4．【答案】4．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4∴AD＝AB＝4∵DE是AC的垂直平分线∴DC＝AD＝4故答案为：4．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线∴AE＝EC∴∠EAC＝∠C∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°∴∠EAC＝∠C＝40°故答案为：40°．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【答案】C【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30° B．20° C．25° D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∵AD是等边△ABC的一条中线∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°∴∠ADE＝75°∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°故选：D．3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处 B．AB，AC两边高线的交点处 C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处 D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处【答案】D【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．故选：D．4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°∴△ABC为等边三角形∴BC＝AB＝3．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15 B．18 C．20 D．22【答案】C【解答】解：∵EF∥BC∴∠EDB＝∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBC∴∠EBD＝∠EDB∴ED＝EB同理可证得DF＝FC∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20即△AEF的周长为20故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线∴AD＝BD∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8故选：C．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则BC长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解答】解：如图所示，连接AE∵DE是AB的垂直平分线∴EA＝EB∴∠B＝∠EAB∵∠A＝90°∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°∴∠CAE＝∠C∴EA＝EC∴EC＝EB∴BC＝BE+CE＝2BE＝6故选：B．8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝140°∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F∴EA＝EB，FA＝FC∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC∴∠BAE+∠FAC＝40°∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°故选：B．9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB∴∠PBC＝30°∵PE＝PB∴∠PBC＝∠E＝30°∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°故选：C．二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是18度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线∴AE＝BE∵∠C＝90°，∠A＝36°∴∠EBA＝∠A＝36°∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为．【答案】．【解答】解：∵CD平分∠ACB∴∠BCD＝∠ECD∵BE⊥CD∴∠BDC＝∠EDC＝90°∵CD＝CD∴△BDC≌△EDC（ASA）∴BC＝CE＝4，BD＝DE又∵∠A＝∠ABE∴AE＝BE∵AC＝7，BC＝4∴AE＝AC﹣CE＝3∴BE＝AE＝3∴BD＝BE＝故答案为：．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝30°．【答案】30．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝60°∵AD⊥BC∴∠ADB＝90°∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；故答案为30．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为2．【答案】2．【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D则S△ABC＝S△ABP+S△ACP即AB•CD＝AB•PE+AC•PF∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC∴CD＝PE+PF∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB∴∴∴故答案为：．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．【答案】．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D∴DB＝DA＝5∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4在Rt△ACD中，∵∠C＝90°∴AC＝＝＝3∴S△ABD＝×5×3＝．故答案为：．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形∴AP＝PF＝AF∵PE⊥AC∴AE＝EF∵AP＝PF，AP＝CQ∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中∴△PFD≌△QCD（AAS）∴FD＝CD∵AE＝EF∴EF+FD＝AE+CD∴AE+CD＝DE＝AC∵AC＝4∴DE＝．故答案为：2．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CDE的度数．【答案】30°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°∵D是边AC的中点∴∵DB＝DE∴∠E＝∠DBC∴∠E＝30°∵∠BCD＝60°∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．【答案】（1）见解析；（2）60cm．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中∴△CMP≌△CNP（SSS）∴∠MPB＝∠NPB∵PM＝PN∴△PMN是等腰三角形∴PB⊥MN，BM＝BN∴PC垂直平分MN；（2）解：∵CN＝PN＝60cm∴当伞收紧时，点P与点A重合∴AC＝CN+PN＝120cm当∠CPN＝60°时∵CN＝PN∴△CPN是等边三角形∴PC＝PN＝60cm∴AP＝AC﹣PC＝60cm．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC∴AE＝EC∵AD⊥BC，BD＝DE∴AB＝AE∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为20cm∴AB+BC+AC＝20cm∵AC＝7cm∴AB+BC＝13cm∵AB＝EC，BD＝DE∴AB+BD＝DE+EC＝DC∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴．一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK∴BP＝∴设S△ABC＝9a则S△AML＝a，S△ANK＝4a∴S四边形MNKL＝4a﹣a＝3a∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积故选：A．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形∴∠B＝60°∴∠BNM＝30°∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t）解得：当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形∴∠B＝60°∴∠BMN＝30°∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t）解得：综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形．故选：D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°∴∠BED＝∠EFC在△DBE和△ECF中∴△DBE≌△ECF（AAS）∴DB＝EC＝1∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．故选：C．5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2 B．1cm2 C．1.2cm2 D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，延长AP交BC于E∵BP平分∠ABC∴∠ABP＝∠EBP∵AP⊥BP∴∠APB＝∠EPB＝90°∴△ABP≌△EBP（ASA）∴AP＝PE∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP∴S△PBC＝S△ABC＝×2＝1（cm2）故选：B．二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为12cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形∴阴影部分的周长为3×4＝12cm故答案为12．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为2．【答案】2．【解答】解：过E点作EH⊥BF设DE＝x∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°∵DE∥BC∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°∴△ADE是等边三角形∵BD＝4∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°在Rt△CHE中∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°∴∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x∵EB＝EF∴△EBF是等腰三角形∵EH⊥BF，BF＝8∴BH＝FH＝4∴2+x＝4∴x＝2∴DE＝2．故答案为：2．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有①②④⑤．【答案】①②④⑤．【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB∴∠DCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB＝120°在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意；∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意；在△ACM和△DCN中△ACM≌△DCN（ASA）∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意综上：①②④⑤都符合题意．故答案为：①②④⑤．9．如图，四边形ABCD，AD＝1BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为．【答案】##．【解答】【详解】解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3∵E是AB中点，∴∵∠DEA+∠CEB＝60°∴∠AEM+∠BEN＝120°∴∠MEN＝60°∴△EMN是等边三角形∴∴CD≤DM+MN+CN当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为故答案为：．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点