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文档简介

一元函数微分学应用一、曲线的渐近线二、函数作图的一般步骤函数图形的描绘函数图形的描绘

问题导言：函数图形可以直观地反映出函数的基本性态和变化特征.它在数学研究和求解实际问题中无论是对于定性的分析还是定量的计算都大有益处.问题是如何准确地描绘出函数的图形？初等数学中所使用的描点法虽然可以描绘一些简单的函数图形，但计算量大、精度低.为此给出函数图形描绘的基本作图方法——微分作图法.一、渐近线

定义点M沿曲线y=f(x)无限远离坐标原点时，若点M与某定直线L之间的距离趋于零,则称直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.xyoy=f(x)1.水平渐近线则称直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线.2.铅直渐近线则称直线为曲线y=f(x)的铅直渐近线.若xo例解知y=0为曲线的水平渐近线.由可知x=–1,x=3为所给曲线的铅直渐近线.例所给的函数的定义域为解

定义

若函数满足条件(1)；(2)，则称为曲线的斜渐近线.

当时，曲线的斜渐近线变为水平渐近线.例解故得曲线的渐近线方程为

(1)确定函数的定义域及函数所具有的某些特性(连续性、奇偶性、周期性等)；

(2)求出函数的和；及其定义域内的全部零点与不可导点,用这些点分割定义域为部分区间；二、函数图形的描绘（微分法作图步骤）(3)确定部分区间内和的符号,并由此确定函数图形的升降、凹凸、极值点和拐点；(4)

确定函数图形渐近线及变化趋势；(5)

补充适当的点,然后结合图形上述特征描点作图.例函数的定义域为，解+0––0+极小3+(2,3)+

拐点

极大y0––2(1,2)1x函数的极大值点为(1,2)；极小值点为(3,-2)曲线的拐点为（2，0）.曲线无渐近线.补充点函数图形如下：oxy函数为奇函数例函数定义域为.解知y=0为水平渐近线.由函数极大值为点(1,1/2)，曲线拐点为––0+凹减+拐点

凸减极大凸增y0–––1(0,1)x由函数为奇函数知点(0,0)也为曲线拐点.oxy可知y=0为该曲线的水平渐近线.例且为偶函数.

函数定义域为.解函数极大值点（1，1）拐点为拐点+–––0

凹减

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