24.4弧长和扇形面积学生版

★★★☆☆☆24.4弧长和扇形面积★★★☆☆☆【过关笔记】三、弧长公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR360，即πR180。于是n°的圆心角所对的弧长为l=注意：在弧长公式中，n和180都不带单位“度”。四、扇形的面积公式1.定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。如图，阴影部分扇形记做扇形OAB，白色部分扇形记做扇形OACB。2.扇形面积公式（1）在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是（2）用弧长表示扇形面积为，其中l为扇形的弧长，R为半径。五、圆锥1.概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。2.母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。如图，PA和PB。3.圆锥侧面展开图：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，可以得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形；所以圆锥=侧面展开扇形的弧长4.r2+h2=；5.圆锥的侧面积和全面积：【成长例题】例题11一个扇形的半径长为5，且圆心角为60°，则此扇形的弧长为例题12一个扇形的弧长是cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是度例题13已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为例题14（19•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为．14图22图23图例题21有一个半径为3的圆中画一个扇形，圆心角为120°，该扇形面积为 例题22如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是．例题23（19•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．31图32图例题31（2019·一中·月考）如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．例题32如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为．33图34图例题33（2020·十七中·期中）如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为．例题34（2020·七中·期中）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A． B． C．2 D．2例题41（2019·育才·第三次月考）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为．例题42（2020·一中·月考）圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是度．例题43在学校组织的实践活动中，小明同学制作了一个圆锥模型，它的底面半径为5，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的母线长为例题44（19•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为．【过关练习】练习11一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为cm练习12已知圆锥的底面半径为20，侧面积为600π，则这个圆锥的母线长为．练习13（2019·一中·月考）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为8cm的半圆，则该圆锥的底面半径为cm．练习14（2020·十七中·期中）若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．120° C．150° D．180°练习15（2019·育才·期中）如图，用一个半径为20cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r为cm．15图16图练习16如图1，OC是⊙O的半径，弦AB垂直平分OC，垂足为点D，AB＝6cm，连接OA，OB，将图中阴影部分的扇形OAB剪下围成一个圆锥的侧面（如图2），则圆锥的底面圆半径是．练习17把一个半径为3cm的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥，那么这个圆锥的高为．练习18（2020·七中·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝4，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为．练习21如图，点A、B在⊙O上，且AO＝2，∠AOB＝120°，则阴影部分面积为练习22（2020·十七中·期中）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8练习23（2020·一中·月考）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，若AB＝2cm，⊙O的半径为2cm，则阴影部分的面积是cm2．（结果保留根号和π）练习24（2019·育才·第三次月考）14．（3分）（2018•平邑县一模）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为．练习31（2020·七中·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．练习32（2019·育才·第三次月考）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．24章复习一．选择题（共10小题）作业1如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．6 B．9﹣ C． D．25﹣31图2图3图作业2如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106° B．126° C．74° D．53°作业3如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140° B．130° C．120° D．110°作业4有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个作业5如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P的度数为（）5图6图A．120° B．90° C．60° D．75°作业6△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点作业7已知正六边形的边长为10cm，则它的边心距为（）A．cm B．5cm C．5cm D．10cm作业8正六边形的半径为R，则它的边心距为（）A．R B．R C．R D．R作业9现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）A．9° B．18° C．63° D．72°作业10如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣8 B．8π﹣16 C．16π﹣16 D．16π﹣32二．填空题（共10小题）作业11已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为cm．作业12如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠BAO的度数是度．12图13图作业13如图，AB是半圆O的直径，C、D是上两点，∠ADC＝120°，则∠BAC的度数是度．作业14如图⊙O为正△ABC的外接圆，OD∥AB（其中D为外接圆上的点），则∠BCD＝度．14图17图作业15△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC＝2，则∠A的度数为．作业16已知圆O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距离为3cm，则直线l与圆O的位置关系是．作业17已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．作业18正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．作业19已知：扇形OAB的半径为12厘米，∠AOB＝150°，若由此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是厘米．作业20如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．三．解答题（共5小题）作业21已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：AE＝BF．作业22如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．作业23如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．作业24如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC＝∠CAD．求证：直线MN是⊙O的切线；作业25已知，如图，P，C是以AB为直径的半圆O上的两点，AB＝10，的长为，连接PB交AC于M，求证：MC＝BC．25章概率25作业作业1（2021鞍山）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是．作业2（2021·锦州）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为．作业3（2021·盘锦）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是．作业4（2021·铁岭）在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为．作业5（2021·丹东）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．作业6（2021·锦州）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．作业7（2021·营口）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．（1）若小如随机取走一个锦囊，则取