2021-2022高中数学人教版必修2作业3.2.3直线的一般式方程（系列四）Word版含解析

3.2.3直线的一般式方程学习目标1．掌握直线方程的一般式．2．掌握一般式与其他形式的互化．3．了解二元一次方程与直线的对应关系．自学导引1．一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，其斜率是__________，在y轴上的截距是__________；当B＝0时，这条直线垂直于______轴，不存在斜率．2．二元一次方程与直线的关系二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的________，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条________．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．对点讲练知识点一一般式与其他形式的互化例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.点评任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了．由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．变式训练1求直线3x＋2y＋6＝0的斜截式和截距式方程．知识点二平行与垂直的应用例2求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．点评一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，这是经常采用的解题技巧．称Ax＋By＋m＝0是与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程．参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax＋By＋C＝0平行的平行线系．当m＝C时，Ax＋By＋m＝0与Ax＋By＋C＝0重合．变式训练2求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．知识点三直线方程的综合应用例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．点评针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．变式训练3设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝0，若l经过第一象限，求实数a的取值范围．直线方程的五种形式的比较形式条件方程应用范围特殊形式点斜式一般情况过点(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不含与x轴垂直的直线斜截式在y轴上的截距为b，斜率为ky＝kx＋b不含与x轴垂直的直线两点式一般情况过两点(x1，y1)和(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2，即不含与x轴或y轴垂直的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a与b(a、b≠0)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含与x轴或y轴垂直的直线，不含过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)任何情况特殊的直线垂直于x轴且过点(a,0)x＝a，y轴的方程x＝0k不存在垂直于y轴且过点(0，b)y＝b，x轴的方程y＝0k＝0课时作业一、选择题1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5mA．－2 B．2C．－3 D．32．直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)或0C．0 D．－2或03．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝04．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()5．直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足()A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝0二、填空题6．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m7．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，直线经过的定点为________．8．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．三、解答题9．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C满足什么条件时，直线有如下性质：(1)过坐标原点；(2)与坐标轴都相交；(3)与x轴垂直；(4)与y轴垂直；(5)与x轴重合；(6)与y轴重合．10．当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？3．2.3直线的一般式方程自学导引1．(1)Ax＋By＋C＝0(2)－eq\f(A,B)－eq\f(C,B)x2．坐标直线对点讲练例1解(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝eq\r(3)(x－5)，化为一般式为eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2，化为一般式为4x－y－2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.变式训练1解斜截式方程y＝－eq\f(3,2)x－3.截距式方程eq\f(x,－2)＋eq\f(y,－3)＝1.例2解方法一设直线l的斜率为k，∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－eq\f(3,4).又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－11＝0.方法二设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.变式训练2解方法一设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝eq\f(1,2).∴y－1＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.方法二设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.例3(1)证明将直线l的方程整理为y－eq\f(3,5)＝a(x－eq\f(1,5))，∴l的斜率为a，且过定点A(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))．而点A(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))在第一象限，故直线l恒过第一象限．(2)解直线OA的斜率为k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.∵l不经过第二象限，∴a≥3.变式训练3解将一般式方程化为点斜式方程：y－3＝－(a＋1)(x＋1)，∴l的斜率为－(a＋1)，且过定点A(－1,3)．∵直线OA斜率为k＝－3，∴要使直线l经过第一象限，只须使－(a＋1)>－3，解得a<2.课时作业1．D2.A3.A4.C5.D6．m∈R且m≠17.(3,1)8.x－