电气测量技术及信号处理：第五章 测量信号的数字化处理

第五章

测量信号的数字化处理第一节

概述

第二节

模／数转换原理与采样定理第三节

时域离散信号与时域离散系统第四节

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

第五节

序列及其Z变换第六节

数字滤波器

第一节概述一、信号的分类连续时间信号：在连续时间范围内（-∞<t<∞）有定义的信号（定义域是连续的，值域可以不连续）。离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号。数字信号：信号的自变量和函数值均取离散值。

3时间幅度连续时间信号连续连续离散时间信号离散连续数字信号离散量化（离散）4信号处理的方法：数字信号处理：信号用数字序列来表示，利用数学公式和数学运算来对数字序列进行处理，可在专用的数字信号处理仪上进行，也可在通用计算机上或DSP芯片上通过编程实现，具有精度高、速度快、工作稳定等优点。DSP系统实现方法优点缺点应用软件实现法灵活方便速度慢教学科研硬件实现法速度快不灵活DSP芯片法灵活方便速度快应用广泛6信号数字化处理的目的1、模拟转换成数字，复杂的信号处理、分析方法易于实现2、易于计算机、数据处理芯片的处理3、易于实现集成化、智能化4、易于提高信号处理的速度、精度、稳定性、抗干扰性信号数字化分析的步骤数字信号处理器或计算机信号预处理A/D转换输出显示D/A转换控制装置信号预处理A/D转换第二节模数转换原理与采样定理一、模数转换原理二、A/D转换器的主要技术指标1、分辩率(Resolution)

指数字量变化一个最小量时模拟信号的变化量，定义为满刻度与2n的比值。通常以数字信号的位数来表示。2、转换速率(ConversionRate)是指完成一次从模拟转换到数字的A/D转换所需的时间的倒数。

二、A/D转换器的主要技术指标3、采样时间：是指两次转换的间隔。为了保证转换的正确完成，采样速率必须小于或等于转换速率。因此有人习惯上将转换速率在数值上等同于采样速率也是可以接受的。三、采样定理周期延拓1、时域采样定理频谱混叠采样定理

为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。fs

＞2fmax

2fmax称为奈奎斯特（Nyquist）频率

需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。2、频域采样定理相乘×卷积x(t)t……t-Ts0Tsf2fs-fs0fs2fst……-Ts0Ts……f-2fs

-fs0fs2fs(1)f×一个持续时间有限信号x(t)

的频谱X(f)

，可用均匀抽样间隔fs1/(2tm)

的抽样值X(nfs)唯一确定。满足频域采样定理，可得到x(t)在时域中重复形成周期信号xs(t)

，不会产生混叠。若从xs(t)

恢复x(t),可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。

说明：

1)x(t)为持续时间有限信号，即:|t|>tm时,x(t)=02)抽样间隔:3、频谱混叠现象的预防

(1)提高采样频率(2)抗混叠滤波4、采样长度与采样频率①采样长度T是指能够分析到信号中的最低频率所需要的时间纪录长度;②最高分析频率fm

：指需要分析的最高频率，也是经过抗混滤波后的信号最高频率;

③据采样定理，工程上采样频率fs=2.56·fm④时域的采样点数为N

，频域的谱线数为M

，频率分辨率（即频率间隔）：Δf=1/

T=1/(NTs)=fs/

NΔf=fm/

M⑤fm/

M=fs/

N=>N=M·

(fs/fm)=2.56M

N=2.56fm/Δf例如：机器转速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率Δf=1Hz,则采样频率和采样点数设置为：

最高分析频率fm=8·50Hz=400Hz;

采样频率fs=2.56·fm=2.56·400Hz=1024Hz;

采样点数N=2.56·（fm/Δf）=2.56·（400Hz/1Hz）=1024=210

谱线数M=N/2.56=1024/2.56=400条

按照FFT变换，实际上得到的也是1024点的谱线，但是数学计算上存在负频率，是对称的，因此，实际上关注的是正频率部分对应的谱线，也就是说正频率有512线，为什么通常又说这种情况下是400线呢，就是因为通常情况下由于频率混叠和时域截断的影响，通常认为401线到512线的频谱精度不高而不予考虑。

采样长度T的选择:

1、保证能反映信号的全貌。对瞬态信号应包括整个瞬态过程；对周期信号，理论上采集一个周期信号就可以了

2、需考虑频率分辩率，采样长度T在最大分析频率fm确定的情况下与频率分辩率△f是反比关系，也就是T越长△f越小即频率分辩率越高。

信号分析中常用的采样点数是512、1024、2048、4096等。等效于常说的200、400、800、1600线等频谱线数。

△f＝fm/M,可见谱线数M越大频率分辩率△f越小即频率分辩率越高。信号分析中常用的采样点数是512、1024、2048、4096等。等效于常说的200、400、800、1600线等频谱线数。△f＝fm/M,可见谱线数M越大频率分辩率△f越小即频率分辩率越高。第三节时域离散信号和时域离散系统28

常用的典型序列291、单位采样序列

2、单位阶跃序列

3、矩形序列

4、实指数序列

5、正弦序列1、单位采样序列302、单位阶跃序列312、单位阶跃序列32有n或k均表示序列，其余字母一般表示一个数信号相加（乘）是指对应横坐标相加（乘）数相加信号相加3、矩形序列334、实指数序列34

5、正弦序列35模拟正弦信号：数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率重要！！序列的尺度变换如果序列为x(n),则x(m*n)是x(n)序列每隔m点取一个点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。当m=2时，其波形如图：36序列的单位脉冲序列表示

37时域离散系统线性系统：系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统。例：下面两个系统是不是线性时不变系统？38线性时不变系统及其输入与输出之间的关系卷积：39卷积计算图解法40卷积计算图解法x(m)1111h(m)1111h(-m)1111y(0)=1h(1-m)1111y(1)=2h(2-m)1111y(2)=3h(3-m)1111y(3)=4h(4-m)1111y(4)=3h(5-m)1111y(5)=2h(6-m)1111y(6)=14142解析法求卷积例：已知x(n)和h(n)分别为：和试求x(n)和h(n)的线性卷积。解

：

参看下图，分段考虑如下：(1)对于n<0：(2)对于0≤n≤4：(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6时：(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10时：(5)对于(n-6)>4，即n>10时：4344综合以上结果，y(n)可归纳如下：时域离散信号和系统的频域分析模拟信号时域离散信号时域微分方程差分方程频域付氏变换

S变换付氏变换

Z变换45第四节离散傅里叶变换和

快速傅里叶变换46时域离散信号的付氏变换序列付氏变换的定义:付氏逆变换的定义：47时域离散信号的付氏变换的性质周期性：以2π为周期在ω=0,±2π…点上表示x[n]信号的直流分量离开这些点愈远，其频率愈高，最高频率在ω=π处。48时域离散信号的付氏变换的性质线性：49时域离散信号的付氏变换的性质时移与频移性质：50时域离散信号的付氏变换的性质频域卷积定理：若51

时域离散信号的付氏变换的性质Parseval定理：帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。

52

离散傅里叶变换（DFT）为什么要用DFT?由于数字信号处理器只能处理离散信号，所以我们需要继续将离散时间序列进行频域离散化（即就是要找到依赖于离散时间变量到依赖于离散频率变量之间的一种映射关系）—这就是DFT的作用53

离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform)之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行。54

离散傅里叶变换（DFT）傅立叶变换的几种形式55

56离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换（DFT）57离散傅里叶变换（DFT）58离散傅里叶变换（DFT）59离散傅里叶变换（DFT）四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)60离散傅里叶变换（DFT）小结：时域离散化，频域周期化时域周期化，频域离散化数字信号处理器只能处理离散的信号－DFT正是离散信号61离散傅里叶变换（DFT）DFT的定义：设x[n]是一个长度为M的有限长序列，则定义x[n]的N点离散傅里叶变换为（通常N>=M）62离散傅里叶变换（DFT）注意：63离散傅里叶变换（DFT）64离散傅里叶变换（DFT）DFT与傅里叶变换和Z变换的关系65离散傅里叶变换（DFT）DFT与傅里叶变换和Z变换的关系66离散傅里叶变换（DFT）DFT与傅里叶变换和Z变换的关系67离散傅里叶变换（DFT）DFT的隐含周期性：x[n]与X(k)的周期均为N68离散傅里叶变换（DFT）任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x[n]的周期延拓。69离散傅里叶变换（DFT）是x[n]的周期延拓x[n]是的主值序列70离散傅里叶变换（DFT）有限长序列x[n]的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x[n]的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列。71离散傅里叶变换（DFT）小结和连续时间周期信号类似，周期序列可用离散Fourier级数来表示；对周期序列，只要知道它的一个周期的内容就可以完全确定这个序列，也就是说只有一个周期承载信息，其它周期的值都是冗余的；点数为N的有限长序列和周期为N的周期序列，都是由N个值来定义。与有限长序列的DFT变换对相比，不难发现，周期序列和有限长序列本质上是一样的；有限长序列及其DFT可以分别看作周期序列及其DFS的主值序列，因此，一定要注意有限长序列的隐含周期性。（这个隐含周期性主要对有限长序列的移位运算产生较大影响，进而使得对有限长序列只能计算圆周卷积）72快速傅里叶变换FFT:FastFourierTransform1965年，Cooley,Tukey《机器计算傅里叶级数的一种算法》73直接计算DFT的问题及改进途径N点有限长序列x[n]尽管物理意义不同，但这两式都是两个有限长序列的计算74直接计算DFT的问题及改进途径运算量复数乘法复数加法一个X(k)NN-1N个X(k)N*NN(N-1)75实数乘法实数加法一次复乘42一次复加2一个X(k)4N2N+2(N-1)=2(2N-1)N个X(k)4N*N2N(2N-1)直接计算DFT的问题及改进途径的特性76直接计算DFT的问题及改进途径FFT的基本思想：利用DFT的系数的特性，合并DFT运算中的某些项，把长序列DFT→短序列DFT，从而减少其运算量。FFT算法分类：时间抽选法DIT:Decimation-In-Time频率抽选法DIF:Decimation-In-Frequency77按时间抽选的基-2FFT算法算法原理：设序列点数N=2L，L为整数。若不满足，则补零N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。将序列x[n]按n的奇偶分成两组：x[2r]=x1[r]x[2r+1]=x2[r] r=0,1,….,N/2-178按时间抽选的基-2FFT算法DFT:79按时间抽选的基-2FFT算法再利用周期性求X(k)的后半部分80按时间抽选的基-2FFT算法时间抽取法蝶形运算流图符号81按时间抽选的基-2FFT算法82直接计算DFT的问题及改进途径运算量复数乘法复数加法一个X(k)NN-1N个X(k)N*NN(N-1)83实数乘法实数加法一次复乘42一次复加2一个X(k)4N2N+2(N-1)=2(2N-1)N个X(k)4N*N2N(2N-1)按时间抽选的基-2FFT算法分解后的运算量：运算量减少近一半

复数乘法复数加法一个N/2点DFTN*N/4N/2(N/2-1)两个N/2点DFTN*N/2N(N/2-1)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计N*N/2+N/2≈N*N/2N(N/2-1)+N≈N*N/284按时间抽选的基-2FFT算法N/2仍为偶数，进一步分解：N/2N/4同理：x2[n]也能分解85按时间抽选的基-2FFT算法86按时间抽选的基-2FFT算法逐级分解，直到2点DFT当N=8时，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,187按时间抽选的基-2FFT算法88按时间抽选的基-2FFT算法DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量比较：当N=2L时，共有L级蝶形，每级N/2个蝶形，每个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。复数乘法：复数加法：比较DFT:89按时间抽选的基-2FFT算法——算法特点原位计算：计算完一个蝶形后，所得输出数据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。这种利用同一个存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方法称为原位计算。采用原位计算，存储数据仅需N个存储单元，下一级的运算仍采用这种原位方式，只是进入蝶形结的组合关系有所不同。节省存储单元，降低设备成本。90按时间抽选的基-2FFT算法—算法特点旋转因子的变化规律：N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WNp，这被称为旋转因子，p称为旋转因子的指数。第L级共有2L-1个不同的旋转因子。对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为：91按时间抽选的基-2FFT算法92按时间抽选的基-2FFT算法—算法特点倒位序:n0n1n2倒位序自然序00000000000110041001100102201011106301110000114100110155101100113611011117711193按时间抽选的基-2FFT算法——算法特点蝶形运算:对N=2L点FFT，输入倒位序，输出自然序第m级运算每个蝶形的两节点距离为2m-1第m级运算：94按时间抽选的基-2FFT算法—算法特点的确定：蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制，左移L-m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。95按时间抽选的基-2FFT算法——算法特点存储单元：输入序列x(n)：N个存储单元系数：N/2个存储单元96按频率抽选的基-2FFT算法算法原理：设序列点数N=2L，L为整数。将X(k)按k的奇偶分组前，先将序列x[n]按n的顺序分成前后两半：97按频率抽选的基-2FFT算法98按频率抽选的基-2FFT算法按k的奇偶将X(k)分成两部分：99按频率抽选的基-2FFT算法令：则X(2r)和X(2r+1)分别是x1(n)和x2(n)的N/2点DFT，记为X1(k)和X2(k)100按频率抽选的基-2FFT算法101按频率抽选的基-2FFT算法102按频率抽选的基-2FFT算法逐级分解，直到2点DFT103按频率抽选的基-2FFT算法—算法特点原位计算：L级蝶形运算，每级N/2个蝶形，每个蝶形结构：m表示第m级迭代，k,j表示数据所在的行数104按频率抽选的基-2FFT算法——算法特点蝶形运算：对N=2L点FFT,输入自然序，输出倒位序，两节点距离：2L-m=N/2m105基-2FFT算法DIT和DIF的异同：分解方式不同

DIT：x(n)奇偶分组

DIF：x(n)前后分组后，X(k)奇偶分组106基-2FFT算法DIT和DIF的异同：运算量相同，结果等效都可进行原位计算，设备量相当；都需要变址运算（DIT对输入，DIF对输出进行）；算法可以互相置换；输入与输出互为倒序；107基-2FFT算法DIT和DIF的异同：DIT：先乘后加DIF：先加后乘108基-2FFT算法IDFT的高效算法：旋转因子的共轭109基-2FFT算法IDFT的高效算法：先将X(k)取复共轭，然后直接调用FFT子程序，或者送入FFT专用硬件设备进行DFT运算，最后取复共轭并乘以1/N得到序列x(n)110第五节序列的Z变换111序列的Z变换序列双边Z变换的定义:序列单边Z变换的定义：112序列的Z变换收敛域：113序列的Z变换收敛域：P(z)的根是X(z)的零点，Q(z)的根是X(z)的极点，在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。114序列的Z变换Z变换与付氏变换的关系：115序列的Z变换零极点图：116序列的Z变换求x[n]=u[n]的Z变换并画出零极点图117序列对收敛域的影响有限长序列：一般情况下，收敛域为0<|z|<∞，其中0和∞需要特殊考虑。求x[n]=RN[n]的Z变换。118序列对收敛域的影响右序列：一般情况下，收敛域为Rx-<|z|<∞，其中∞需要特殊考虑。求x[n]=anu[n]的Z变换。119序列对收敛域的影响左序列：一般情况下，收敛域为0<|z|<Rx+

，其中0需要特殊考虑。求x[n]=-anu[-n-1]的Z变换。120序列对收敛域的影响双边序列：一般情况下，收敛域为Rx-<|z|<Rx+

，如无交集则无收敛域，即Z变换不存在。求x[n]=a|n|的Z变换。121序列对收敛域的影响结论：收敛域中无极点，收敛域一般以极点为边界；有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面，特殊点z=0,∞另外考虑；右边序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外，特殊点z=0,∞另外考虑；左边序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内，特殊点z=0,∞另外考虑；双边序列Z变换的收敛域是环状域，特殊点z=0,∞另外考虑；特殊点的考虑：序列x(n)的n值全部取正整数，收敛域包含z=∞点；序列x(n)的n值全部取负整数，收敛域包含z=0点；而n的取值既有正整数又有负整数时，收敛域不包含z=0,∞两点；122逆Z变换留数法长除法部分分式展开法123逆Z变换长除法：不易得到解析解124逆Z变换部分分式展开法：求思考收敛域不同时再求解125第六节数字滤波器126数字滤波器的基本概念指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。127数字滤波器的基本概念数字滤波器的概念与模拟的相同，只是信号的形式和实现方式不同。数字滤波器的优点：精度高稳定，适于批量生产体积小重量轻灵活不要求阻抗匹配可实现特殊的滤波功能128数字滤波器的基本概念数字滤波器的分类：经典滤波器输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频率，通过一个合适的选频滤波器即可达到滤波的目的。现代滤波器信号与干扰的频带相互重叠，则需要按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳的提取信号。本课程只介绍经典滤波器129数字滤波器的基本概念数字滤波器的分类（从滤波特性上）：130数字滤波器的基本概念数字滤波器的分类（从网络结构上）：IIR滤波器FIR滤波器131数字滤波器的基本概念数字滤波器的技术指标：幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况。相频特性：反映各个频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求；但如对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标。理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近。132数字滤波器的基本概念ωp:通带截止频率ωs:阻带截止频率δp:通带波纹（通带容限）δs:阻带波纹（阻带容限）αp:通带容许的最大衰减αs:阻带容许的最小衰减133数字滤波器的基本概念通带：|ω|≤ωp，要求1-δp≤|H(ejω)|≤1阻带：ωs≤|ω|≤π,要求|H(ejω)|≤δs过渡带：ωp≤|ω|≤ωs134数字滤波器的基本概念滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应135数字滤波器的基本概念滤波器频率响应的特征参量相位响应136数字滤波器结构的表示方法数字滤波器的系统函数：常系数线性差分方程：137数字滤波器结构的表示方法实现滤波器需要考虑的几个问题：软件或硬件数字系统实现时的有限字长效应采用合适的结构，使滤波器在有限字长的情况下能提供较好的性能同一个系统函数可以有多个网络结构与其对应。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等。必须研究实现信号处理的算法好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现138数字滤波器结构的表示方法基本运算单元：单位延时常数乘法器加法器139数字滤波器结构的表示方法例：二阶数字滤波器 y[n]=a1y[n-1]+a2y[n-2]+b0x[n]的方框图结构和信号流图。140数字滤波器结构的表示方法信号流图是由连接节点的一些有方向性的支路构成。和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。141数字滤波器结构的表示方法 FIR：有限长脉冲响应网络网络结构 IIR：无限长脉冲响应网络FIR（FiniteImpulseResponse）–不存在输出对输入的反馈支路；差分方程：–单位脉冲响应h(n)为有限长的；IIR（InfiniteImpulseResponse）–存在输出对输入的反馈支路，即信号流图中存在环路；–单位脉冲响应h(n)是无限长的142IIR基本网络结构无限长脉冲响应滤波器的基本特点：系统函数：差分方程：系统的单位抽样响应h(n)无限长；系统函数H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有极点存在；存在输出到输入的反馈，递归型结构；143IIR基本网络结构直接型：（二阶）144IIR基本网络结构直接型：（N阶）145FIR基本网络结构有限长脉冲响应滤波器的基本特点：系统函数：差分方程：系统的单位抽样响应h(n)有限个n值处不为零；系统函数H(z)在|z|>0处收敛，在|z|>0处只有零点；即在有限z平面只有零点，而全部极点都在z=0处（因果系统）；（WHY?）不存在输出到输入的反馈，结构上主要是非递归型结构；146FIR基本网络结构直接型：147无限脉冲响应数字滤波器的设计数字滤波器的基本概念模拟滤波器的设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器148无限脉冲响应数字滤波器的设计基本要求理解数字滤波器的基本概念掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程149模拟滤波器的设计数字滤波器的设计过程按照任务的要求，确定滤波器的性能要求用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近此性能指标利用有限精度算法来实现此系统函数，包括选择运算结构，选择合适的字长及有效数字的处理方法实际的技术实现：硬件法、软件法、DSP芯片法150模拟滤波器的设计滤波器类型的选择FIR滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的在多数情况下，FIR滤波器的阶数显著大于具有等效幅度响应的IIR滤波器阶数。IIR滤波器通常计算更简便在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在这些情况下，通常会因计算简便而选择IIR滤波器。151模拟滤波器的设计数字滤波器设计方法概述IIR滤波器：用一个因果稳定的离散LTI系统的系统函数取逼近给定的性能要求。即求滤波器的各个系数ak、bk。152模拟滤波器的设计数字滤波器设计方法概述FIR滤波器：FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还需要加上线性相位的条件限制。一个N+1阶的FIR滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频率响应的N+1个采样点来实现。常用的方法：窗函数法频率采样法切比雪夫等波纹逼近法153模拟滤波器的设计将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器通常总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器典型的模拟滤波器：巴特沃斯滤波器（Butterworth）切比雪夫滤波器（Chebyshev）椭圆滤波器（Ellipse）贝塞尔滤波器（Bessel）154模拟滤波器的设计模拟低通的设计指标及逼近方法Ωp:通带截止频率Ωs:阻带截止频率αp:通带容许的最大衰减αs:阻带容许的最小衰减155模拟滤波器的设计设计思路：Ωp、Ωs、αp、αs|H(jΩ)|2H(s)156模拟滤波器的设计由幅度平方函数|H(jΩ)|2确定模拟滤波器的系统函数H(s)由于任何可实现的滤波器都是稳定的系统函数H(s)的极点一定落在s的左半平面：即左半平面的极点一定属于H(s)，右半平面的极点必属于H(-s)。157模拟滤波器的设计由幅度平方函数|H(jΩ)|2确定模拟滤波器的系统函数H(s)已知幅度平方函数：求系统函数H(s)158模拟滤波器的设计Butterworth低通滤波器的设计幅度平方函数：N：滤波器的阶数Ωc：通带截止频率159模拟滤波器的设计Ω=0时，无衰减Ω=Ωc时，|H(jΩ)|2=1/2，有通带最大衰减，3db。即不管N为多少，所有的特性曲线都通过-3db点，3db不变性。在Ω<Ωc的通带内|H(jΩ)|2有最大平坦的幅度特性：随着Ω由0变到Ωc，|H(jΩ)|2单调减小，N越大，减小得越慢，通带内特性越平坦。在Ω>Ωc的过渡带及阻带内，|H(jΩ)|2随着Ω迅速单调减小，N越大，衰减速度越大。当Ω=Ωs阻带截止频率时，衰减为阻带最小衰减。160模拟滤波器的设计Butterworth滤波器零极点分布极点：161模拟滤波器的设计极点在S平面是象限对称的，分布在半径为Ωc的圆（Butterworth圆）上，共2N个极点极点间的角度间隔为π/Nrad极点绝不会落在虚轴上，因而滤波器才有可能是稳定的N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上没有极点。162模拟滤波器的设计导出三阶Butterworth低通滤波器的系统函数163模拟滤波器的设计归一化的Butterworth滤波器原型极点：归一化极点：164模拟滤波器的设计滤波器阶数N的确定：阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，由技术指标Ωp、Ωs、αp、αs确定。165模拟滤波器的设计设计Butterworth低通滤波器的步骤：由滤波器的设计指标确定滤波器的阶数N求归一化系统函数H(p)去归一化，得到滤波器传输函数p=s/Ωc166模拟滤波器的设计已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2db，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30db，设计Butterworth低通滤波器。167模拟滤波器的设计已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2db，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30db，设计Butterworth低通滤波器。wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;[Nwc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[BA]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel('频率(kHz)');ylabel('幅度(dB）');axis([0,14,-40,5]);168模拟滤波器的设计损耗函数（P154）169模拟滤波器的设计Chebyshev滤波器的设计方法ChebyshevI型：通带