甘肃省庆阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

甘肃省庆阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是（）

2.下列属于随机事件的是（）

A.从装满红球的口袋随意摸一个球是红球B.从一副扑克牌中任抽2张都是红

心5

C.抛一枚硬币，正好反面朝上D.抛一枚骰子两次，向上一面出现的点

数之和为13

3.下列说法正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等

C.在同圆中，相等的弦所对的弧相等D.相等的弦所对的弧相等

4.将方程V-6x+l=0化为（x+“）2=b的形式，贝Ua+b的值为（）

A.-1B.-5C.5D.11

5.在反比例函数y=的图象上有两点A（x，x）,5（程为），当为＜。＜%2时,

X

有必＜%，则上的取值范围是（）

A.k<0B.k>0C.k<2024D.k>2024

6.关于函数y=-3（x+l）2-2,下列描述错误的是（）

A.开口向下B.对称轴是直线x=-l

C.函数最大值是-2D.当x＞-l时，y随x的增大而增大

7.如图，ASC内接于。，CD是O的直径，ZACD=4O°,贝（）

A

8.已知圆锥的母线长为2,底面半径为1,则该圆锥的侧面展开图的面积为（）

A.一兀B.兀C.2〃D.4%

2

9.等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于尤的方程d-4x+左=0的两个根，则%

的值为（）

A.3B.4C.3或4D.7

10.如图，直线/：y=-x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线/的直

线4从原点o出发，沿*轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴

分别相交于C、。两点，运动时间为f秒（0W”4）.以8为斜边作等腰直角CDE（E、

。两点分别在8两侧），若,.CDE和的重合部分的面积为S,贝US与r之间的函数

试卷第2页，共6页

二、填空题

11.已知。是方程/_2》+1=0的根，则代数式2/-4a+3的值为.

12.将抛物线》=/先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物

线的解析式是.

13.一个不透明的袋子中装有10个小球，其中6个红球、4个绿球，这些小球除颜色

外无其它差别.从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为一.

k

14.如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函数>小20）图象

上的一点，过点A分别作轴于点AN_Ly轴于点N,若四边形AMON的面

积为4,则左的值为.

15.如图，PA,尸8切O于点A,B,点C是：。上一点，且NP=36。，则

ZACB=.

16.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDE尸的中心与原点。重合，

ABx轴，交,轴于点P.将△（?/出绕点0顺时针旋转，每次旋转90。，则第2023次

三、解答题

17.解方程：X2-1=3（X-1）

18.如图，将，ABC绕点4按逆时针方向旋转。得到八钻'<7,且点8'刚好落在BC边

上，AB'=CB',若NC=20。，求ABC的旋转角a.

19.已知关于x的一元二次方程（2左+l）x+左2+1=。有两个不相等的实数根，求上的

取值范围.

20.已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点4。,-2）和B（0,-5）.

⑴求该二次函数的表达式；

（2）求该抛物线顶点坐标.

21.某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》《红岩》《长征》

三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同，请用

列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率.

22.如图，在ABC中，AB=AC,。是2C的中点，以BD为直径作：O,交边48于

点、P,连接A。，PC.

⑴求证；AD是：。的切线；

（2）若PC是。的切线，BC=4,求PC的长.

23.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线

Q

是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是£米，当铅球运行

的水平距离为3米时，达到最大高度二的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米？

2

B

24.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元,

若每次下降的百分率相同.

试卷第4页，共6页

(1)求每次下降的百分率.

(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况

下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该

商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

25.如图，一次函数%=-尤+加图象与反比例函数为=：图象相交于点A和点3(3,-1).

(1)求m的值和反比例函数的解析式;

(2)当时，求x的取值范围.

26.如图，CD为。O的直径，CDXAB,垂足为点F,AOXBC,垂足为点E,AO=1.

D

(1)求NC的大小;

(2)求阴影部分的面积.

27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+c(qwo)经过B(3,0),

C（0,3）.

(1)请写出抛物线的解析式.

⑵若点尸为第一象限内抛物线上的一动点，点尸的横坐标为乙请求出使点P到直线CB

距离最大的r的值.

(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，请写出使得以M,N,C,8为顶点的四

边形是平行四边形的点M的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【详解】解：A、即不是中心对称图形也不是轴对称图形，不合题意；

C、D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查中心对称图形的识别，绕一个点旋转180。后，能够与原图形完全重合的

图形即为中心对称图形，理解该基本定义是解题关键.

2.C

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

【详解】解：A、从装满红球的口袋中随意摸一个球是红球，是必然事件；

B、从一副扑克牌中任抽2张都是红心5,是不可能事件；

C、抛一枚硬币，正好反面朝上，是随机事件；

D、抛一枚骰子两次，向上一面出现的点数之和为13,是不可能事件；

故选：C.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，

一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事

件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3.B

【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等；相等的圆心角所对

的弧相等，所对的弦也相等，所对的圆心角也相等，依此判断即可.

【详解】A、错误.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意.

B、正确.

C、错误.弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意.

。、错误.相等的弦所对的弧不一定相等.

故选：B.

【点睛】此题考查圆心角、弧、弦定理.弧、弦、圆心角三者中有一组量相等即可证得其它

两组量也相等，但是前提必须是同圆或等圆中，这是此题易错之处.

4.C

【分析】本题考查解一元二次方程之配方法，利用完全平方公式整理后得（X-3>=8,即可

答案第1页，共16页

求出a与b的值.

【详解】解：方程f_6x+l=0,

变形得：x2—6x=—1>

配方得：X2-6X+9=-1+9,即（X-3）2=8,

贝!Ia=—3,6=8,

故=-3+8=5,

故选：C.

5.C

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的增减性的知识点，熟

悉掌握以上知识点是解决此题的关键.由当王<。<3时，y<丫2，可得2024-左>0,由此

即可求解.

【详解】解：反比例函数y=202：一，的图象上有两点4（知乂）,3（%％），且当占<0<%

时，％<必，

2024-Q0,

k<2024,

故选：C.

6.D

【分析】根据二次函数的性质，对选项逐个判断即可.

【详解】解：函数为y=-3（x+l）2-2,

则a=-3<0,开口向下，A正确，不符合题意；

对称轴为％=-1,B正确，不符合题意；

顶点坐标为（T-2）,

又：开口向下

...函数有最大值为-2,C正确，不符合题意；

Va=-3<0,开口向下，对称轴为x=-l

.•.当x>-l时，y随尤的增大而减小，D错误，符合题意；

故选：D

【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.

答案第2页，共16页

7.C

【分析】由。。是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出NC4D=90。，根据直

角三角形两锐角互余得到NACO与互余，即可求得NO的度数，继而求得N3的度数.

【详解】解：・.・c。是。。的直径，

：.ZCAD=90°,

：.ZACD+ZD=90°,

•・・ZAC£>=40°,

・•・ZADC=ZB=50°.

故选：c.

【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键.

8.C

【分析】本题考查圆锥的侧面积公式.根据圆锥的侧面积公式，求解即可.

【详解】解：根据题意得：该圆锥的侧面展开图的面积为:x2乃x2=2万.

故选：C

9.C

【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△=(),求解即可，于

是根据根与系数的关系得两腰的和=4,满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，

则x=3为方程的解，把x=3代入方程可计算出k的值即可.

【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△=(-4)2-4k=0,解得k=4,

此时，两腰的和=XI+X2=4>3,满足三角形三边的关系，所以k=4：

②当3为等腰三角形的腰，则x=3为方程的解，把x=3代入方程得9T2+k=0,解得k

=3；

综上，k的值为3或4,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(a/»的解以及根与系数的关系等腰三角

形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形.

10.C

【分析】分别求出0<”2和2<fV4时，S与f的函数关系式即可判断.

【详解】解：对于直线y=-x+4,当x=0时，y=4,当y=0时，x=4,

答案第3页，共16页

OA=OB=4,

・•・ZOBA=ZOAB=45°,

*：lx//l29

：.ZODC=ZOCD=45°,

OD=OC,

①当0</W2时，OD=OC=钉如图1,

又△OCE是等腰直角三角形，

ZCDE=ZDCE=45°,

：.ZCDO=ZCDE,ZDCO=ZDCE,

又DC=DC,

DECADOC,

1

•C—C——t92

••0,DEC_uDOC_2

1

即：s=—/9；

2

图2

同理可得：一ACQ,PE。均为等腰直角三角形,

AC=CQ=4T,

答案第4页，共16页

EQ=EP=t-(4-t)=2t-4,

2

：.SPEQ=^EQ=^2t-4)\

=F2

,**S四边形p08=S.CED-SPEQ~-万⑵-4=--+8,-8,

3,

即5=—一r+8r-8,

2

观察图象可知，S与7之间的函数关系的图象大致是C.

故选：C.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.

11.1

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.先根据一元二次方程根的定义得到/一2〃=-1,再整体代入计算即可.

【详解】解：。是方程尤2-2尤+1=0的根，

'''a?—2。+1=0,

a2—2a=—1,

2a~-4a+3=2(a?-2。)+3=2x(-1)+3=1,

故答案为：1.

12.y=(%-3)2+4

【分析】本题考查了二次函数图象的平移.熟练掌握二次函数图象的平移规律为:上加下减,

左加右减是解题的关键.

根据上加下减，左加右减进行求解作答即可.

【详解】解：由题意知，平移后抛物线的解析式是y=(x-3y+4,

故答案为：y=(x-3)2+4.

13.』

5

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的

比值就是其发生的概率.

【详解】解：•一个不透明的袋子中装有10个小球，其中6个红球、4个绿球，

...从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为2=|.

答案第5页，共16页

故答案为］3.

【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其

中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=丝.

n

14.4

【分析】本题考查了反比例函数上的几何意义，设A的坐标为(〃?,")，将点A代入反比例函

k

数>=［化*0),得出〃加=左，然后用坐标表示矩形AMON的面积，从而得出关系式〃掰=4,

即可求出％的值.

【详解】解：设A的坐标为(私〃),

k

点A在反比例函数y=％w0)上，

/.mn=k,

轴，4V_Ly轴，

**•S四边形由w=MO-NO=mn=4,

:.k=mn=4.

故答案为：4.

15.72。/72度

【分析】本题主要考查切线定理，圆周角定理；连接Q4、OB,由题意易得

ZPAO=ZPBO=9Q°,则有NAOB=144。，进而根据圆周角定理可求解.

【详解】解：如图所示，连接Q4、OB,

PA.依都为.。的切线，

ZPAO=ZPBO=90°,

4=36。，

ZAOB=}44°,

ZC=1ZAOB=IX142°=72°；

答案第6页，共16页

故答案为：72°.

16.（-73,1）

【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2023次旋转后点的坐标

即可.

【详解】解：：正六边形ABCDEF边长为2,中心与原点。重合，轴，

AAP=1,AO=2,ZOPA=90°,

OP=[AO?-AP?=73，

.•.第1次旋转结束时，点A的坐标为（道,T）,

第2次旋转结束时，点A的坐标为卜1,-G）,

第3次旋转结束时，点A的坐标为卜百,1）,

第4次旋转结束时，点A的坐标为（1,抬），

.••4次一个循环，

：2023+4=5053,

...第2023次旋转结束时，点A的坐标为卜百』）.

故答案为：卜6,1）.

【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的

关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型.

17.玉=1,x2=2

【分析】利用因式分解法解答，即可求解.

【详解】解：X2-1=3（X-1）

=3（x-l）

=0

x~l=0或x+1—3=0

玉二1,=2

答案第7页，共16页

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

18.ABC的旋转角a为100。

【分析】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质、旋转前后对应边相等、旋转角的概念等，

熟练掌握等腰三角形的性质及旋转性质是解决本类题的关键.先求出^B'AC=^C=20°,

再由三角形外角的性质求出/AB'B的度数，由旋转的性质得=然后根据等腰三角

形的性质求解即可.

【详解】解：=

4'AC=/C=20。，

NAB'B=ZB'AC+ZC=20°+20°=40°,

将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到AAB'C,

：.AB=AB',

：.=^AB'B=40°,

：.ZBABl=ZAB'B=180°-40°-40°=100°,

ABC的旋转角a为100°.

3

19.k>-

4

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关

键.根据一元二次方程根的判别式大于0求解即可得.

【详解】解：：关于x的一元二次方程％2-(2%+1卜+%2+1=0有两个不相等的实数根，

,这个方程根的判别式A=[-(2々+1)了-4俨+1)>0,

整理得必-3>0,

3

解得k>：,

4

3

所以上的取值范围为女〉二.

4

20.(1)y=x2+2x-5

⑵(T-6)

【分析】(1)运用待定系数法即可求解二次函数的解析式;

答案第8页，共16页

（2）将二次函数的一般式化成顶点式即可求解.

【详解】⑴解：二次函数片尤2+1+。图象经过点4（1,-2）和3（0,-5）,

l+b+c=-2b=2

解得,

c=-5c=-5

.••二次函数解析式为：y=/+2x-5.

（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为：y=f+2x—5,

将其化成顶点式为：y=（x+iy-6,

该抛物线顶点坐标为：（T-6）.

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，顶点式的特点，掌握以上知识是解题

的关键.

21.-

3

【分析】此题主要考查画出树状图求概率；根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解.

【详解】解：依题意画出树状图如下：

一共有9种等可能的结果，其中小文和小明诵读同一种读本的有3种,

故尸（小文和小明诵读同一种读本）=：3=：1

22.⑴见解析

(2)PC=2V2

【分析】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性

质，掌握这些性质是解决本题的关键.

（1）要证明AD是：。的切线，只要证明即可；

（2）连接。尸，根据等腰三角形的性质求得的。C长，再求0C的长，根据切线的性质求得

Z（9PC=90°,最后利用勾股定理求出的尸C长.

【详解】（1）证明：AB=AC,。是BC的中点，

答案第9页，共16页

ADJ.BD,

又8。是直径,

AD是。的切线;

(2)连接。尸，

BD=DC=2,

：.OD=OP=1,

：.OC=DO+CD=3,

PC是。的切线，

，ZOPC=90°,

在RtOPC中，由勾股定理，得=。尸2+尸。2,

PC=yJo^-OP2=A/32-12=2V2•

23.小丁此次投掷的成绩是8米.

CQ

【分析】如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为(3,5),A点坐标为(0,-)根据顶点

坐标设二次函数解析式为y=a(x-3)2+g,把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析

式，令y=0,求出x的正值即为铅球投掷的成绩.

【详解】如图建立直角坐标系，

QC

•••铅球出手处距离地面的高度是W米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为5米,

85

•**A(0,—),B(3,—),

52

设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+|,

CQ

••.(0-3)2a+|=-,

解得：a=-g,

二次函数的解析式为y=-^(x-3)2+|,

答案第10页，共16页

当y=0时，-］（x-3）2+g=0,

解得：xi=8,X2=-2（舍去）,

小丁此次投掷的成绩是8米.

【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，如知道二次函数的顶点可设二次函数解

析式为顶点式，求出二次函数解析式是解题的关键.

24.（1）每次下降的百分率为20%

（2）每千克应涨价5元

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用.

（1）设每次下降的百分率为x,根据原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，列

出方程进行求解即可；

（2）设每千克应涨价,元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可.

读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键.

【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x,由题意，得：50（1-X）2=32,

解得：见=0.2=20%,=L8（舍去）；

答：每次下降的百分率为20%；

（2）设每千克应涨价y元，由题意，得：（10+y）（500-20,）=6000,

解得:%=5,%=10,

:要尽快减少库存，

**-y=5,

答：每千克应涨价5元.

3

25.（l）m=2,反比例函数的解析式为必=-一

x

⑵一1<%<0或x>3

答案第11页，共16页

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题

k

(1)把3(3,-1)分别代入一次函数％=-x+w与反比例函数%=—,即可求出加的值和反比

X

例函数的解析式；

(2)先求出A点坐标，再根据图象即可得到必<%时九的取值范围.

k

【详解】(1)解：一次函数%=-%+也与反比例函数%=—相交于点A和点以3,-1),

x

1=—3+m,—1=—,

3

解得m=2,k=—3.

二•反比例函数的解析式为%=-三3；

y=-x+2

(2)解：解方程组3，得

y=一一

IX

A(-l,3),

由图象可得当T<x<0或x>3时，

26.(1)ZC=30°

(2)详见解析

【分析】(1)根据垂径定理可得AD=BD，ZC=|ZAOD,然后在RtACOE中可求出NC

的度数.

(2)连接0B,根据(1)可求出NAOB=120。，在RtAAOF中，求出AF,OF,然后根据

S阴影=s扇形OAB-SAOAB,即可得出答案.

【详解】解：(1)；CD是圆。的直径，CDXAB,

**•AD二BD，

.•./C=g/AOD,

ZAOD=ZCOE,

ZC=|ZCOE,

VAOXBC,

；./C=30°.

(2)连接OB,

由(1)知，ZC=30°,

答案第12页，共16页

ZAOD=60°,

.*.ZAOB=120°,

在R3AOF中，AO=1,ZAOF=60°,

；.AF=0OF=J,

22

AB=72,

2

.c_cc_120^-xIi1/r_16

・・、阴影扇形OADB-OAOAB=------------------—X—XVJ--7T---------

3602234

【点睛】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算.

27.(1)该抛物线的解析式为y=——+2%+3

3

⑵'=]

（3）点M的坐标为（4,0）或（-2,0）或（2,0）

【分析】（1）根据待定系数法求解析式，即可求解；

（2）连接2C,CP,BP,过点P作尸轴交于点。，设点P到BC的距离为〃，则

当SMC面积最大时，〃的值最大，得出直线B