备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质-三角形-含30度角的直角三角形-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-图形的

性质—三角形—含30度角的直角三角形-

综合题专训及答案

含30度角的直角三角形综合题专训

1、

(2012丹东.中考真卷)如图，在AABC中，ZBAC=30°,以AB为直径的。。经

过点C.过点C作。0的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且含=

CD,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.

(1)

判断0B和BP的数量关系，并说明理由；

(2)

若。。的半径为2,求AE的长.

2、

(2012沈阳.中考真卷)如图，。0是AABC的外接圆，AB是。。的直径，D为。0

上一点，0DXAC,垂足为E,连接BD

(1)

求证：BD平分NABC；

(2)

当N0DB=30°时，求证：BC=OD.

3、

(2018牡丹江.中考真卷)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角

线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F,

线段DE,CD的长是方程x2-9x+18=0的两根，请解答下列问题：

(1)求点D的坐标；

(2)若反比例函数y=V(kWO)的图象经过点H,则k=；

(3)点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P,使以点F,C,P,Q为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明

理由.

4、

(2019润州.中考模拟)如图，在菱形ABCD中，边长为24，ZBAD=120°,

点P从点B开始，沿着B-D方向，速度为每秒1个单位，运动到点D停止，设

运动的时间为t(秒)，将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到对应线段的延

长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E,

(图D(图2)

(V^^l.73,sinll°^0.19,cosll°^0.98,sinl9°^0.33,tanl9°^0.34,

sin41°^0.65,tan41°^0.87)

（1）当t=0时，求AE的值.

（2）P点在运动过程中，线段PE与菱形的边框交于点F.（精确到0.1）

问题1：如图2,当NBAP=H°,AF=2PF,贝lj0Q=.

问题2：当t为何值时，4APF是含有30°角的直角三角形，写出所有符合条件

的t的值.

（3）当点P在运动过程中，求出4ACE的面积y关于时间t的函数表达式.（请

说明理由）

5、

（2017泰州.中考模拟）如图，已知AB是。0的直径，点C、D在。0上，ZD=60°

且AB=6,过0点作0ELAC,垂足为E.

（1）求0E的长；

（2）若0E的延长线交。0于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）

的面积S.

6、

（2018安徽.中考模拟）如图1,AABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延

长线上，且BE=CD,EP〃AC交直线CD于点P,交直线AB于点F,ZADP=ZACB

（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不

存在，说明理由；

（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段

BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）.当NABC=90°,

ZBAC=60°,AB=2时，求线段PE的长.

D

图2

7、

(2021连云港.中考模拟)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,将AABC

绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△口£(：,点D刚好落在AB边上.

(1)求n的值；

(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由.

8、

(2019博罗.中考模拟)有一块含30°角的直角三角板刎V,其中N肱加=90°,

4NMO=30°,ON=26,将这块直角三角板按如图所示位置摆放.等边AABC

的顶点方与点。重合，笈边落在加上，点/恰好落在斜边腑上，将等边

从图1的位置沿加方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB,分别与斜

边腑交于点£,尸(如图2所示)，设△力回平移的时间为右(s)(0<^<6).

(1)等边△力的边长为；

(2)在运动过程中，当时，腑垂直平分N8；

(3)当0<6时，求直角三角板6W与等边重叠部分的面积S与时间

亡之间的函数关系式.

（2017越秀.中考模拟）中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见

的几何图形！

（1）如图1,若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E,F分别在AB、

AC边上，且NEDF=90°,连接AD、EF,当BC=5V-,FC=2时，求EF的长度;

（2）如图2,若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E,F分别在AB,AC

边上，且NEDF=90°；M为EF的中点，连接CM,当DF〃AB时，证明：3ED=2MC；

（3）如图3,若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E,F分别在AB,AC

边上，且NEDF=90°；当BE=6,CF=0.8时，直接写出EF的长度.

10、

（2017玉林.中考模拟）如图，已知Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4.

N

（1）作AC边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E（用尺规作图法,

保留作图痕迹，不要求写作法和证明）：

（2）连接CE,求ABEC的周长.

n、

（2018绵阳.中考真卷）如图，已知抛物线y=axJbx（aw0l过点A市，-3）和B

门户⑼，过点A作直线AC〃x轴，交y轴与点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线，垂足为D,连接OA,使

得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q,使得=三$L。。?若存在，求出点Q的坐标;

若不存在，请说明理由。

12、

（2019昆明.中考模拟）如图，以AABC的一边AB为直径作。0,。0与BC边的

交点D恰好为BC的中点，过点D作。0的切线交AC边于点F.

（1）求证：DF±AC；

（2）若NABC=30。，求tanNBCO的值.

13、

（2020西湖.中考模拟）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,NBAC的角平分线AD

交BC边于D.以AB上某一点0为圆心作。0,使。0经过点A和点D.

（1）判断直线BC与。0的位置关系，并说明理由;

（2）若AC=3,ZB=30°.

①求。0的半径；

②设。0与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分

的图形面积.（结果保留根号和n）

14、

（2020石家庄.中考模拟）“低碳环保，绿色出行”的概念得到广大群众的接受,

越来越多的人喜欢选择骑自行车作为出行工具.小军和爸爸同时骑车去图书馆，

爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以川米/分的速度

到达图书馆.小军始终以同一速度骑行，两人骑行的路程为】'（米）与时间.V（分

钟）的关系如图.请结合图象，解答下列问题：

（1）填空：a=；b=；m=.

（2）求线段BC所在直线的解析式.

（3）若小军的速度是120米/分，求小军第二次与爸爸相遇时距图书馆的距离.

15、

（2020丰南.中考模拟）如图1,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A（—

1,0),点B(0,).

(1)求NBAO的度数；

(2)如图1,将AAOB绕点0顺时针旋转得AA，0Bz,当点A'恰好落在AB

边上时，设AAB'0的面积为Si,ABAZ0的面积为S2,Si与S2有何关系？为什

么？

(3)若将AAOB绕点0顺时针旋转到如图2所示的位置，Si与S2的关系发生变

化了吗？证明你的判断.

含30度角的直角三角形综合题答案

1.答案：

解:OB=BP.

理由：连接OC,

•••PC切。。于点C,

.•.zOCP=90",

■.•OA=OC,zOAC=30",

.-.zOAC=zOCA=30°,

.-.zCOP=60°,

.-.zP=30°,

在Rt」OCP中,OC=1OP=OB=BP

薛：

E

的半径是2,

.-.AP=3OB=3x2=6,

••A_A

BC~CD'

.-.zCAD=zBAC=30°,

.-.zBAD=60°r

vzP=30",

.-.zE=90",

在Rt-AEP中，AE=1AP=1x6=3.

2.答案：

-.OD±ACOD为隹"•&=心

.,.zCBD=zABD,

.•.BD平分工ABC;

证明:•,,OB=OD,

/.zOBD=zODB=30",

.•.zAOD=zOBD+zODB=30°+30°=60°,

又•.•OD_LAC于E,

.-.zOEA=90°,

.-.zA=180°-zOEA-zAOD=180°-90°-60°=30°r

又「AB为O。的直径，

.-.zACB=90°,

在Rt-ACB中,BC=1AB,

1.OD=1AB,

.-.BC=OD

3.答案：

:x2-9x+18=0,

(x-3)(x-6)=0,

x=3或6,

•.•CD>DE,

.".CD=6,DE=3,

•••四谢ABCD是菱形，

/AC±BD,AE=EC="2_32=3、

/.zDCA=30°,zEDC=60°,

RHDEM中,zDEM=30°,

.-.DM=」DE=3,

?9

•/OM±AB,

，S匐阶BCD=JAC*BD=CD*OM，

•■4x6枢x6=6OM,OM=3

,',D2，3W)

【第1空】解：晅

解:如图1,

①；DC=BC,zDCB=60°,

.•卢DCB是等边三角形，

•••H是BC的中点，

.-.DH1BC,

・•.当Q与B重合时，如图1,四边形CFQP是平行四边形，

•/FC=FB,

.-.zFCB=zFBC=30°,

.-.zABF=zABC-zCBF=120°-30°=90°,

.1AB±BF,CP±AB,

R3ABF中,zFAB=30°,AB=6,

.­.FB=2^=CP,

4.答案：

薛：t=0时，点P与点B重合，

•.-zPAE=60°,zAPE=60",

.-.zE=30°,

.-.AE=2PA=2AB=4yj.

【第1空】0.6

【第2空】t=1s或4s时，zPAF=30°

解:如图3中,作BMJ_AB交AC的延长线于M，作EH_LAM于H,连接EM.

D

在Rt-ABM中，•.NABM=90°,NBAM=60°,

.-.zAMB=30°,

.-.AM=2AB,

在Rt-APE中，vzAPE=90°,zPAE=60°,

.-.zAEP=30°r

.-.AE=2PAf

_AM_2

•.E•~Hzz-----4r

PAAB

•.•zEAP=zMAB,

.".zEAM=zPAB,

.•LEAM-PAB,

.•.然=M=2,zAME=zABP=30°,

PBPA

.-.EM=2t,EH=1EM=t,

・•・S,ACE=4・AC・EH=yjt（o<t<6）.

5.答案：-

解:-.zD=60o,

.•zB=60。（圆周角曲）,

又：AB=6,

.,.BC=3,

:AB是。。的直径，

.-.zACB=90",

1.OE±AC,

.,.OEllBC,

又：点。是AB中点,

.•.0E是-ABC的中位线，

.-.0E=1BC=1

解：连接oc,

则易得-COE*AFE,

故阴影部分的面积=扇形FOC的面积,

S扇形FOC=线票=4n-

即可得阻影部分的面积为4n

6.答案：

薛：AC=BF.证明如下:

,

如图1,1.zADP=zACD+zA,zACB=zACD+zBCD,zADP=zACBr

-

..zBCD=zAr

X/zCBD=zABC,

"CBD—ABC,

.CD_BCZTX

'AC=BA'①

•.■FEllAC,

•BC_BE(j\

"BA=BF

由①②可得，笔=第，

-.•BE=CDr

,-.BF=AC

解:如图2r•.■zABC=90°rzBAC=60°,

.-.zACB=30°=zADP,

.-.zBCD=60°,zACD=60°-30°=30°,

■.•PEllACr

.-.zE=zACB=30°rzCPE=zACD=30°,

.-.CP=CE,

vBE=CD,

/.BC=DP,

-.1zABC=90°,zD=30°,

.-.BC=1CD,

.-.DP=1CDr即P为CD的中点f

又.PFllAC,

.♦.F是AD的中点，

.，.FP是-ADC的中途r

AFP=1AC,

-.1zABC=90°rzACB=30°,

.-.AB=1AC,

.-.FP=AB=2r

•.1DP=CP=BC,CP=CE,

.-.BC=CE,即C为BE的中点,

又rEFllAC,

・・.A为FB的中点，

・•.AC是-BEF的中隆，

.\EF=2AC=4AB=8,

/.PE=EF-FP=8-2=6.

7.答案:

解：•.•在Rt-ABC中,zACB=90°,zB=30°r将-ABC绕点C境质蝌方向藏n否，得到-DEC,

.-.AC=DC,zA=60°,

.•.-ADC®^边三角形，

.1.zACD=60°r

.-.nMM60

解：四晚ACFDMJ^;

理由:•ZDCE=NACB=90。，F是DE的中点,

/.FC=DF=FEr

-,1zCDF=zA=60°r

.•.，DFC是等边三角形，

.-.DF=DC=FC,

,r-ADCB边三角形,

,".AD=AC=DC,

,-,AD=AC=FC=DFr

四边形ACFD是菱形

8.答案：

【第1空】3

【第1空】3

解：易知：0M=6,MN=46,S_OMN=4x26x6=6亚，

vzM=30°rzMBA=60°r

.-.zBEM=90°.

①当Ovt。时，作CD_LFM于D.

-.1zACB=60°fzM=30°,zFCB=zM+zCFM,

.-.zCFM=zM=30°,

.-.CF=CM,

-.CD±FM,

,-.DF=DM,

•$CMF=2SLCDMr

■.1-MEB--MON,

■SiBMr

.$MEB=§2_电+半，

•.工MDC"MON,

.SAMDCiMCV

的，

.$MDC=%_峪+半，

，S=S,MEB-2S,MDC=-g'+孥-

②当3<tv6时，S=SdMEB=6_半r_芈，

怜户+坐(0<r<3)

综/血S=184.

|亚、3亚班，

［工L-t+(3<t<6)

9.答案：

解：如图1

•.•点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点

.1AD±BC,AD=1BC=CD=4祖，zDAE=zC=45°

.•AC=@CD=5

又•.2EDF=90°,FC=2

.-.zADE=zCDF,AF=5-2=3

在3DE和KDF中

[NDAE=ZC

AD=CD

，、ZADE=2CDF

/.^ADE^CDF(ASA)

..AE=CF=2

.・在Rt3EF中，EF=百？=而

解：设等边三角形边长为2a,则BD=CD=a,

••等边三角形ABC中,DFllAB

.-.zFDC=zB=60°

-.-zEDF=90°

,-.zBDE=30°

.-.DE±BE

则RSDEF中,DM=1EF=FM

-.■zFDC=zFCD=60°

iCDF是等边三角形

.■.CD=CF=a

.•.CM垂直平分DF

.-.zDCN=30°

.•RSCDN中,DN"a,CN=更a,DF=a

"a

.•在RNDEF中，EF=

•••M为EF的中点

.-.FM=DM=a

醒：如图3,延长FD至G,使得FD=DG,质EG,BG,

图3

则ED垂直平分FG,故EF=EG

...由BD=CD,zBDG=zCDF,DF=DG可彳导：^BDG^CDF

.".zGBD=zC=60°,BG=CF=0.8

.".zEBG=600+60o=120°

.-.zEBH=60°

过E作EHJ_BG于点H,贝!1BH=1BE=3

.•RNBEH中，HE=痒手=3$

・•.RSEHG中，EG=J。折+(3+o7=］画

；.EF的长度为1^9

10.答案：

,.'DE垂直平分AC,

.-.EC=EA,

"BEC的周长=BE+EC+BC

=BE+EA+BC

=AB+BC

=4+2

=6.

解：・・,点A、B在抛物线上，

.囱+6匕=—3

••<r

匕70+36b=0

k=4

弊得：|“广

7

••・抛物浅解析式为：y=[x2-3#x.

2

当P在直发AD历时，

设P坐标为（x,1,忠），贝脩AD=x/,

5A2--A

PD=1,3有

5A---7-^+3

当二。CA-ADP时亭=嘉,

3________.

即班一人，生什3，

整理得：3x2-9yjx+18=2^x-6,即3x；2-11.+24=0,

解得：x=11函±3,

6

即x=N1或x=6（舍去），

此时P（期4）；

3，-?

3_枢

当，OCA—PDA时，奇=品，即

x里什3一地

2

迪得：底2.9X+66=6A-6G,即x2-5收v+12=0

解得：、=亚如g,即x=40或夕（舍去），

此时P（4技6）；

当点P（0,0）时，也满足-OCA—PDA;

P的坐标为（更10）,

当P在直浅AD下方时，同理可得,

3，-3

综上，P的坐标为（期4）5£（46,6）或（芈学）或（0,0）

3，-耳

解：阻,-3），

,*.AC=「,0C=3r

,・QA=24，

S皿=4QC,AC=1-OAh=里,

—）

.'.h=奈r

又：s_uoc=TS_uo0,

.♦.二AOQ边OA上的高=3h=号,

过。作OM^OA,截取0M=号，过点M作MNllOA交y轴于点N，过M作HM_LX轴,（如图），

・「AC=曰0A=2内，

.-.zAOC==30°f

又「MNllOA,

.-.zMNO=zAOC=30°,OM±MNr

,-.ON=2OM=9,zNOM=60°r

即N（0,9）,

.".zMOB=30°r

/.MH=10M=号，

22

•'10H=^OAf-MH二孳，

.•lM（矩，号），

~4~4

设直浅MN跳析式为：y=kx+b,

缶6Q

12.答案：

证明:连接OD

,.1DF为。0的切线.-.OD±DF

为AB中点D为BC的中点

.-.OD||AC

在Rt-BEO中,zABC=30°

•.1BD=DC,BE=ED,.\EC=3BE=克

±。3

在RkOEC中，tan/BCO=馨=

toB9

13.答案:

解：直线BC与O0相切；

连结0D,

-.'OA=OD,

.".zOAD=zODA,

•zBAC的角平分线AD交BC边于D,

.,.zCAD=zOAD,

/.zCAD=zODA,

.".ODllAC,

.".zODB=zC=90°,

即OD_LBC.

又•.直线BC过半径OD的外端r

.•直段BC与。。相切

解:①设OA=OD=r•，在Rt-BDO中，NB=30°,

/.OB=2r,

在Rt-ACB中,zB=30°,

.-.AB=2AC=6,