空间向量及其应用 高频考点-精讲（原卷版）-高考数学总复习

空间向量及其应用（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：空间向量的线性运算

题型二：共线、共面向量定理的应用

题型三：空间向量的数量积及其应用

角度1：求空间向量的数量积

角度2：利用数量积求长度

角度3：利用数量积求夹角

角度4：利用向量解决平行和垂直问题

角度5：向量的投影和投影向量

题型四：利用空间向量证明平行与垂直

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：空间向量的有关概念

1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向

量的长度或模；如空间中的位移速度、力等.

2、几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量〃长度相等而方向相反的向量，称为Q的相反向量，记为-Q

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

知识点二：空间向量的有关定理

1、共线向量定理：

对空间任意两个向量a,6(bw0),a8的充要条件是存在实数X,使a=W

(1)共线向量定理推论：如果/为经过点A平行于已知非零向量。的直线，那么对于空间任

一点。，点P在直线/上的充要条件是存在实数,，使0P=+2①，若在/上取A3=a，

则①可以化作：OP=OA+tAB

(2)拓展(高频考点)：对于直线外任意点。，空间中三点RA3共线的充要条件是

OPWA+juAB,其中九+〃=1

2,共面向量定理

如果两个向量不共线，那么向量p与向量4b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对

(x,y),使p=xa+yB

(1)空间共面向量的表示

如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使AP=xAB+yAC.

图3.1-15

或者等价于：对空间任意一点。，空间一点P位于平面ABC内四点共面)的

充要条件是存在有序实数对(匹丁)，使OP=OA+xA8+yAC,该式称为空间平面ABC的向

量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

(2)拓展

对于空间任意一点。，四点共面(其中C,A,3不共线)的充要条件是

OP=xOC+yOA+zOB(其中x+y+z=l).

3、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,ac,不共面，那么对空间任意向量力，存在有序实数组{x，%z},使得

p=xa+ybzc.

知识点三：空间向量的数量积

1、空间两个向量的夹角

(1)定义：如图已知两个非零向量。,方，在空间任取一点。，作OA=a，OB=b，则么

NAO3叫做向量a/的夹角，记<a/>.(特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角)

ObBObB

(2)范围：<a,b>e[0,7r].

jr

特别地，(1)如果<a,6>=3,那么向量a,b互相垂直，记作a_LZ?.

(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为万，

故<a,b〉=0(或<a,b〉=万)oa//6(a,B为非零向量).

(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0a.两非

零向量的夹角是唯一确定的.

(3)拓展(异面直线所成角与向量夹角联系与区别)

若两个向量出》所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为。，

(1)向量夹角的范围是0〈〈a,b>〈乃，异面直线的夹角。的范围是0<6><y,

--不

(2)当两向量的夹角为锐角时，0=<a,b>-,当两向量的夹角为,时，两异面直线垂直；当

两向量的夹角为钝角时，0=7r-<a,b>.

2、空间向量的数量积

定义：已知两个非零向量。，b贝！11aIcos<a,〃〉叫做a，b的数量积，记作a0；

即4电=|〃||/?|85<。]>.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

3、向量。的投影

3.1.如图(1),在空间，向量。向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平

移到同一个平面a内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量人共线的向量c，

--b-.

c=\a\cos<a,b>——向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向

也1

直线/投影(如图(2)).

3.2.如图(3),向量。向平面夕投影，就是分别由向量。的起点A和终点6作平面夕的垂

线，垂足分别为4,B',得到4"，向量49称为向量。在平面夕上的投影向量.这时，

向量。，4日的夹角就是向量3所在直线与平面夕所成的角.

(1)

4,空间向量数量积的几何意义：向量以，b的数量积等于。的长度|a|与b在。方向上的投

影|cos<a,b>的乘积或等于8的长度|b|与a在Z?方向上的投影|a|cos<a,/?〉的乘

积.

5、数量积的运算：

(1)(Aa)-b=A(a-b),2e7?.

(2)=(交换律).

(3)a-(b+c)-a-b+a-c(分配律).

知识点四：空间向量的坐标表示及其应用

设a=(%,02M3)，b=(bl,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示：

数量积

a-b=〃也+a2b2+^383

共线(平行)

a{=2Z?1

ab(bw0)=a=肪=<a2=也(％GR)

%=AZ?3

垂直a_LbO=。o〃向+。2b2+〃3“3=。(Q,〃均非零向量)

模

l"l=JaF+a2+婷，即|a|=J%?+

=4a='a：2a；+a；

夹角

a-b_%瓦+a2b2+/伪

cos<a,b>-|a||b|业:+W+dM+居+,

知识点五：直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量

如图①，a是直线I的方向向量,在直线/上取A5=a,设尸是直线/上的任意一点，则点尸

在直线I上的充要条件是存在实数t，使得AP=ta，即AP=tAB

田①

2、平面法向量的概念

如图，若直线/La,取直线I的方向向量。，我们称。为平面a的法向量；过点A且

以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a-AP=O}.

3、平面的法向量的求法

求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:

设向量：设平面a的法向量为n=（x,y,z）

选向量：选取两不共线向量AB,AC

n-AB=0

列方程组：由列出方程组

n-AB=0

解方程组：解方程组

n-AC^O

赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1）

得结论：得到平面的一个法向量.

知识点六：空间位置关系的向量表示

1、空间中直线、平面的平行

设直线心4的方向向量分别为a，b,平面a,夕的法向量分别为九，加，则

线线平行4，2=。boa=Ab(2wR)

线面平行/il|a=a_L〃=〃.〃=O

面面平行aBonm=n=Am

2、空间中直线、平面的垂直

设直线4的方向向量为a=（%,伪,q）,直线4的方向向量为。=（4力2，。2）,平面a的法向

量"=（X［，X，Z］）,平面厂的法向量为〃2=（%2，%，22），则

线线垂直1、_1_/2=〃心=0=+叩入+-0

%=Axl

线面垂直/]_!_&=a?2=a=助=・瓦=•

q=%Z]

面面垂直。_1_夕=〃_|_加=〃.加=0=玉%2+M%+Z]z?—0_

第二部分：典型例题剖析

题型一：空间向量的线性运算

典型例题

例题1.（2022•天津市第二南开中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体

A5CD—A4G。中，”为AG与42的交点•若48=0，AD=b,M=c,则下列向

量中与8M相等的向量是（）.

B.—aH—b+c

22

c117

C.——a——b+cD.—a——b+c

2222

例题2.（2022嚏国•高二专题练习）已知。=（1,2,3）/=（0,-1,4）,则2°+3匕等于（）

A.（-4,6,14）B.（-4,0,6）C.（-4,3,6）D.（2,1,18）

例题3.（2022•全国•高二课时练习）已知为正方体且ZM=a，DC=b，

DR=c,则AC=.

例题4.（2022•全国•高二课时练习）如图所示，在平行六面体A8CD-A用G2中，M、

UUU11

N分别是AA、8c的中点.设AA］=。，AB=b，AD=c.

5

（1）已知「是G2的中点，用八b、c表示AP、AN、MP+NQ；

⑵已知产在线段G2上，且*=；，用a、b、C表示AP.

题型归类练

1.（2022・云南・昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABC。-43/。》

中，E为A/G的中点，^BE=xAAl+yAB+zAD^贝!I（）.

2.（2022,全国•高二课时练习）已知向量4=（3,-2,1）,6=（-2,4,0）,则4〃+26等于（）

A.（16,0,4）B.（8,-16,4）C.（8,16,4）D.（8,0,4）

3.（2022・全国•高二课时练习）在四面体OA8C中，点M,N分别为。4、8C的中点，若

OG=^OA+xOB+yOC,且G、M、N三点共线，则x+y=

4.（2022,湖南•高二课时练习）如图，正方体A3CO-A瓦中，点£,/分别是上底面

45cA和侧面CCQQ的中心，分别求满足下列各式的x,y,z的值.

(1)AE=xAD+yAB+zAAj*

⑵AFuxAD+yAB+zAAj；

(3)EF=xAD+yAB+zA\.

题型二：共线、共面向量定理的应用

典型例题

例题1.（2022•河南•宜阳县第一高级中学高二阶段练习）若空间向量.力不共线，且

-3ya+（2x+y）b=xa+10b,贝!|2x—3y=（）

A.6B.12C.18D.24

例题2.（2022•河南焦作•高二期末（理））已知向量〃=（-2,-Lx-1）,6=（2%,%,-2）,

且〃//人则了的值为（）

A.-2B.1C.-1或2D.1或—2

例题3.（2022•四川•阖中中学高二阶段练习（理））在平行六面体ABC。-A4G2中，

311-AP

点尸在4。上，若APM;AA+:AB+:AD,则已=（）

4444c

1312

A•—B.—C.—D.—

3443

例题4.（2022•重庆市万州第二高级中学高二开学考试）已知〃=（2,-1,3）,b=（-1,4,-2）,

c二（l,3,2）,若向量募】共面，则实数X等于（）

A.1B.2C.3D.4

例题5.(2022•吉林•东北师大附中高二阶段练习)A(1,T,3),3(7,0,2)为空间直角坐

标系中的两个点，若根〃AB，则几-〃=.

例题6.(2022•全国•高二课时练习)若三个向量。=(3,3,2),6=(6,加,7),3=(0,5,1)共

面，则实数加的值为.

题型归类练

1.(2022,全国•高二课时练习)若点A(2,-5,-1),5(—1,-4,—2),C(根+3,-3,〃)在同一条直

线上，贝旷"-"=()

A.21B.4C.一4D.10

2.(2022•福建・古田县第一中学高二阶段练习)已知向量。=(0,-U)与6=(0,"2,用共线，

则实数上=()

A.0B.1C.-1或2D.-2或1

3.(2022•全国•高二课时练习)已知A,B,C三点不共线，点。是平面ABC外一点，则

在下列各条件中，能得到点M与A,B,C一定共面的是()

A.OM=-OA+-OB+-OCB.OM=-OA--OB+OC

22233

C.OM=OA+OB+OCD.OM=2OA+OB+OC

4.(2022•河南•洛宁县第一高级中学高二阶段练习)已知AB=(2,-1,3),AC=(-1,4,-2),

AD=(5,-6.2),若ABC。四点共面，则实数4=()

A.5B.6C.7D.8

5.(2022•上海高二开学考试)a=(1,-1,3),6=(-1,4,-2),c=(l,5,x),若.，

b>c三向量共面，则实数x=.

6.(2022・湖南师大附中高二开学考试)已知AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),

AD=(%-4,-2,0),且点。在平面ABC内，则尤=.

题型三：空间向量的数量积及其应用

角度L求空间向量的数量积

典型例题

例题1.(2022•全国•高二课时练习)已知5=(—3,2,5),6=(1,5,-1),则a-(a+36)等于

()

A.(0,34,10)B.(-3,19,7)C.44D.23

例题2.（2022•江苏•高二课时练习）如图，边长为1的正方体ABC。-A4c12中，

则％*Bp的值为（）

例题3.（2022•全国•高二课时练习）空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，即

a•（6+c）=.

例题4.（2022唉国•高二课时练习）已知ABCD-是长方体，AB==2,AD=4,

且E为侧面AA的中心，尸为AA的中点，分另!J求3c尸

题型归类练

1.（2022•江苏•高二课时练习）在正方体ABCD-AEC'D'中，棱长为2,点M为棱DD上

一点，则AM.2"的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022,湖南•长沙市平高高级中学有限公司高二阶段练习）在棱长为1的正方体

A2CZX4//G。/中，^AB=a,AD=b,AAl=c,则a-（b+c）的值为（）

A.1B.0C.-1D.-2

3.（2022・全国•高二课时练习）若向量a=（0,1,-1）,b=（l,l,0）,则（。-26）”的值是.

4.（2022•全国•高二课时练习）已知直三棱柱ABC-A4G中，

NABC=6（r,AB=2,BC=CG=l,求.

角度2:利用数量积求长度

典型例题

例题1.(2022•湖北•高二期末)若04、08、OC为空间三个单位向量，OA1OB,且

OC与。4、。2所成的角均为60,^\pA+OB+OC\=()

A.5B.\/3C.5/5D.5/6

例题2.(2022•广东•潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习)已知空间向量。=(0,1,4),

&=(1,-1,0),贝山+0=()

A.MB.19C.17D.V17

例题3.(2022•全国•高二课时练习)已知向量1=(2,-1,3)，人=(-1」,力，若：与办垂

直，贝!|a+2b=.

例题4.(2022福建南平高二期末)在空间直角坐标系中，已知。4=(2,1,3),03=(5/,-1),

贝!1网=.

例题5.(2022•河南•高二阶段练习)如图，在四棱柱ABC。-中，四边形ABCO

TT

是正方形，M=6,AB=4,且/GCB=/GCD=H，设CD=a,CB=b,CC、=c.

(1)试用a,b,c表示BQ；

(2)已知。是的中点，求。。的长.

题型归类练

1.(2022,江苏•高二课时练习)已知空间向量a,九c两两夹角均为60,其模均为L则

|<7+/>-2c|=()

A.72B.73C.2D.也

2.（2022•湖南•长郡中学高二期末）己知空间向量。=（1,一1,0）,则,+耳=（）

A.3B.&C.6D.75

3.（2022•全国•高二课时练习）已知尸（2,1,-3）,2（1,3-2）,则「0卜.

4.（2022,湖南•长沙市平高高级中学有限公司高二阶段练习）如图，在平行六面体

中，AB=5,AD=3,"=4,ZDAB=9Q,=ZDAAi=60,E

是CG的中点，设，AD=b,44j=c.

（1）用4,b,C表示4E;

（2）求AE的长.

5.（2022•福建•泉州师范学院附属鹏峰中学高二阶段练习）如图，在平行六面体

ABCD-AB'C'D'中，AB=4,AD=3,A4'=5,XBAD=90,ZBAA'=ZDAA'=60.求:

WAA,-AB

⑵AC的长.

角度3：利用数量积求夹角

典型例题

例题1.（2022•河南喧阳县第一高级中学高二阶段练习）若向量。=（2,0,2）,6=（-2,2,1）,

且“与6的夹角的余弦值为-g,则实数几等于（）

333

A.1B.—C.1或一D.0或一

222

例题2.（2022•全国•高二专题练习）已知。=（0,-1,1）,6=（1,2,-1）,则〃与6的夹角为

（）

A.30。B.60°C.150°D.120°

例题3.（2022•全国•高二专题练习）已知A（l,0,0）,B（0-1,1）,0是坐标原点，OA+WB

与02的夹角为120,则2的值为（）

A.士逅B.逅C.一亚D.±76

666

例题4.（2022建国•高二课时练习）已知空间三点A（l,l,l）,B（T,0,4）,C（2,-2,3）,求5c4）.

题型归类练

1.（2022•全国•高二专题练习）已知向量。=（3,1,2）,i=（-1,3,t）,且〃与b夹角的余弦值

为（，贝/的取值可以是（）

A.2B.-2C.4D.-4

2.（2022•河南开封,高二阶段练习）若。=（1,42）,b=（2-1,2）,且0,6的夹角的余弦值

Q

为“贝！M等于（）

22

A.2B.-2C.—2或一D.2或——

5555

3.（2022・全国•高二单元测试）若空间两个单位向量Q4=（m,〃,0）、QB=（0,〃,p）与

JT

OC=（1,1,1）的夹角都等于I，贝|cosNAOB=.

4.（2022・湖南•高二课时练习）已知4（0,U）,5（1,2,1）,C（l,l,2）三点，求coscAB,AC>

的值.

角度4：利用向量解决平行和垂直问题

典型例题

例题1.（2022•全国•高二课时练习）若直线/的方向向量。=（1,0,1）,平面△的法向量

«=(1,1,-D，则()

A.lu/3B.C.l//pD./u"或〃/£

例题2.（2022•全国•高二课时练习）若/〃c,且/=（2,九1）为直线/的一个方向向量,

〃=心2］为平面a的一个法向量，则用的值为（）.

A.—4B.—6C.—8D.8

例题3.（2022•全国•高二单元测试）如图，正方体A2CD-A瓦的棱长为a,M,

N分别为A/和AC上的点，A、M=AN=叵,则与平面BBC。的位置关系是

3

A.相交但不垂直B.平行C.相交且垂直D.不能确定

例题4.（2022嚏国•高二课时练习）已知在正四棱柱中，AB=1,M=2,

点2为CG的中点，点/为2,的中点.

(1)求证：EFLBD^EFLCC；；

(2)求证：EF//AC.

题型归类练

1.（2022•江苏扬州•高二期中）已知直线/的一个方向向量E=（l,2,m），平面a的一个法向

量”=（—1,—2,3）,若/J_a,贝|pw=（）

A.—3

2.（2022,云南•昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）设"=（2,1,-2）是平面a的法向量,

。=（-3,8,1）是直线/的方向向量，则直线/与平面a的位置关系是（）.

A.平行B.垂直

C,相交但不垂直D.平行或在平面内

3.(2022•全国•高三专题练习)如图，AT>〃3C且AD=23C,ADA.CD,EG〃AD且EG=AD,

CD〃FG旦CD=2FG,OG_L平面ABC。，QA=Z)C=QG=2.若M为CP的中点，N为

EG的中点，求证：MN〃平面CZ)E；

4.（2022•全国•高三专题练习）如图在边长是2的正方体中，E,尸分别

为AB,4c的中点.证明：平面平面OAC；

5.(2022・全国•高三专题练习)在正方体ABC。-中，如图E、尸分别是8片，CD

的中点，求证：平面ADE；

角度5：向量的投影和投影向量

典型例题

例题1.(2022•全国•高二课时练习)在正三棱柱ABC-$与G中，若=则做

在3G上的投影向量为()

11亚亚

A.——BQB.—BC】C.以BC、D.*BC、

4422

例题2.(2022•湖北•沙市中学高二阶段练习)已知空间向量a=(1,1,0),/,=(-

1,0,2),贝!J“在6方向上的投影向量为.

例题3.(2022•全国•高二课时练习)已知A(0,0,0),2(2,5,0),C(l,3,5),求AC在AB上正

投影的数量.

例题4.(2022•全国•高二课时练习)如图，在长方体ABC。-AB'C'D中，已知|筋|=1,

\AD\=2,|A4j=3,分别求向量AC在48、ADyAY方向上的投影数量.

题型归类练

1.(2022•全国•高二课时练习)已知向量a=(-1,1,2),6=(2,-1,0),贝必在b方向上的投影

为.

2.(2022•辽宁营口•高二开学考试)已知A(-1,2,1),3(-1,5,4),C(l,3,4).

(1)求

(2)求AC在AB上投影的数量.

3.(2022•全国•高一)已知在标准正交基｛",%｝下，向量a=4i+3j-8Mb=2i-3j+1k,

c=-i+2j-4k,求向量m=a-b+c在，上的投影.

4.(2022•全国•高二课时练习)在标准正交基«,/,耳下，已知向量£=-2i+8/+3Z,

b=-5i+2k，则向量a+2匕在i上的投影为，在/水上的投影之积为.

题型四：利用空间向量证明平行与垂直

典型例题