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文档简介

一、函数的连续性的概念二、函数的间断点第七节函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量注意：这样就把函数的改变量表示为自变量的改变量的函数.2.连续的定义即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.例1证由定义知例2证3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.5.基本初等函数的连续性二、函数的间断点1.可去间断点两种可能例4解注意

可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例4中,2.跳跃间断点例5解跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点．3.第二类间断点例6解无穷间断点例7解这时也称其为振荡间断点．间断点的分类：（左右极限都存在）（左右极限中至少有一个不存在）可去间断点（左右极限都存在且相等）跳跃间断点（左右极限都存在但不相等）第一类间断点第二类间断点间断点

无穷间断点（左右极限中至少有一个为无穷大）振荡间断点(第一类可去)（第二类无穷）（第二类振荡）练习解定理1例如,三、初等函数的连续性1.

连续函数的和、差、积、商的连续性定理2严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数．例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2.

反函数与复合函数的连续性定理３例9定理４一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.３.

初等函数的连续性1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的去心邻域内没有定义.注意例10解注意2.初等函数在连续点求极限可用代入法.例11解注：也可用等价无穷小代换.四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点4.初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：代入法。练习题一二一

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