安徽省县中联盟2023-2024学年高二年级上册12月联考数学 含解析

A.（2,4）B.（2,3）（3,4）C.（^O,2）O（4,4W）D.（4,+OO）

【答案】B

【解析】

【分析】利用二元二次方程与椭圆的关系列式求解即可.

%—2〉0

22

【详解】若曲线/一+工=1表示椭圆，贝ij4—/〉0,解得2＜，＜4且悌3,

彳-24—/_.

所以实数/的取值范围是（2,3）（3,4）,

故选：B.

4.已知抛物线C：y1=2px（。＞0）,过点尸（3,0）且垂直于x轴的直线/交抛物线C于A,3两点，。

为坐标原点，若，。钻的面积为9,则2=（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件联立方程组求出A,3两点的坐标，利用两点的距离公式及三角形的面积公式即可求

解.

【详解】将％=3代入V=2px,得y=±标，由对称性不妨设A在x轴上方，

所以点B（3,-yf6p^,

所以|A创=|廊_卜廊）,2廊，|OP|=3,

因为圳°P|=gx2廊义3=9,解得°

故选：A.

5.已知等差数列｛4｝是递增数列，其前九项和为S“，且满足％6=2%3,当&＞0时，实数上的最小值

为（）

A.10B.11C.20D.21

【答案】C

【解析】

【分析】先设等差数列｛4｝的公差为d，得到d＞0,再根据题意求出％o=O,从而得到工9=0,进而

即可得到答案.

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设A5=4,写出点的坐标，利用空间向量夹角公式进行求解.

【详解】设AC,相交于点。，

根据题意，以。4,OB,0P所在直线分别为x轴，,轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

不妨设AB=4,则04=08=2夜，OP=2叵,则A（20,O,O）,3（0,2行,0）,

C（-272,0,0）,D（0,-2A/2,0）,P（O,O,20）,

因为点E是24的中点，点户是PC的中点，

所以E（0,O,夜），F（-A/2,0,V2）,

所以DE=（0,20,四），BF=（-72,-272,72）,

/\DE-BF—2—8+22

贝I]cos(DE,BF}=ii~~ir=T=T=

川、/|DE|.|BF|2^X2733,

2

所以异面直线。石和g厂所成角的余弦值是。.

8.已知椭圆C：「+与=1（a>6>0）的左、右焦点分别为月，B，点P在椭圆C上，「心的延

ab

长线交椭圆C于点Q,且归E|=|尸Q|,APE8的面积为〃，记与-和鸟的面积分别为M，S

则寸*=（）

A.41BT+1c.V2+1D.2

【答案】c

【解析】

【分析】由三角形面积和余弦定理得到1+3/月「8=5诂/4/）工，求出/耳。6=1，归周=归。=加,

所以闺Q|="〃，由椭圆定义求出其他边长，得到"7=4"2缶，求出归国=（2行-2,,

I。闾=（6—4后）a,所以\=篙^=0+1.

【详解】不妨设|尸耳上加，焦距/q=2c,

＞

由鸟的面积为〃，得3根“V!1/4/月!=/?2,

由余弦定理，得国闾2=\PFf+\PF^

}-2\PF^PF^COSAFXPF2,

则4。2=疗+〃2_2mncosAFXPF2-{m+nf—2mn(l+cosZFiPF2)

2

=4a-2mzi(1+cosZF{PF2),

222

所以mn(l+cosZFiPF2)=2a-2c-2b,即mn(l+cosZFiPF2)=rrmsinZFiPF2,

jr

所以1+cosNGPB=sinNf；Pg,所以后sinNEPg—；=1,易得N《Pg=5,

|「耳|=|P@=/,所以闺Q|=0m,

所以|尸闾=2a-m,由椭圆定义知|。闾=2a—夜7〃，

所以|P0=|P£|+|。引=4a—（啦+1”=相，所以加=4a—2缶，

所以明|=（2行-2）a,|Q闾=（6-40）a,

所以S「附|一（20一2）。

所入2一|网下-40）a=V2+1.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知。=(1,一1,一1),=(-2,2,0),c=(2,l,-3),则()

A.|a+^|=\/3B.(a+b)(a+c)=-6

C.(q+26)J_cD.a〃(2c-))

【答案】AC

【解析】

【分析】由向量模、数量积的坐标公式，以及向量共线定理逐一判断每一选项即可求解.

【详解】«+Z?=(-l,l,-l),所以卜+0=6，A正确；

a+c=(3,0,T),所以(a+Z?》(a+c)=—3+0+4=1,B错误；

a+2Z?=(-3,3,-l),[a+2Z?j-c=-6+3+3=0,所以(a+2Z?)J_c,C正确；

2c4=(6,0,—6),不存实数2,使得a=4(2c—切，故。与2c—人不平行，D错误.

故选：AC.

10.己知OG：(x+2y+y2=1，C2：(%—2)2+y2=],彳〉0,弓〉o,则下列说法正确的是()

A.若A,3分别是：。与；工上的点，贝1]|46]的最大值是4+4+4

B.当(=2,々=3时，6与1。2相交弦所在的直线方程为％=3

8

C.当4=2时，若(上有且只有3个点到直线"-y-2左+夜=0的距离为1,贝心=1

D.若CG与，：G有3条公切线，贝IJ也的最大值为4

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，求出圆心距，得到|A目的最大值；B选项，先得到两圆相交，两圆相减得到相交弦方程;

C选项，先得到点。2到直线近-y-2左+0=0的距离为1,由点到直线距离公式得到方程，求出答案;

D选项，a与外切，从而得到彳+2=4,利用基本不等式求出答案.

【详解】A选项，由题意可知G(—2,0)，G(2，°)，所以|GG|=4，

又A,3分别是。与。G上的点，所以|A目的最大值是，+々+4,A正确；

222

B选项，当弓=2,4=3时，G：(x+2)+y=4,C2：+y=9,

由于圆心距为|。1。21=4,而3—2<|GG|<3+2,故两圆相交，

两圆方程相减得-8%=5,

故相交弦所在的直线方程为x=-之，B错误；

8

C选项，当2=2时，若G上有且只有3个点到直线近-y-2k+0=0的距离为1,

l12左-0-2左+百

则点G到直线近-y-2左+JI=0的距离为1,所以J------；.........——1=1，

vF+i

解得发=±1,c错误；

D选项，若与有3条公切线，则二C1与。。2外切，即4+2=4,

所以彳=4,当且仅当彳=马=2时等号成立，D正确.

故选：AD.

11.已知倾斜角为2的直线/经过抛物线C：y1=2px（。>0）的焦点口，且与抛物线。交于A,5两

点（点A在第一象限），与抛物线。的准线机交于点。，则（）

A.以A尸为直径的圆与V轴相切B.准线加上存在唯一点。，使得QA・03=0

BDAF

D.=2

BF~BF

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意作出图形，利用数型结合及抛物线的知识及定义逐项判断即可求解.

【详解】对于A：设A（XQJ,B（x2,y2）,FR,0,"的中点为

由抛物线的定义，得|AF|=%+gA厂的中点到y轴的距离为^^加,

故以■为直径的圆与y轴相切，故A正确；

对于B：陷=|叫+|即=%+%+，A3的中点到准线的距离为生产阴,

因此以AB为直径圆与准线相切，故准线加上存在唯一点。，使得QbQ3=0,故B正确;

TT

对于C、D：如图所示，过点A,8作准线加的垂线，垂足分别为点E，M,由倾斜角为一,

3

\BM\.兀

可得=设忸同=S,则忸M|=S因为sin/MDB==sin—,

BD6

..\BD\

所以做|=2s,高=2,故c正确;

,,,,\AE\t.兀

^\AF\=t,则|AE|=/,因为sinNMDB=^=-----------=sm—,

t+s+2s6

।।|AF|

所以/=3s,所以|AE|=3s,所以代才=3,故D错误.

故选：ABC.

12.“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边

长从小到大分别为斐波那契数列｛耳｝,其中耳=1,&=1,骂=2,玛=3,…，小正方形的面积从小

到大记为数列｛4｝,小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列｛2｝,则（

*■鸟023=工025

A，F2023B.E^—1

=

C.0^+a2-\F42023=^2023^*2024D.bx+b2HH^20238023片024

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，先得到片+2+4一2=3片，代入"=2023,求出A错误；B选项，由数列规律得到B正

确；C选项，先得到%=FnFn+1-Fn_xFn,从而裂项相消法求出C正确；D选项，先得到优=:工2=：4

结合C选项，求出D错误.

【详解】A选项，因为工+2=工+1+工=2/+工Fn_2=Fn-Fn_{,

所以工+2+工.2=（2工+工"+（工一工"=3工,

令〃二2023,得名021+-f2025—3心）23,

所以a2广/25=3,A错误；

‘2023

B选项,£+鸟+…+月023=（鸟-笈）+（胤一4）+…+（凡025-项24）

=F?025_B=鸟025—1，B正确；

C选项，%=42=耳（F：=FFn+l-F“3，

所以％+〃2T-----）。2023

=邛+（玛用一）+（耳耳—耳骂）+…+（&23&24—^022^023）

=^2023^20249C正确；

D选项,优=弓工2=14，

兀7L

所以。1+/?2^-----^^2023=1（。1+。2-----[2023）=]乙023&024，D错误.

故选：BC.

【点睛】斐波那契数列的性质：（1）S〃=/+%+那++4=4+2—1；

（2）4+/+%++。2〃-1=。2〃；

（3）a2+a4+a6++a2n=a2n+1-1；

（4）a3+a6+aQ++a3n=-（«3„+2-1）；

（5）an_2+an+2=3an；

2

（7）an=an+1an-anan_„

（8）dn+cin+l=”2〃+i；

（9）a；+a；+a；++a：=atlan+x；

（10）—=4T+4+I

an

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知数列｛。,｝是等差数列，/+%+4=—30,则1+%=.

【答案】-141

【解析】

【分析】直接由等差数列的运算性质运算即可.

【详解】根据等差数列的性质，得/+%+41=3%=—30,所以％=—及，所以

%+4=2%=-242.

故答案为：-2式.

14.已知过原点。作圆C：（x-4）2+（y-3）2=9的两条切线，切点分别是A,B,则cosNAOB=.

7

【答案】—##0.28

25

【解析】

【分析】先计算出圆心和半径，进而得到sinNAOC,利用余弦二倍角公式求出答案.

【详解】由题意知，圆C的圆心坐标为（4,3）,半径厂=3,

所以|OC|=j42+32=5,sinZAOC=J^=|,

Q7

所以cosZAOB=cos2NAOC=1—2sii?NAOC=1—2义一=一.

2525

7

故答案为：—

25

15.已知点P（知九）是抛物线x2=6y上的一个动点，则屈y°+上手+|3%+2%+10|的最小值是

【答案】13

【解析】

【分析】作出辅助线，结合焦半径和点到直线距离公式，数形结合得到当斤，P,6三点共线时取得最小

值，即为+=+医巧”叫之而，得到答案.

7?h

T，根据长度关系得到cos/巧。=—,然后在借助余弦定理得到一，从而得到答案.

a

【详解】

b

直线/:y=——九垂直，渐进线方程为

a

c=园",

bx+ay^O,设垂足为T，।山,I=亍\~；^\,

C

因为|0周=。，所以|0月=〃2—加=a，所以cos/SO=g,

因为|PQ|=|QK|，由双曲线的定义得|Q耳HQKHPQ|+|P耳HQ/IT尸制=2"，

|P^|-|P^|=2a,\PF2\=4a,

阀f+闺用2_归e「

在耳鸟中,cosNTFQ=

21P周闺居|

即人—（2a）2+（2c）2—（4a）?_4c2-12a2_4b2-8tz2

c2-2a-2cSacSac

所以Z??—2〃b—2〃2=0，所以—2x——2=0,

\aJa

所以2=1+6（2=1—6舍去）,

aa

所以e2_5=：—5=^^--5=-^-4=（1+A/3）2-4=273.

aaa'J

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义结合余弦定理得到关于的齐次方程，再结合e与

a,b的关系即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，q=7,Sn=121.

(1)求数列｛qJ的通项公式；

s

(2)令“=」,求数列｛%｝的前〃项和社.

n

【答案】(1)=2/7-1；

【解析】

【分析】(1)通过对等差数列的基本量的计算，易得数列｛4｝的通项公式；

s

(2)表示出数列a=利用等差数列的求和公式计算即可.

n

【小问1详解】

因为S"=%’=11«6=121,所以4=11.

设｛。“｝的公差为d，所以。4+2d=U,即7+2d=H,所以d=2.

所以数列｛4｝的通项公式为%=%+("—4)d=2”—1.

【小问2详解】

由⑴，得"口+⑶-1)]〃3

n2

所以2=口=〃，-优=1，所以数列也｝是首项为1,公差为1的等差数列.

n

所以数列抄“｝的前〃项和Tn=

18.已知圆好+V+2x=0的圆心尸是抛物线C的焦点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/交抛物线C于A,3两点，点？(―2,—1)是A5的中点，求直线/的方程.

【答案】(1)y2=-4x

(2)2x—y+3=0

【解析】

【分析】(1)由圆心P是抛物线。的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程;

(2)利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.

【小问1详解】

圆炉+V+2x=0的方程可化为（x+以+/=1,故圆心的坐标为F（-1,O）.

设抛物线。的方程为V=—2内（。＞0）,所以一勺―1,所以。=2,

所以抛物线C的方程为：/=-4x.

【小问2详解】

1

设4（石,y）,B（x2,y2）,则＜两式相减,得y；—y；=—4（%—々）,

%=—4%2，

即（％+%）（%_%）=-4（%—%），所以直线I的斜率k=七色=

A1一九2%十%

-4

因为点P（—2,—1）是AB的中点，所以为+%=-2,所以左==2

X+%

所以直线/的方程为y+l=2（x+2）,即2x—y+3=0.

TT

19.在菱形A3CD中，NBAD=—,AB=2,将菱形A3CD沿着3D翻折，得到三棱锥A—BCD如图

3

所示，此时AC=#.

（1）求证：平面ABD_L平面5CD；

（2）若点E是CD的中点，求直线助与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

5

【解析】

【分析】（1）取的中点。，先证明线面垂直即。4,平面BC。，然后证明平面平面

（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求解直线3E与平面ABC所成夹角.

【小问1详解】

7T

证明：因为四边形A3CD是菱形，NBAD=—,

3

所以54。与.6CD均为正三角形，

取3D的中点。，连结。4,0C,则。

因为AB=2,所以。A=OC=指，

因为042+002=6=人。2,所以CHLOC,

又BDcOC=O,5。,。。＜=平面5。。，所以。4,平面5CD.

因为OAu平面ABD,所以平面平面5cD.

【小问2详解】

y

由（1）可知，OA,OB,OC两两垂直，以。为坐标原点,

OB,OC,Q4所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则入（0,0,6）,5（1,0,0）,C（0,V3,0）,0（—1,0,0）,

（1石）

因为E是CD的中点，所以E--,^-,0,

I22J

所以BA=（—1,0,6）,BC=（-1,^,0）,BE=,

I22

..、BA-m=-x+A/3Z=0,

设加=（x,y,z）为平面ABC的一个法向量，贝叫r

BC・m=-x+{3y=0,

令y=i,得％=石,z=i,所以机=

373A/3

22

所以m)=BE-m_

两同超又至5

设直线3E与平面ABC所成角为。，则sin，=cos(=M

BE,m一彳‘

所以直线班与平面ABC所成角的正弦值为好

5

V2y2

20.已知椭圆C：J+=1(a>6>0)的左、右焦点分别是K，F,左、右顶点分别是A，

a2

上、下顶点分别是耳，B2,四边形^男儿员的面积为24,四边形片与心鸟的面积为6J7.

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线/：、=丘+〃?与圆。：f+/=4相切，与椭圆。交于M,N两点，若△MON的面积为

随，求由点M,N,B],为四点围成的四边形的面积.

3

22

【答案】(1)土+匕=1

169

⑵875

【解析】

分析】(1)根据题意列方程组中分别求出名仇c,从而求解.

(2)将直线y=+m与椭圆C方程联立，结合韦达定理从而求解.

【小问1详解】

—x2ax2b=24-

2

设椭圆。的焦距为2c,根据题意，得《—X2CX2Z?=6A/7,

2

a2=b2+c2

_22

解得a=4,b=3,c=J7,所以椭圆C的方程是上+匕=1.

169

【小问2详解】

设Af(4%),N(9,%)，

因为直线/与圆。：必+丁=4相切，所以上L=2,所以/=4伏2+1).

y/k2+1

联立v"+16y144得(9+16左2)%2+32^71%+16/-144=0.

y=kx+m1'

因为圆0在椭圆C内部，所以△>()恒成立.

a”32km16m2-144

所以玉+/=--—T~2，XlX2=--------厂

12

9+16左29+16左2

32km

=J1+左214rx合

9+16左2

所以_MQV的面积S=！x2x24jiIF业至卫=更，即44人,十乡人2=。，解得左=o,

29+16423

此时直线/_Ly轴，所以

所以四边形MB.NB,的面积为gx|M2V|x国名|=gx竿x6=

【点睛】关键点睛：(2)问中利用直线与椭圆C联立后应用韦达定理求出弦长，从而求解.

21.已知数列｛。“｝的前〃项和为S“，=-|,Sn=^-^-an,bn=tan(an)tan(an+1).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛勿｝的前2024项和5024.

兀

【答案】21.ctn=-n;

—

22.7^024—2025.

【解析】

【分析】（1）根据％与S“的关系可得组=4旦，进而得到数列｛%｝的通项公式;

nn-1

（2）表示出数列｛%｝,利用裂项相消法即可求5024.

【小问1详解】

F7+1W

因为所以当心2时，品=5%.

所以S“-3与即一等储％,所以与

所以组=也，所以数列1%］是常数列，所以2=幺=4,所以q=巴〃，

nn-1InJn155

即数列｛4｝的通项公式为a“

【小问2详解】

所以a=tan(%)tan(%)=tan

(27171](3K2TI](2025K2024K

tan------tan—+tan------tan——N-----Ftan----------tan---------

…~~~5-----2024

tan—

5

20257c兀

tan----------tan—

-------------------—2024=-l-2024=-2025.

71

tan—

5

22.在平面直角坐标系九0y中，已知动点“（2加,根）、N（2〃,-〃），点G是线段MV的中点，且点

在反比例函数y=工的图象上，记动点G的轨迹为曲线E.

X

(1)求曲线E的方程；

(2)若曲线E与x轴交于A、8两点，点S是直线x=l上的动点，直线AS、5s分别与曲线E交于点

P、Q(异于A、B).求证：直线过定点.