高中数学一轮复习 集合的含义与表示

第2.1章

2.1.1集合的含义与表示

鳖课程要求了解■求心中有敷

1了解集合的含义;，体会元素与集合的“属于”关系；

高中要求2针对不同的具体问题，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法

或描述法）加以描述.

L.U基础知识夯实基础，■立完整知识体系

1元素与集合的概念

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构

成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.

2集合的元素特征

①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故"帅哥"不能组成集合.

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大“"熊二"，以视区别.

若集合4=｛1,2,a],就意味a41.且aK2.

③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.

Eg：高一（1）班每月都换座位也改变不了它是（1）班的事实，｛1,2,3｝=｛2,3,1）.

3元素与集合的关系

若a是集合力的元素，则称a属于集合4记作a€力；

若a不是集合力的元素，则称a不属于集合力，记作a《4

Eg：菱形C｛平行四边形｝,OGN,0g（1,2,3,4）.

4常用数集

自然数集（或非负整数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；实数集，记作已

5集合的分类

有限集，无限集，空集0.

Eg：奇数集｛x|x=2n+1,nEZ｝属于无限集，｛xeR\x2+1=0｝=0.

6集合的表示方法

①列举法

把集合中的元素一-^列举出来，并用花括号"｛｝”括起来表示集合的方法叫列举法.

②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：｛尤eA\P（x）｝.

用符号描述法表示集合时应注意：

（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

（2）元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真,

而不能被表面的字母形式所迷惑.

⑶Eg

果口元素化简结果

{x|%2—%—2=0}方程/一比一2=0的解{-1,2}

{x|x2—%—2<0}不等式/一久一2<0的解集[%|—1<%<2]

{x\y=%2—%—2}函数y=%2-x-2中工取值范围（定义域）R

9

{y\y=x2—%—2}函数y=%2-%-2中y取值范围（值域）{y\y>--7)

{(x,y)|y=%2—%—2}函数y=%2-%-2的图像上的点——

看集合先看元素类型.

搂经典例题从典例中见修修筋力

【题型1】集合元素的特征

【典题1】下列说法正确的是（）

4数学成绩较好的同学组成一个集合；

8.所有小的正数组成的集合；

C.集合口，2,3,4,5｝和｛5,4,3,2,1｝表示同一个集合；

D.1,0.5,|,这些数组成的集合有五个元素.

解析由于"较好"、"小的"没有一个明确的标准，4,8的对象不具备确定性;

。中的。.5,三个数相等，|,初等，故集合只有3个元素;

集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.

变式练习

1.下列选项能组成集合的是()

A.著名的运动健儿B.英文26个字母C.非常接近0的数D.勇敢的人

答案B

解析著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；

英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；

非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；

勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；

故选B.

2.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

答案D

3.下列所给的对象能构成集合的是.

(1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近1的正整数全体；

(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)3,s讥30。，V7.

解析(1)能，集合元素是直角三角形；

(2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；

(3)不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；

(4)能，集合元素是“16岁以下的学生”；

(5)不能，s出30。=',有两个数字重复，不符合元素的互异性.故答案是(1)(4)

【题型2】元素与集合的关系

【典题1】已知集合4含有两个元素a—3和2a—1,若一364，则实数a=.

解析—3GAf—3=a—3或一3=2a—1.

若—3=a—3,则a=0,

此时集合4含有两个元素-3,-1,符合题意.

若一3=2a—1,则a=-1,

此时集合4含有两个元素-4,-3,符合题意.

综上所述，满足题意的实数a的值为0或-1.

变式练习

1.下列所给关系正确的个数是()

①兀6R；②百0Q；③OCN*；④I—4|£N*.

答案B

解析①②对，故选B.

2.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系中正确的是()

A.0EM,2eMB.0gM,2eMC.0eM,2?MD.0gM,2M

答案B

解析当x=0时，3-2x=3>0,所以OEM；

当％=2时，3-2%=-1<0,所以2CM.

3.对于集合4={2,4,6},若aeA,贝lj6-a64,那么a的取值是.

解析当a=2,4满足题意，当a=6时，6-6-0A.

4.已知非空集合M满足：若％CM,则CM,则当4CM时，集合M的所有元素之积等

1-X

于.

答案一1

解析依题意，得当4CM时，有二=—从而总===4CM,

1-43+1-4

于是集合M的元素只有4,；所有元素之积等于4x(-：)x*=—1.

【题型3】集合的表示

【典题1】用列举法表示下列集合

(1)11以内偶数的集合；

(2)方程(久+1)(%2-4)=0的所有实数根组成的集合；

(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合.

解析(1)[2,4,6,8,10);

(2)解方程(x+1)(——4)=0,得Xi=-1,x2--2,x3=2,

故方程(x+1)(%2—4)=0的所有实数根组成的集合为{-2,—1,2}；

'y=2xfs(x=1

,y=x+严(y=2

因此一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点为(1,2),故所求的集合为{(1,2)}.

【典题2】设集合B=fxGN|-^GN).

I2+x)

⑴试判断元素1,2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.

解析(1)当%=1时,信=2EN.

当％=2时，2=^=g£N.因此1WB，2史B.

(2)-^―EN,%EN,•,・2+%只能取2,3,6.

2+x

・•.X只能取0,1,4,B={0,1,4).

【典题3]若集合A^{x\ax2-ax+l<0]=0,则实数a的取值集合为()

A.{a|0<a<4}B.{a|0<a<4}C.{a|0<a<4]D.{a|0<a<4]

解析当a=0时，不等式等价于1<0,此时不等式无解；

当a70时，要使原不等式无解，应满足

即忧°4"0,解得。<。<心

综上，a的取值范围是[0,4).

故选：B.

变式练习

1.集合尸={x\x-2k,kGZ},M={x\x=2fc+1,fcEZ},S-{x\x=4fc+1,kEZ],aGP,

bEM,

设。=a+b,则有()

A.CEPB.CEMC.CESD.以上都不对

答案B

解析aeP,bEM,c=a+b,

设a=2k],匕EZ,b=2fc2+1，k2cZ,

c=2kl+2k2+1=2(ki+fc2)+L

又k]+k,2€Z,cGM.

2.已知集合4={户+s2|t,seZ},且久c4yeA,则下列结论正确的是()

A,x+yEAB.x-yeAC.xyEAD.A

答案C

22

解析,・,集合/={t+S\tfSEZ},

IEA,2E/,1+2=3£4故4“％+yEZ”错误；

又•・•1-2=—1£4,故B:f/x-yG4'错误；

又二金力，故D：“工64”错误；故选c.

2y

(为什么％yeA2令％=产+s2,y=4+S，

22222

xy=(t+S)(ti+S。=tt1+tsl+Stj+S2s彳=(tSi+Stj2+(tt1—SS1)2e4)

3.集合力=(x,xy,xy-1],其中久eZ,yeZ且y40,若0e力，贝i|4中的元素之和为.

答案0

解析因为0C4所以若x=o,则集合4={0,0,-1}不成立.所以XK0.

若因为y#o,所以xyK。，所以必有xy-1=0,所以xy=l.

因为无eZ,yeZ,所以x=y=1或乂=y=—1.

若x=y=l,此时4={1,1,0}不成立，舍去.

若x=y=—1,则力={-1,1,0},成立.

所以元素之和为1-1+0=0.

4.用列举法表示集合M={m\eN,mEZ]=；

答案M=[0,1,2,3,5,11}

解析・.・含eN,rnez；M={0,l,2,3,5,ll}.

5.设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：

⑴对M中任意元素a,b,c都有(a#b)#c=a#(6#c)；

(2)对M中任意两个元素a,b,满足a#6eM.

则称M对运算#封闭.

下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为,

1{-2,-1,1,2}②{1,-1,0}③Z④Q.

答案②③④.

解析(1)的意思是满足结合律，(2)的意思是两个元素运算后还属于原集合的.

①中，当a=-1,b=l时，a+b=0《{-2,—1,1,2},

当a=—2,6=2时，axb=14《{-2,-1,1,2},

故①中集合对加法和乘法都不封闭，

②中集合M={1,-1,0}满足：(1)对网中任意元素(1,6,£：都有(£1+b)+c-a+(b+c)；

(2)对M中任意两个元素a,6,满足a+beM.

故②中集合对加法运算封闭，同理可得对乘法运算也封闭；

③中集合“=2,整数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，整数加整数，整数

乘以整数还是整数，满足第二点，故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭；

④中集合M=Q,有理数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，有理数加有理数,

有理数乘以有理数还是整数，满足第二点，故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭；

故答案为：②③④

6.用描述法表示下列集合：

(1)大于一3且小于4的所有自然数组成的集合；

(2)不等式/一2久一3<0的解集;

(3)\(阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合)

答案(1)用描述法表示为｛%&N\-3<x<4]；

(2)用描述法表示为｛xeR\x2-2x-3<0｝；

(3)用描述法表示为｛(无,丫)|且一2WyW0｝.

7.若集合/=(x\ax2+2%+1=0,aeR｝至多有一个元素，求a的取值范围.

答案｛a[a=0或a>1｝

解析,・・集合4=｛x\ax2+2%+1=0,a€R｝至多有一个元素，

，a=。或1力?”「°，解得a=0或a21,

(△=4-4a<0

・•.a的取值范围是｛a|a=0或a>1].

故答案为：｛a\a=0或a>1｝.

轻松训练通过练习，IHE9IS力

1.下列各组对象能构成集合的是()

A.充分接近的所有实数B.所有的正方形

C.著名的数学家D.1,2,3,3,4,4,4,4

答案B

解析选项人C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满

足集合的互异性.故选：B.

2.集合｛x-I,%2-1,2｝中的x不能取得值是()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析根据集合元素的互异性，x-1力/—1力2,可以把2BCD四个选项代入集合用排除

法.

3.已知集合4=｛x|2x+a>0｝(aeR),且IC力，2eA,贝！]()

A.CL>—4B.ci<-2C.-4Va<-2D.—4Vct4-2

答案D

解析1ex,2",解得—4<aW—2,故选：D.

4.已知集合4=｛x|/一1>o｝,那么下列结论正确的是()

A.0"B.1exC.-IEAD.1WZ

解析0」一1都不是第2一1>。的解，贝|0,1,-1£4故选：D.

5.若集合4={123},8={(%,y)|%+y—4>0,%,y62},则集合8中的元素个数为()

A.9B.6C.4D.3

答案D

解析通过列举，可知居4的数对共9对，

即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9种，

B={(%,y)\x+y—4>O,x,yGZ},

••・易得(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y—4>0,

二集合B中的元素个数共3个.故选：D.

6.已知力={4一2,2&2+5d12}且一36力，则由a的值构成的集合是.

答案{-|)

解析V-3eA,A={a-2,2a2+5a,12}；

&-2=-3f2a2+5a=-3

2a2+5a中一3或，a—2力—3>解得a=-

.2a2+5a12(a—2力12

故答案：{—1}.

7.已知含有三个实数的集合既可表示成{a3,1},又可表示成{a2,a+b,0},则

a2017+炉°18=.

答案-1

解析根据题意，由{a,g,l}={a?,a+6,0}可得a=0或g=0,

又由2的意义，则aHO,必有2=0,则b=0,

aa

贝Ka,。［}={a2,a,0),

则有a?=1,即a=1或a=—1,

集合{a,0,1}中，a」l,则必有a=—l

贝以2017+按018=(-1)2017+02018=_「

8.试分别用列举法和描述法表示下列集合：

⑴方程/-久-2=0的解集；(2)大于一1且小于7的所有整数组成的集合.

解析(1)方程久2-“一2=0的根可以用x表示，它满足的条件是/一万-2=0,

因此，用描述法表示为{xeR|/—%—2=0}；

方程/—万一2=0的根是—1,2,因此，用列举法表示为{—1,2}.

(2)大于一1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x6Z且—1<x<7,

因此，用描述法表示为{%eZ|-l<x<7};

大于一1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6,因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}.

9.设集合2-{m\^EN,mEN,m<10}.

(1)试判断元素1,2与集合4的关系；(2)用列举法表示集合A

答案(1)1271；2C4(2)4={2,5,8}

解析(1)当m=l时，满足mCMznWlO,而m=—故104；

当