2024年中考数学总复习专项培优训练-专项十八三点共线与三线共点

专项十八三点共线与三线共点

关键词一三点共线

思路：①如图①，在几何图形中，要证明A,B,C三点共线，只需证明NAB。+ZCBD=

180°；②如图②，在平面直角坐标系中，可先求出直线A8的解析式，再把点C的坐标代入，

若点C的坐标满足直线AB的解析式，即可说明三点共线(或证kAC=kBC).

速型题训级

1.如图，在矩形ABC。中，AB=a,8C=b,且6=(4+l)a.

(1)在BC边上求作一点M,使得NAMB=30。；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，AN平分NBAM,AN=2a,连接MN,MD,求证：MN三点共线.

A.-----------

R--------------------V

（第1题）

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,3分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的点，C是矩形

AOBC的顶点，M是03的中点，A，是A关于龙轴的对称点.求证：4,M,。三点共线.

A-----iC

~0M~~Bx

4

(第2题)

3.如图，在等边三角形ABC中，。是边3C上一点，连接ADE是线段AO上一点，且满足

BD2=DEAD,已知线段AP是由线段AE绕点A逆时针旋转60。得到的.

(1)在图中作出线段AP；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接BE,EP,求证：B,E,P三点共线.

(第3题)

关键词二三线共点

思路：要证明AB、CD、EF三线共点，可以先设AB与CD的交点为P,再去证明EF经过点

P,即转化为E、F、P共线问题，因此三线共点问题实质是三点共线问题.

项繭沛錮

'------

4.如图，QA8CD中，M,N分别是A8,CD的中点，求证：直线MMAC,8。相交于同一

点.

（第4题）

AMCN

5.如图,在四边形ABC。中，AB//CD,M,N分别是边AB,CO上的点，且满足前=丽.

求证:直线AC,BD,MN相交于同一点.

（第5题）

答案

1.(1)解：如图，点M即为所求.

(2)证明：如图.,四边形ABCD是矩形，.•.NB=NC=90。,

VZAMB=30°,AZBAM=60°,AM=2AB=2a,

「AN平分NBAM,AZMAN=|zBAM=30°,

VAN=2a,/.AM=AN,

,ZAMN=1(180°-30°)=75°,

VCD=CM,ZC=90°,ZCMD=1(180°-90°)=45°,

ZAMD=180°-30°-45°=105°,

AZAMN+ZAMD=180°,AD,M,N三点共线.

2.证明：设A(0,a),B(b,0).

则点C的坐标为S，a),

点M的坐标为修0),

点4的坐标为(0,—a),

设直线A'C的解析式为y=依+〃?(原0),

=,2a

—am9"b，

则_,一解得'

cikb~~।〃2,

m=­a,

...直线4c的解析式为丫=箓一%

当y=0时，丫=号

.•.点M在直线4c上，

...A，，M,C三点共线.

3.(1)解：如图，线段AP即为所求.

A

(2)证明：如图.:△ABC是等边三角形，/.ZABC=60°.

oBDDE

VBD2=DEAD,・・・］百=万百，

ADDU

又YNBDE=NADB,AABDE^AADB,

/.ZBED=ZABC=60°,

.,.ZAEB=180°-ZBED=120°.

由旋转的性质可得AE=AP,ZEAP=60°,

.•.△AEP是等边三角形，.，.ZAEP=60°,

AZAEB+ZAEP=120°+60°=180°,

AB,E,P三点共线.

4.证明：设AC,BD交于点P,直线MP交CD于点N,如图.

♦.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AP=CP,AB=CD,AB//CD,

：.ZPAM=ZPCN',ZPMA=ZPN'C,

：.AAPM^△CPM(AAS),/.AM=CN'.

,：M,N分别是AB,CO的中点，

：.AM=^AB,CN=3CD,

:.AM=CN,：.CN=CN',即MV重合，

直线MN,AC,8D相交于同一点.

5.证明：如图，设AC交8。于点尸，AC交MN于点P.

•.•AB〃CD,.,.△ABP^ACDP,△AMP,<^ACNP,,

.APABAP'AM

,,CP=CD'CP7=CN,

,.AM_CN.g^AB-