2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评三十一

核心素养测评三十一

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

巩固提升练（25分钟50分）

一、选择题（每小题5分，共35分）

|x~2,y+4■二0,

（

1.2020•台州模拟）在平面直角坐标系中，不等式组x<2,表示的平

lx+y-2>0

面区域的面积是（）

A.3B.6C.9D.12

【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图:

其中A(2,0),C(0,2),

由尸2针二2

即B(2,3),

{x~2y+4=0(y=3

则|AB|=3,AABC中AB边上的高为2,

贝IAABC的面积S』X3X2=3.

7

-1-

2.已知实数x,y满足[戊^丿在+2、丿>0,则2x-y()

(X>1,

A.有最小值,无最大值

B.有最大值,无最小值

C.有最小值,也有最大值

D.无最小值,也无最大值

【解析】选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.

设2x-y=z,则y=2x-z,z表示直线在y轴上的截距的相反数.

平移直线y=2x-z,可得当直线过点A时z取得最小值,z没有最大值.

(X+>0,

3.(2020•人大附中模拟)已知实数x,y满足｛工之°,贝%G旺亍的取值

(y>。，

范围是()

A.(0,1)B.(0,1]

x+y-1>0,

【解析】选D.实数x,y满足(X之0表示的可行域如图:

-2-

Jx：2+y2的几何意义是：可行域内的点与坐标原点的距离，可知P到原点的距离

最小，即匕一"2.

V2?

则J乂2+y2的取值范围是—,,|_8).

4.若点A(-2,1),点B(2,-1)在直线x+ay-l=o的两侧,则a的取值范围是

()

A.(1,3)

B.(-°°,1)U(3,+8)

C.(-3,-1)

D.(-8,-3)U(-1,+8)

【解析】选B.因为点A(-2,1),点B(2,-1)在直线x+ay-1=0的两侧，

所以(-2+a-1)(2-a-1)<0,

即(a-3)(1-a)<0,得(a-3)(a-1)>0,

得a>3或a<1,

即实数a的取值范围是(-8,1)U(3,+8).

5.(2019•潍坊模拟)若x,y满足约束条件一“丁y—'则z=x-2y的最大

3<x-y<6,

值为()

A.3B.6C.8D.10

f0<2x+y<6,

【解析】选D.作出不等式组一,一’表示的平面区域如图：

(3<x-y<6

-3-

J-21-0

作出直线/:x-2y=0,当直线/往下平移时，z=x-2y变大,当直线/经过点A(2,-4)

时，z=2-2X(-4)=10.

+1>0,

x-m.2<0表示的平面区域内存在点P(x°,y。)满

y-m>0

足x-2y-3=0,则实数m的取值范围是()

00

A.(-1,3)

B.⑶+8)

C.(-8,—1)

D.(-°°,-1)U(3,+8)

【解析】选C.作出不等式组对应的平面区域,

则要使平面区域内存在点P(x,y),

00

满足x-2y=3,则只需点A在直线x-2y=3的下方即可，由/"一’"2一仇c解得

00八

ly-m=0,

A(m2,m),

-4-

则点A的坐标满足x-2y>3,即m2-2m>3,

所以m2_2m_3>0,

解得:m<-1或m>3(舍去，不满足题意),则实数m的取值范围是(-8,-1).

俨>0,

7.(2019•大庆模拟)已知实数x,y满足卜>0,则z=ax+y(a>0)的最小值为

ly>2x-2,

()

A.0B.aC.2a+2D.-2

(x>0,

【解析】选D.由实数x,y满足］>0,作出可行域如图,

ly>Zx-2,

化目标函数z=ax+y(a>0)为y=-ax+z,

由图可知，当直线y=-ax+z过A(0,-2)时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值

为-2.

二、填空题(每小题5分，共15分)

x-y+1>0,

x+y-1>0,则z=2、•16)的最小值是

(x-2y<0,

-5-

x-y4-1>0

X+y-l>0对应的平面区域如图:

(x~2y<0

由z=2x•16丫可得z=2x+4y,令u=x+4y得y=-丄x+丄u,平移直线y--—x+—u,

由图可知当直线y=-lx+-u经过点A叱直线在v轴上的截距最小，此时u最小，z

Aa

也最小.

由x-2y=。，解得A化,

L+y-l=0,屋"

21

此时z=23,163=4.

答案：4

【变式备选】

jx-2y+4<0

已知X,y满足约束条件］X21，则Z=x+2y的最小值为

晨+y-5>0

(x-2y+4<0

【解析】由约束条件［工>1作可行域如图，

(jc+y-5>0

-6-

联立X—2y+4二°，解得A(2,3),由图可知，当直线z=x+2y过A时，z有最小值

lx+y-5=0,

为2+2X3=8.

答案：8

x+2y-5>0,

9.若点M(x,y)(其中x,y£Z)为平面区域12x+y-7>0,内的一个动点，已知

x>0,

、y30

点A(3,4),0为坐标原点,则OA,而的最小值为.[

[解析】因为点A坐标为(3,4),点M坐标为(x,y),

'x+2y-5>0,

所以小赤・原=3x+4y,作出不等式组(2x+y-7>0,表示的平面区域,

x>0,

UNO

-7-

如图所示，其中12“一尸=°,可得B⑶1）,将直线/：z=3x+4y进行平移，可得

\x+2y-5=0,

当/经过点B时，目标函数z有最小值,z=3X3+4X1=13.

最小值

答案：13

x-y+120,

x+y-l>0,实数x,y构成的平面区

3x^y-3<0,

域的面积等于,则目标函数z=2Ix-y的最大值是.口

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）.

由产厂1=°，解得B(1,0),

-3=0,

由八一)'+1=°'解得人(2,3),同理C(0,1),

、3%-y-3=0,

满足条件的实数x,y构成的平面区域的面积等于:虫X2-LX1X1-1X1X3=2.

222

由z=2x-y得y=2x-z.平移直线y=2x-z,

由图可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z在y轴上的截距最小，此时z

最大.

代入目标函数z=2x~y得z=2X1-0=2.

-8-

即目标函数z=2x-y的最大值为2.

答案:22

缥合运用练（15分钟30分）

（2x-y+2>0,

1.（5分）已知平面区域。」X2+y2W9,Q:（x+y<0则点P（x,y）£%是

（y+2>0,

P（X,y）£Q的（）

2

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.平面区域Q:X2+y?W9表示圆以及内部部分；

1

（2x^y+2>0,

:

°2K+y<0,的可行域如图三角形区域：

ly+2>0

则点P（x,y）£0是P（x,y）£Q的必要不充分条件.

12

2.（5分）如图，阴影表示的平面区域W是由曲线x-y=0,X2+y2=2所围成的.若点

P（x,y）在W内（含边界），则z=4x+3y的最大值和最小值分别为（）

-9-

A.5V2-7B.5日,

C.7,-5^/2D.7,-7

【解析】选A.由题意可知平移直线0=4x+3y,当直线经过A时取得最小值，平移

到与X2+y2=2相切于B时,取得最大值,A(T,T),最小值为-7;

由口/+=2可得：25X2-8ZX+Z2-18=0,

Ax+3y=z

Z

△=642-4(Z2-18)X25=0,

解得z=5短,z=-5\/2(舍去)，所以z=4x+3y的最大值和最小值分别为5^>2,-7.

3.(5分)定义min{a,b}=[n?a->由集合{(x,y)|0WxW2,OWyWl}确定的区

3,a>b,

域记作Q,由曲线C:y=min{x,-2x+3}和x轴围成的封闭区域记作M,向区域Q内

随机投掷12000个点，则落入区域M的点的个数估计为

()

A.4500B.4000C.3500D.3000

【解析】选A.试验包含的所有事件对应的集合

Q={(x,y)|0WxW2,0WyW1},则S=2X1=2,

Q

满足条件的事件为

(|[0<y<^0<x<1、

o<y<-2z+3,l<x<^

-10-

画出函数的图象，如图所示:

根据图象计算所求的概率为P旦工卫，所以落入区域M的点的个数为

1x?R

12000x1=4500（个）.

[«+b~2>0,

4.（5分）若实数a,b满足0则生铛的取值范围是.

Q<1,

n

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）:

则匕当:（2）2一3・2,其中？的几何意义为阴影部分的动点（a,b）与定点原点连线

\n/na

的斜率k的取值范围.

由图可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小,

a+b-2=0,

V解得B13

lb-a-1=0,7?

-11-

所以BO的斜率k=3,由a=1可得A(1,1),0A的斜率k=1,所以1WkW3,则

a+b2

答案：-2,o

.4.

【变式备选】

(y-r<o,

已知变量x,y满足约束条件，x+v-2>0设z=0的最大值和最小值分别是

I丿一，2V+X

\2x-y~2<0,

M和m,贝！JM+m=.

【解析】变量x,y满足约束条件

y-1<0,

x+y-2>0,

2x-y-2<0,

可行域如图：

A(1,1),B

y

z二二空二二上,凹的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，上£，，1],令

2y+x—+1rYL?J.

X

.，

-12-

贝Iz二'二-二L_l_,因为t£卩il，

4t+2e[4,6],--5_e-I--

at+7LA'6.

所以丄—一5_£|~一3-ll,

2lt+7L『R」

z=E主的最大值和最小值分别是M=±,

2y十文3

m=--,则M+m=--.

4