利用导数研究能成立问题-2024年新高考数学（解析版）

利用导数研究能成立问题--2024年新高

考数学(解析阀।

利用导数研究能成立问题

1.(2023•全国•高三专题练习)设函数/Q)=(a—a2)x+Inrr——(a€R).

(1)讨论函数/3)的单调性；

(2)当a=1时，记gQ)=幻'Q)+x2+l,是否存在整数t,使得关于x的不等式t>gQ)有解？若存在，请求出t的最

小值;若不存在,请说明理由.

2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(c)=ex+(l—a)x—Ina•lnrc(a>0).

(1)若&=6,求函数/Q)的单调区间；

(2)若不等式/(c)VI在区间(1,+00)上有解，求实数a的取值范围.

a

(2023•河南•校展考模拟覆测)已知函数/Q)=+21nx(a>()),g(;r)=xi—xi.

⑴当a=l时,求函数八为的单调区间;

(2)若对于任意的刈C(0,2],都存在X2e[1,2],使得电/(刈)>g(g)成立，试求实数a的取值范围.

4.(2023•全国•模拟fi(测)已知函数/®=aln；r+2c2—2(aCR).

(i)讨论函数/Q)的单调性；

(2)若函数/⑺在c=1处的切线方程为y=8x-8，且当对于任意实数4G[-1,2]时，存在正实数%"使得

A(XI+X-2)=/(XI)+/(亚)，求为+g的最小正整数值.

5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(0=csinc+cosc,xE[—兀，兀].

(1)求/Q)的单调区间与最值；

(2)若存在gG[0,兀]，使得不等式/(g)＞矶鬲+1)成立,求实数Q的取值范围.

&(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(4)=ax^-b^-Qx—1在①=—1处取得极值4.

⑴求Q,b的值；

(2)若存在必e[2,4],使3/1-才成立,求实数4的取值范围.

7.(2023春•广东阳江•高二校考•阶段练习)已知函数/Q)=41nz—加+乌土-a>0).

X

(1)当a=:，求/Q)的极值.

⑵当a>1时，设g®=2ex-4x+2a,若存在附联仁,2〕，/(g)>g(g)，求实数a的取值范围.(e为自然对数

的底数，e=2.71828…)

8.(2023•四川成都,成考二模)已知函数g(c)=ax—a—lnx,f(x)=叱(6),且9(。)>0.

(1)求实数a的值；

(2)证明:存在g,/(g)=0且0VgV1,0V/V1时,f(x)</(x0).

9.(2023•河南•统考三模)已知函数/(2)=coss-/,其中&£凡/

(1)当a=—£时,求函数/(为的值域；

⑵若函数/Q)在［一半引上恰有两个极小值点为，g,求a的取值范围；并判断是否存在实数a,使得/3-d)

=1+/(g—%>成立？若存在，求出a的值;若不存在,请说明理由.

10.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/⑵=-2alnx——,g(x)=ax—(2a+l)lna:-2,其中aCR.

XX

(1)若W=2是函数/3)的驻点，求实数a的值；

⑵当a>0时,求函数gQ)的单调区间;

(3)若存在疝［^相［(e为自然对数的底)，使得不等式/(c)£g(⑼成立,求实数a的取值范围.

11.(2023春•天津和平•高*才期中)已知函数/Q)=①一alnc,g⑺=一上旭(&>0).

X

(1)若a=1,求函数/(多)的极值；

(2)设函数五(函=/Q)一9(c),求函数九Q)的单调区间；

(3)若存在例6[1,e],使得/(伤)<g(x())成立，求a的取值范围.

12.(2023•上船企山•上海学校才模拟覆测)已知曲线夕=lnQ+m)与立轴交于点P,曲线在点P处的切线方

程为V=/Q),且/(I)=2.

(1)求夕=/(c)的解析式；

(2)求函数gQ)=与的极值；

e①

1-12

⑶设无(n)=卜,+(1—a)ln*+1,若存在实数/住口⑹，[e,l]2h(xl)<x^nX9-i(a—1)力21n%+g成

x

立,求实数a的取值范围.

13.(2023•重庆•直庆南开中学校考模楸覆测)对于定义在。上的函数尸(c),若存在的6。，使得F(g)=g,则称g为

F(x)的一个不动点.设函数J'Q)=Q—l)e"—aln/+c,已知x0{x0^1)为函数/(£)的不动点.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若k€Z,且kx0<a对任意满足条件的比成立,求整数k的最大值.

21

(参考数据：ln2«0.693,ln3«l.l,e3«1.95,e2«7.39,e%4.48)

14.(2023•全卧南三专题练习)已知函数/(⑼=x2+a(x—Inc)—蚂(e为自然对数的底数),a,bER.

X

(1)当6=0时，讨论/(c)在(0,+8)上的单调性；

⑵当b=1时,若存在xG[l,e],使/(2)>0,求a的取值范围.

15.(2023春•辽宁气冷•高二曷园县第一高级中学统考期中)已知函数/(⑼=aQ+l)ln；r—(a+l)(c—1).

(1)若a=1,讨论/(⑼的单调性；

(2)若:rC(0,1),〃c)V(),求a的取值范围.

16.(2023•天津•天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟演测)已知函数/㈤=Inx+-^―(m>0),g(c)=与-,

mxx

(i)求函数/3)的单调区间；

(2)若V0,mX2e(0,3),使/(电)>9”成立，求小的取值范围.

e

⑶当?71=2时，若关于力的方程/(①)="有两个实数根％1，62,且41〈62,求实数0的取值范围，并且证明：力1+62>

1.

17.(2023B川宜宾•宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测)已知/Q)=(2—a—De-^a/+rAc—1(aGR)

(1)讨论/(，)的单调性；

⑵若a=-1,且存在sG(0,+co)，使得/⑺<Inrr+#+(b+l)rr,求b的取值范围.

18.(2023春•福建漳州•高二漳州三中校考期中)已知函数/(⑼=yx2-(a+2)x+2alnx(aGR).

(1)若a>2,讨论函数/Q)的单调性；

(2)设函数g(z)=—(Q+2)如若至少存在一个gC[e,4],使得/(g)>g(g)成立,求实数a的取值范围.

19.(2023•人大附中校考三模)设函数/(⑼=网—旦—21n2,其中e是自然对数的底数.

X

(1)当P=字时,求函数/(①)的极值.

(2)若/Q)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.

(3)设gQ)=①，若在［l,e］上至少存在一点我,使得/(g)>g(g)成立,求实数p的取值范围.

X

20.(2023春•湖北•商二郑用中学校联考阶盘练习)设定义在R上的函数/Q)=ex-ax(aeR).

(1)若存在x0E［1,+8),使得/(如)<e—a成立,求实数a的取值范围；

⑵定义:如果实数s,t,r满足|s-r|《修一r|,那么称s比t更接近r.对于⑴中的a及/>1,问：义和e1+a哪

X

个更接近Inz?并说明理由.

利用导数研究能成立问题

1.(2023•全国•高三专题练习)设函数/Q)=(a—a2)x+Inx——(aGR).

x

(i)讨论函数/Q)的单调性；

(2)当a=1时，记gQ)=幻'3)+x2+l,是否存在整数t,使得关于s的不等式t>gQ)有解？若存在，请求出t的最

小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)存在，t的最小值为0

【分析】⑴求导13)=(3+1)9+1］，根据一元二次不等式的解法，再分avo,0<a<l,a>l讨论

X

求解；

(2)由a=1,得到g(x)=xf(x)+x2+l=i+mn%,求导得到gQ)mi1产g(g)=—舄一%,确定其范围，再由不等式力

>gQ)有解求解.

【详解】(1)解：由题意得函数的定义域为(0,+oo),

1(a-cT^x^-\-x+1(^(ix+1)[(1—(i)x+1]

f(x)=Q-Q,H---+

xx2X2X2

①当aV0时，cW(0,一、)时JQ)>0JQ)在(0,一:)单调递增,

xG(―^-,+8)时，/'(力)VOJQ)在(---,+oo)单调递减；

CLCL

②当O&a&l时，/O)>0恒成立，/⑸在(0,+8)上单调递增；

③当a>l时，G€(O，WY)时，〃工)>0,/3)在(0,工、)单调递增,

xG(公7,+°0)时,/3)<0,/3)在(dp+8)单调递减;

综上，当aVO时，/⑺在(0,—5)单调递增，在(一5,+8)单调递减；

当OWa&l时，r(c)>0恒成立，/3)在(0,+8)上单调递增;

当a>1时，/(2)在(。，白^)单调递增，在(Wp+8)单调递减.

(2)当a=1时，g(£)=xf(x)+x2+l=x2+x\nx,

g'(c)=2x+Inc+1,g'(0)单调递增，

又g'4)=2-ln2>0,g，(4)=J-ln6VO,

所以存在唯一的to©什当)，使得g'(±o)=2g+hi2o+l=0,

且当a?C(O.JEo)时，g'3)<0,g(x)单调递减；

当立€(%,+8)时，g'Q)>O,g(c)单调递增；

所以g(x)min=g(的)=xo+a=olnx0=局+&(­2。0—1)=-xl~x0,

设。(%)=-XQ-X0,gC('4),则0(3)在U)上单调递减,

所以少(白)v9(&)V3(！)，即+<g⑶)<一£，

/04OU

若关于2的不等式t>g(c)有解，则心号，又t为整数，所以t>0,

所以存在整数1满足题意，且1的最小值为0.

【点睛】方法点睛：若不等式t>9㈤有解，则£>卜(。)Um；若不等式t*g(z)恒成立,则t>[9(x)]max.

2.(2023•全国•南三专题练习)已知函数/(2)=ex+(l—a)x—Ina-lnx(a>0).

(1)若&=6,求函数/Q)的单调区间；

(2)若不等式/(c)<1在区间(1,+8)上有解，求实数a的取值范围.

【答案】(1)/3)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1)

(2)(e,+oo)

【分析】(1)当a=e时，分析导数的符号变化，由此可得出函数/(4)的增区间和减区间；

(2)分0Va&e、a>e两种情况讨论，利用导数分析函数/Q)在(1,+8)上的单调性，验证f(c)V1在(l,+oo)上

能否成立，综合可得出实数a的取值范围.

【详解】(1)解：当a=eB寸，/(7)=e"+(l—e)x—Inrc,

/(x)=e%(l-e)--=(e-e)+,

CDX

当支>1时，e*-e>0,叁二1>0,所以/Q)>0,即/Q)在(L+oo)上单调递增，

X

当0<立<1时，e—e<0,—L<0,所以fQ)V0,即/(⑼在(0,1)上单调递减，

X

则/(力)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1).

(2)解：因为/(x)=e”+(1—a)x—Ina•\nx(a>0),

则/Q)=e'+(l—a)—叵=(e'-a)+x~lna(x>0),

xx

①当InaV1时，即0Va&e时，因为a;>1,ex>e>a,x>l>lna,

所以fQ)>0,因此函数/(/)在区间(l.+oo)上单调递增，

所以/(工)>/(1)=e+l—a>e+l—e=l,不等式/(土)V1在区间(1,+co)上无解；

②当Ina>1时，即a>e时，当iVtVlna时，ex<elna=a,x<lna,

因此/(x)V(),所以函数/Q)在区间(1,Ina)上单调递减，

f(x)<y(l)=e+l—a<e+l—e=l,不等式/(a?)V1在区间(1,+co)上有解.

综上，实数a的取值范围是(e,+oo).

【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：

(1)求函数/Q)的定义域：

(2)求导数fQ);

(3)解不等式f(c)>o,并与定义域取交集得到的区间为函数/(为的单调增区间；解不等式f3)<o,并与定义域

取交集得到的区间为函数/(立)的单调减区间.

3.(2023•河南・校联考•模拟预测)已知函数/Q)=3+21n；r(a>0),g3)=x3-x2.

X

(1)当a=l时,求函数_fQ)的单调区间;

(2)若对于任意的为W(0,2]，都存在x2e[1,2],使得为/(3)>g(g)成立，试求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1)

⑵已,+8)

【分析】(1)求出导函数/3),由导数的正负确定单调性；

(2)利用导数求出g(x\x€[1,2]的最小值，问题转化为不等式恒成立，再用分离参数法分离参数后转化为求函数

的最大值.

【详解】(1)由题可知函数/(4)的定义域为(0,+8).

因为/(s)=3+21na;,则/(«)=一空+—=2a：2~2a.

山1叶2(/2—1)2(x+l)(x-l)

当a=1时，f(x)=--------=--------J------•

X'X'

所以当0V⑦V1时，/⑺V0,函数f(x)在(0,1)上单调递减；

当%>1时，f(①)>0,函数/(2)在(1,+8)上单调递增.

所以/O)的单调递增区间为(1,+8),/(4)的单调递减区间为(0,1).

(2)因为g(c)=所以/(%)=3X2—2X=x(3x—2),

又iE[1,2],所以或立)>0,故函数g(c)在[1,2]上单调递增，

所以gQ)min=g(l)=。.

所以对任意的xe(0,2],4(。)>0恒成立，即B+2xinx>0恒成立.

所以a^—2x2\nx恒成立.

令h(x)=-2aP\nxtx6(0,2],则〃(力)=-2x—^x\nx=-2x(1+21nx),ar6(0,2].

i

令"㈤=0,则1+21n6=0,解得c=屋2.

当力6(03一3时，〃(力)>0,所以函数人(力)在(0,e‘)上单调递增；

当/6(e亍,21时，h!(①)V0,所以函数九(c)在(e上单调递减.

所以八Q)max=h(e2)=工.所以

所以实数a的取值范围是[(,+8).

【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、确定不等式恒成立问题.在含有全称量词与存在量词的命

题中注意问题的转化：

(1)对于任意的x{E4,任意的X2E》g(g)恒成立

(2)对于任意的:EKA,存在gCB,使得/Qi)'。(g)成立=/(：r)min>g(2)min,

(3)存在gC4,使得对任意的72cB,都有/31)>g(g)成立=/3)max>g3)max,

(4)存在力£4,存在X2eB,使得/(为))g(g)成立<=>/(x)niax>9(x)mill.

4.(2023•全国•模拟fl测)已知函数f(c)=alnx+2x2—2(aGH).

(1)讨论函数/(乃的单调性；

⑵若函数/⑸在t=1处的切线方程为y=8z—8,且当对于任意实数在[-1,2]时,存在正实数孙也使得

2(宓1+电)=/(«1)+/(22)，求①1+±2的最小正整数值.

【答案】（1）答案见解析

⑵3

【分析】（1）求导后，分a>0和aV0两种情况讨论，但需注意定义域；

⑵先根据题意，求出实数a=4,再由A（X1+X2'）=/（%）+y（a：2），得到ZQi+M?—义⑶+电）-4=4断电一组武力郎），

构造新函数后，得2（a；i+g）2—4（j：i+g）>8,结合4G[—1,2],得到g+g的取值范围即可.

【详解】⑴解：函数/Q）的定义域为（0,+8）,且f（工）=0+4a;=4^+a.

XX

当a>0时，/O）>0,则函数/（⑼在（0,+8）上单调递增；

当a<0时，令/（C）=0,解得丁=,

所以，当Ce（0,专1）时,/3）<o,xe（乂/,+8）时,fQ）>o.

则函数/（c）在（0,专五）上单调递减，在（专工+8）上单调递增.

综上，当a>0时，函数/（c）在（0,+OO）上单调递增；

当aV0时，函数/（乃在（0，专区）上单调递减，在（△铲,+8）上单调递增.

⑵解：由⑴知/（2）=且+42=延也，

XX

因为函数/（4）在力=1处的切线方程为0=8/—8,

所以『（1）=Q+4=8,解得a=4.

所以,/（%）=41nt+2①,―2

因为对于任意实数4G[—1,2]时，存在正实数g,g,使得4（Ni+g）=/（g）+f（rc2）,

所以，/1（6i+g）=/（力1）+/3），可得41n（4他2）+2（丁+谖）—4=4（①1+啰2）

即2（力1+力2）2—“力1+22）—4=4劣的—41nQ@2）,

设为⑦2=t>0,令函数无（力）=4右-4111方，则ti[t）=4--=.；1）,

当te（0,1）时,矶。V0,九⑴单调递减;

当£6（1,+8）时，〃（£）>0,九仕）单调递增，故八⑴*无⑴=4,

则2（6i+g）2—/iQi+g）—4>/l（1）min=4,故2（21+#2）2—；1（%1+力2）>8.

设函数g（/l）=-4（为+立2）—8+2（电+/2）2>0,

因为g+g>0,可知函数g（R在[-1,2]上单调递减，

2

故g（/l）>g（2）=-2（xi+x2）—8+2（xi+x2）^0,

解得g+g>]或J二（舍去）,

故Xi+x2的最小正整数值为3.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的

考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的

单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查

数形结合思想的应用.

5.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（0=csinc+cosc,xE[―兀,兀].

（1）求/Q）的单调区间与最值；

（2）若存在[0,兀]，使得不等式/（g）>矶鬲+1）成立,求实数Q的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间为（一兀,一号），（o押），单调递减区间为（一泉o）,（冬兀）,/3）皿=冬/（叽产一1

（2）（-oo,l]

【分析】（1）对/（乃求导后研究了'3）的正负，确定/Q）的单调性与最值；

⑵设F（x）—xsinx+cosx—a（x2+l）,xC[0,7r],由题意知F（x）>0有解，分类讨论F（T）的单调性并求f（x）最大

值即可.

【详解】（1）/'Q）=sinx+xcosx—sins=rrcosz,

所以在（一兀，一方）,（o,^-）上，/（⑼>o,/（X）单调递增,

在,修，兀）上，[3）v0,13）单调递减,

所以/3）单调递增区间为（_兀,_£）,（0号），单调递减区间为（一寺0）,（等冗）.

/(f)=/(-f)=半/(-£)=/(兀)=-1,/(0)=1,

"⑺max：

(2)设R(c)=/sine+cos①—。(力斗l),cG

F\x)—xcosx—2ax=x(cosx—2a),

当2aW—1,即a时，尸'㈤>0,F(x)在［0,兀］上单调递增，

Enax(力)=9(兀)=-1—Q(兀41)>0,QW---—，所以Q&-成立；

芳+12

当2。>1,即。>~|~时，/3)&0,尸3)在［0,兀］上单调递减，斤皿3)=?(0)=1—。>0,即。&1,所以5&。&

1；

当一~时，3XGE(0,7U),cosrE0=2a,

当£e(0,No),cos6>2a,尸'(n)>0,F(x)单调递增，

当/G(g,兀),coscV2Q,F'(C)<0,F(rr)单调递减，

所以EnaxQ)=F(XQ)=力oSing+COS%。—a(%(；+l)

=gsin/o+cosNo--^-cosg(式+1)

—•Il^0

=2oSinrro+3cos/—o—cosx0,

令(p{x)=xsinx+］cos］—^-cosx.x€(0,7r),

1T21

(p(x)=—sinx+—sinx>0,所以0(7)>。(0)=5，F(x0)>0成立.

综上，a的取值范围为（-oo,1].

【点睛】关键点点睛：函数求导后的计算方向:

（1）求导后不要急于求r3）=0的根，因为有时候会无根，无根的原因是r3）出现恒正或恒负，所以要先考虑r

（⑼会不会出现恒正或恒负的情况，这时候要看r3）的最大值小于等于零或最小值大于等于零.

（2）当r（⑼有正有负时产（⑼=o才会有根可求，求根时可以直接解方程，或者猜根,或者使用零点存在定理证明

有根.

6.（2023•全国•商三专题练习）已知函数/（乃=ax3-bx2-9x—1在4=—1处取得极值4.

⑴求a,b的值；

（2）若存在xe［2,4］，使次—才>/（为成立,求实数4的取值范围.

【答案】（l）a=1,6=3

⑵［-4,7］

【分析】（1）利用题给条件列出关于a,b的方程组，解之并进行检验后即可求得a,b的值：

（2）利用题给条件列出关于实数4的不等式，解之即得实数4的取值范围.

【详解】⑴/（/）=ax：i—bx2—9x-1,则/（4）=3ax2—2bx—9.

因为函数f（rr）=ax3—bx2—9x—1在2=—1处取得极值4,

[a=1

所以3a+26—9=0,—a—b+9—1=4,解得

lb=3

此时f（x）=3X2—6X—9=3（/+l）（x—3）.

易知/（c）在（-00,-1）上单调递增，在（-1,3）上单调递减，在（3,+8）上单调递增，

则x=-1是函数/（c）的极大值点，符合题意.故a=1,b=3.

2

⑵若存在a;e［2,4］,使次—矛》/（乃成立，则3A-A>［/（x）］min.

由（1）得，/（力）=X3-3X2—9X—1,

且/（乃在［2,3）上单调递减，在（3,4］上单调递增，

所以［/（切mm=A3）=27—27-27-1=-28,

所以3/1—下>一28,即下一3%-2840,解得一4W4W7,

所以实数4的取值范围是［一4,7］.

7.（2023春•广东相江.高二校考阶段练习）已知函数/Q）=41n：r—aw+乌土，a>0）.

X

（1）当a=^■，求/（c）的极值.

（2）当a>1时，设g（⑼=2ex-4x+2a，若存在［y,2］,f（xj>g（g），求实数a的取值范围.（e为自然对数

的底数，e=2.71828…）

【答案】（1）极小值为3;极大值为41n7—3

（2）［1,4）

【分析】（1）利用导数判断单调性,求出极值即可；

⑵存在如分",2］,使/31）>9（g）,转化为在区间整2［上/3）max>gQ）min，即可求解.

【详解】（D/Q）的定义域为（0,+00）,

当&=［时,/3）=4111力一号+；^-,

22Zx

."(为一五一万一彳一西一，

令/(力)>0，可得1V/V7,令/'(力)<0,可得0V2VI或6>7,

・・・函数的单调减区间为(0,1),(7,+00),单调增区间为(1,7)

・•・n=1时，函数取得极小值为3;①=7时，函数确定极大值为41n7-3:

(2)/(x)=­°，+4*(Q+3)G>0),令九(⑼=—Q①2+4①—(a+3),

x

若a>1,则△=16—4a2—12a=—(a—l)(a+4)<0,

・・・/(4)在区间(0,+oo)上单调递减，

・・・当a>l时，/(/)在［£,2］上单调递减，

・"3)在2］上的最大值为/(］)=-41n2+~|~a+6,

g'(力)=2e*—4,令g'(力)=0,得力=1112,

当②G［总'」n2)时，g{x)<0,^(x)单调递减,

当％G(ln2,2］时，g(x)>0,Ag(x)单调递增,

.•.g(c)在［。2］上的最小值为g(ln2)=4—41n2+2a,

由题意可知一41n2+/+6>4—41112+2%解得&<4,

又丁Q>1,

・・・实数a的取值范围为口，4).

8.(2023•四川成都•成都二模)已知函数gQ)=ax—a—\nx,f(x)=空(化),且g(i)>0.

(1)求实数a的值；

(2)证明：存在XQ,f(XQ)=0且0<xQ<1,0VuV1时,/(a?)&/(3).

【答案】⑴1

(2)证明见解析

【分析】(1)要使gQ)>0,即g(o)min>。，对。(为求导，得到g(c)的单调性和最值,即可求出实数Q的值；

⑵对/(6)求导，则/(c)=2c—2—ln),设ZiQ)=22一2—In%,再对h(x)求导，利用导数性质推导出度=g是

f(x)在(0,1)的唯一极大值点，即可证明.

【详解】(1)显然g(c)的定义域为(0,+8),且g'(a)=a——,rr>0.

x

因为g［x}>0,且g(l)=0,故只需g(1)=0.

又g'(l)=a—1,则Q—1=0,JQ=1.

若a=1,则g(x)=1——显然当o〈力v1时,g(x)V0,此时g(x)在(0,1)上单调递减；

x

当①>1,g(x)>0,此时g(x)在(1,+oo)上单调递增.

所以c=1是g{x}的唯一极小值点，

故g(c)>g(l)=0.综上，所求Q的值为1.

(2)由(1)知/(%)=x2—x—x\nx,f(x)=2x—2—Inx,

设拉（%）=2%—2—Ino,则h!（x）=2——

x

当时，//Q）vo；

当cG（1,+8）时,7/Q）>0,

所以人（力）在（0,y）上单调递减，

在（1,+8）上单调递增.

又九■-2）>0,从<0,/1（1）=0,

所以拉⑺在（。，卷）有唯一零点①0,在［y,+oo）上有唯一零点1,

且当cG（0,g）时，h（x）>0;当/€（%1）时h（x）<0;

因为/（力）="（出），所以力=电）是/（x）的唯一极大值点.

即化=方）是/3）在（0,1）的最大值点，所以f（c）</（g）成立.

9.（2023•河南•统考三模）己知函数/（力）=COS*—Q/,其中aeR,力£［一,,5］.

（1）当a=—］时,求函数/Q）的值域；

⑵若函数/Q）在［—多和上恰有两个极小值点g,g，求a的取值范围;并判断是否存在实数a,使得了⑸一必）

=1+d）2成立？若存在，求出a的值;若不存在,请说明理由.

•J

【冬灵】（1）［1,春］;（2）（一■|■，—十）;存在；a——■

【分析】（1）对函数求导，利用导数的性质进行求解即可；

（2）判断函数于（x）的奇偶性，根据二次求导法分类讨论求出a的取值范围，最后再根据的，g之间的关系进行求解

即可.

【详解】解：（1）当a=一"时，/Q）=cosx+-ys2,H'Jf（x）=-sinx+x.

设。3）=/'（c）,则g'Q）=_cosa;+1,xE［―显然g'（x）>0.

・••gQ）在［一俳，3］上单调递增.

又g（0）=o,.•.当*e［一拳o）时JQ）V0；当7e（0,并时,/Q）>0.

.-./（X）在［一年，0）上单调递减，在（0,母］上单调递增.

•."（0）=1J传）=/（弋）=5•.・函数/3）的值域为［1吊］,

（2）v/（—a;）=cos（—x）—Q（一/）2=COST—ax2=f（x）,

.-./（X）是上的偶函数.

“函数/⑺在［—多方］上恰有两个极小值点”等价于“函数/（⑼在（0,y）上恰有一个极小值点”.

因/(%)=—sine—2QC,设九(力)=/(乃，则八'(力)=—cose—2Q.

①当a30时，”(c)&0,则h⑸在(0,上单调递减./.h(x)<h(0)=0.

则/'(c)<0,此时/(c)在(0,5)上单调递减，无极小值.

②当a4一".时，h'(x')>(),则h(x')在(0号)上单调递增./.h(x)>九(0)=0.

则/(c)>0,此时/Q)在(0,1)上单调递增,无极小值.

③当一^-<a<0时，存在xnE(。号)，使h'(x0)=-coss0_2a=0.

当a;€(O,xo)时，"(z)<0;当c€Hf,h'(x)>0.

.\h(x)在(0,x„)上单调递减，在(g号)上单调递增.

,.,/i(0)=0,h(xo')<0.又=-1—an,

(i)当-1-丽&0,即-」《(1<0时，14)&0.

7C\2，

."⑺&0,此时/⑸在(0,y)上单调递减，无极小值.

(w)当一1一(1兀>0,即-3<&<--!-时，”=)>0.

2兀\2/

则存在tC(g埠)，使得拉(t)=—sint-2at=0.....(*)

当ce(o,t)时,/Q)vo；当.当卜母)时,fQ)>o.

在(0,i)上单调递减，在1号)上单调递增.

函数/(C)在(0,-y)上恰有一个极小值点X-2—t.此时，2=0是函数,(7)的极大值点.

当函数/Q)在［一争方］上恰有两个极小值点时，a的取值范围为(一。一5)•

X1+X-2=09

若/(g—g)=1+.(g-珀则cos2g—4a冠=1+看冠

由(*)式，知sina：2=—2。力2./.1—8a之状一4Q曷=1+/后.

整理得以3a+l)(6a+1)=0.

'/Xy^0,aG(-g,—--/.a=-

\2兀/6

・,・存在a=—1■，使得/⑶2f)=1+)2成立.

【点睛】关键点睛：运用二次求导法、分类讨论思想是解题的关键.

10.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(支)=—2alnx——,g{x)=ax—(2a+l)ln①—2,其中@eR.

xx

(1)若c=2是函数/Q)的驻点,求实数a的值；

⑵当a>0时,求函数g(%)的单调区间;

(3)若存在前［9，e,2］(e为自然对数的底)，使得不等式/(/)£g(⑼成立,求实数a的取值范围.

【答案】⑴/

(2)答案见解析

(3)［-e,+oo)

【分析】(1)根据±=2是函数/(c)的驻点得到/(2)=0,然后列方程求a即可；

(2)求导，分a=］、a>^|■和0<a<］三种情况讨论单调性即可；

(3)将存在a；e使得不等式/Q)&g(a;)成立转化为a'/zQLm，然后利用单调性求最值即可•

【详解】⑴若2=2是函数/(x)的触点，则f(2)=0,可得—2ax《+2=0,即得a=4.

222

(2)函数gQ)的定义域为(0,+oo),

，/、2a+1,2a62—(2a+l)z+2(QN—1)Q—2)

9W=a----------+—=-------------3-----------=---------------------，

CXX

当a>0时，令g'(rc)=0,可得劣=工>0或z=2,

a

①当工=2,即Q=4■时，对任意的力>0,g'(c)>0,

a2

此时，函数gQ)的单调递增区间为(0,+oo).

②当0<工<2,即a>［时，

令/(力)>0,得OVnV：或力>2,

令g(x)V0,得上V/V2,

此时，函数gQ)的单调递增区间为(0,工)和(2,+8),单调递减区间为(工,2).

Qd

③当工>2,即OVaV/时，令g'(c)>0,得0V宓V2或方>l;令g'(c)V0,得2V①V

此时，函数g(+)的单调递增区间为(0,2)和(十,+8),单调递减区间为(2,十).

(3)由/(x)&g(rr)，可得ar—In/>0,即a>旦丝，其中/£,

令h{x}=曰。xe［看看］，若存在xe［?，司，使得不等式/(力)&g(c)成立,则0>九3焉"xe，h\x)

=1-，令九'(c)=0,得/=e,

x

当(&rrVe时，九'(2)>0,当eV/&e?时，无'(力)<0,

・・・函数依)在［5e］上严格递增，在(e,e2］上严格递减,

函数九(%)在端点±■■或/=1处取得最小值.

,**从看)=-e,h(e2)—HVh(e),

・・・h(%)min=hg)=一0,a)一e,

因此，实数a的取值范围是[—e,+8)

【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论:

(1)存在a>/(2)oa>/(o)min；

(2)存在a4/Q)<=>a>/(x)max.

11.(2023春•天注和千•高二校考期中)已知函数/(①)=x—alnx,g(rr)+a(a>0).

*Zz

(1)若a=L求函数/Q)的极值;

(2)设函数九(,)=/(/)—g(a;),求函数以6)的单调区间；

(3)若存在gC[1,e],使得/(m)Vg(g)成立，求a的取值范围.

【答案】(1)极小值为1,无极大值

(2)单调递增区间为(1+a,+oo),单调递减区间为(0,1+a).

⑶(雪，+动

【分析】(1)研究/Q)=c—ln力的单调区间，进而求出/(0的极值；(2)先求〃(乃，再解不等式//(力)>0与〃(乃

V0,求出单调区间，注意题干中的a>0的条件；(3)先把题干中的问题转化为在/G[l,e]上有以rr)minV0,再结

合第二问研究的无(乃的单调区间，对Q进行分类讨论，求出不同范围下的九(6)皿2求出最后结果

【详解】⑴当a=1时JQ)=♦—Inc,定义域为(0,+oo),/'(*)=1——=—~-

xx

令/(%)=0得：c=1,当—>1时，/'⑺>0,/(力)单调递增；当0VTV1时,f(⑼<0,/(x)单调递减，故支=1是

函数/(%)的极小值点，/(①)的极小值为/(I)=1,无极大值

⑵九(%)=/(力)—g(①)=%—alnc+।"(a>0),定义域为(0,4-oo)

力/、1a1+aa?-ax-1-a(x+l)(x-l-a)

h{x}=\----------=----------5--------=-------------5-----------

①XXX

因为a>0,所以1+Q>0,令"(力)>0得：力>1+a,令"(4)V0得：0<x<1+a,所以八(乃在(1+a,+8)单

调递增，在(0,1+a)单调递减.

综上：从①)单调递增区间为(1+a,+8),单调递减区间为(0,1+a).

(3)存在?(£[1,e],使得/(/())VgQo)成立，等价于存在的W[1,e],使得九(见))<0,即在26[1,e]上有ft(x)min<

0

由(2)知，h(x)单调递增区间为(1+Q,+00)，单调递减区间为(0,1+Q),所以

当l+a>e,即Q>e—1时，h(x)在①G[1,e]上单调递减，故h(x)在力=e处取得最小值，由h(x)min=h(e)=e

一<1+生色<0得：a>宜斗，因为立斗>e—l,故a>巨斗.

当iVl+aVe,即OVaVe—1时，由(2)知：h(x)在力G(1,1+a)上单调递减，在⑦E(1+a,e)上单调递增,

h{x}在c6[1,e]上的最小值为

令拉(1+a)=2+a—aln(l+a)

因为OVln(l+a)VI,所以OValn(l+a)Va,则2+a—aln(l+a)>2,即拉(1+Q)>2,不满足题意，舍去

综上所述：a的取值范围为(直斗,+8)

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.

注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

12.(2023•上海金山•上海市校才模板演凋)已知曲线夕=InQ+m)与；r轴交于点P,曲线在点P处的切线方

程为9=/3),且*1)=2.

(1)求夕=/(x)的解析式；

(2)求函数g(±)=/学的极值；

ex

-1

⑶设无(力)=I”比+0__+1,若存在实数为，[l,e],x2E[e,l]2h(x1)V©111202+(Q—1)力21口劣)+◎成

x

立,求实数a的取值范围.

[1(1)/(7)=c+1;(2)极大值为g(0)=1,无极小值；(3)(—8,3—2e)U(3—^~e,+8)

【分析】(1)先根据题意得P(1—m,0),进而得切线斜率k=1,故/(x)=a;-1+m,再根据/(I)=2求