新高考数学二轮复习 模拟卷3（含解析）-人教版高三数学试题

数学模拟卷（三）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.若复数z=〃i—2a—>0（其中aGR,i为虚数单位）为正实数，则实数。值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

C—2a-i=-2a+(a2-l)i为正实数，

.,.-2a>0JLa2-l=0,解得。=一1.故选C.]

2.已知集合A={x|x<l},B={x[ix<\},贝ij()

A.AnB={x|x<0}B.AUB=R

C.AUB={x|x>l}D.AC8=0

A「.•集合2={x|3x<l},.,.2={刃尤<0},

•.,集合A={尤.,.AnJB={x|x<0},AUB={x\x<l],故选A.]

3.已知机e(0,1),令。=log“2,b=m2,c=2m,那么a,b,c之间的大小关系为()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

m

C「.”ze(o,1),.•.a=logm2<0,6=疗6(0,1),c=2>l,即a<b<c,故选C.]

A

4.已知一系列样本点(即，yi)(i=lf2,3,…，〃)的回归直线方程为y=2x+a,若样本点

(厂，1)与(1,s)的残差相同，则有()

A.r=sB.s=2rC.s=~2r+3D.s=2r+l

C[样本点(r,1)残差为2r+〃一1,样本点(1,s)的残差为2+〃一s,依题意2r+〃-1=2

+a-s,故s=—2r+3,所以选C.]

5.已知扇形A08,ZAOB=0,扇形半径为小，。是弧A3上一点，若耳坐

OB,则夕=()

兀兀C兀hk2兀

A-6B-3C-2D-T

2

D[由左=乎后+坐而，两边同时平方得况2=(平五+乎同，

则有3=4+1+2乂邛^04•坐O3=5+2X2cos0,

12兀

Acos0=­2，。=于故选D.]

6.设｛斯｝为等差数列，p,q,匕/为正整数，则“p+q>%+/”是“他+他,〃左+〃/”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

D[设等差数列的公差为d,

他+他>四+切今见+。-1)1+。1+(4-l)d>〃i+(左—l)d+〃i+(/—l)d

fd>0[d<0

今仇。+/—(左+/)]>00,,一或।一7，显然由p+®hH不一定能推出他

[p-vq>k-rl[p十q<攵十/

+〃户。左+〃/,由他+他也不一能推出p~\~q>k~\~l,

因此p+q>女+/是他左+〃/的既不充分也不必要条件，故本题选D.]

7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型

众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个

圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据

(单位：cm),那么该壶的容量约为()

A.100cm3B.200cm3

C.300cm3D.400cm3

h—46

B[设大圆锥的高为/?,所以一厂=75，解得〃=io.

故V=^nX52XX32义6=毕兀心200cm3.]

8.已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(1—x)=/(1+%),且当0W九W1时，f(x)=l

一/.若直线>=%+〃与曲线y=/(x)恰有三个公共点，那么实数〃的取值的集合为()

A.R+1,左+§(左GZ)

B.(2左+1,2k+^(k^Z)

C.(2k-*2Ll)(%ez)

D.(左一*k-l^eZ)

B[定义在R上的偶函数/(%)满足了(1—%)=/(1+x),

所以/(X)的图象关于1=1对称，且/(X)为周期是2的偶函数,

当一lWxWl时，fW=l—x2,所以画出函数图象如图所示：

4%

①当〃=±1时，结合图象可知与/(x)=l一—(工£]―1,I))有两个公共点；

②当与/(%)=1——。仁[―1,1))相切时，满足X+Q=1—%2,即V+x+q—1=

0,令/=1—4(〃-1)=0,解得

当4=土时，结合图象可知y=x+a与y=f(%)(%£R)有两个公共点；

由图象可知，aG(l,；时，直线y=x+a与y=f(x)(xdR)有三个公共点；

又因为/(尤)周期7=2,可知左+1,2^+|^ez).故选B.]

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.已知点尸为△ABC所在平面内一点，且五+2而+3诟=0,若石为AC的中点，F为

8C的中点，则下列结论正确的是()

A.向量五与无可能平行

B.向量五与病可能垂直

C.点尸在线段E尸上

D.PE：PF=1：2

BC[根据题意，E1为AC的中点，尸为BC的中点，

结合平面向量的线性运算可知(朋+pc),PF=』(PB+PC)，

代入后+2届+3丘?=0可得而=-2而，

则点P在线段EF上，且PE：PF=2：1,所以C正确D错误.

而由平面向量线性运算可知，向量后与品不可能平行，但可能垂直，所以A错误B正

确.

由以上可知，正确的为BC.

故选BC.]

10.设函数/(x)=sin(°x+%>0),已知/(x)在[0,2句有且仅有5个零点.下述四个

结论中正确的是()

A./(x)在(0,2兀)有且仅有3个最大值点

]3./。)在(0,2兀)有且仅有2个最小值点

C.7(x)在(0,前单调递增

D.。的取值范围是[,，前

ACD[由于。>0,/(0)=sin5>sin0,而/(x)在[0,2可有且仅有5个零点，

71I?29

所以5兀W2co兀+不6兀，解得元，D正确；

因此只有满足外小+导与，:，号的x是/(x)在(0,2兀)上的最大值点，共3个，A正确；

IT37177T29Jr

满足5+5=5~,丁的x显然是/(%)在(0,2兀)上的最小值点，但当口接近正时，

11ir

-2-<6TI,也是一个最小值点，这时有3个最小值点，B错；

JTTTTT7T4971

当x£(0,75)时，由GX而+5=(①+2)乂讪<^同:V],所以/(x)是递增的，C正确.

故选ACD.]

11.如果对于函数定义域内任意的两个自变量的值阳，血，当X1<X2时，都有/(为)勺

(X2),且存在两个不相等的自变量值y,y2,使得/(6)=/(m)，就称/(X)为定义域上的“不

严格的增函数”.下列所给的四个函数中为“不严格增函数”的是()

X,冗21

A./(x)=<0,—1<x<1

、x,xW-1

1,X=—

B.f(x)=

sinx,一

1,

C./(x)=^0,-1<X<1

「1,—1

x,

D./(x)=

x+1,x<1

AC[由已知可知函数/（X）定义域内任意的两个自变量的值的，X2,当为<X2时，都有了

（沏）勺（X2）,且存在两个不相等的自变量值以，丁2,使得f（%）=/。2）,就称/（X）为定义域上

的不严格的增函数.

x,

A.f0,—1<X<1,满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；

xW—1

fhx=~2z、

J乙7TI7171\

B.7（x）=j兀无，当为=一》5，引，/（无D>/（尤2）,故不是不严

Isinx,

格的增函数;

1,

C.fW=<0,—1<X<1,满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；

「1,—1

{x,i（3、

D.f（-x）=1,当阳=5，愈£1,5,/（即）>/。2）,故不是不严格的增函数，

[x+1,X<1乙1々

故四个函数中为不严格的增函数的是AC.故选AC.]

12.在棱长为1的正方体A5CZ）-A/CLDI中，已知点尸为侧面5CG51上的一动点，则

下列结论正确的是（）

A.若点尸总保持B4_L8D,则动点尸的轨迹是一条线段

B.若点尸到点A的距离为平，则动点P的轨迹是一段圆弧

C.若P到直线AO与直线CG的距离相等，则动点尸的轨迹是一段抛物线

D.若尸到直线8C与直线Cid的距离比为1：2,则动点P的轨迹是一段双曲线

ABD[对于A,BDxLAC,BDiYABi,且ACCAS=A,所以,平面ABC,平面

ABiCnBCC1B1=B1C,故动点尸的轨迹为线段BiC,所以A正确；

对于B,点尸的轨迹为以A为球心、半径为平的球面与面BCGBi的交线，即为一段圆

弧，所以B正确；

对于C,作PE_L8C,EF±AD,连接尸£作PQ_LCG.由|尸网=|PQ|,在面8CG以内,

以C为原点、以直线CB、CD、CG为无，y,z轴建立平面直角坐标系，如图所示：

y

设尸(X,0,Z),则.l+z2=|x|,化简得X2—z2=l,P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所

以C错误；

对于D,由题意可知点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离之比为2：1,结合C

中所建立空间直角坐标系，可得玛=彳,所以景=7,代入可得=*化简可得

2

x2

—4—~J=1,故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.综上可知，正确的为ABD.故选ABD.]

93

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

6

13.(3/—1)卜一的展开式中常数项为.

r

-33[(/一：)6展开式通项为r=Cg(x2)6~,(-1)=(一1)(笈I2f,令i2-3r=0得r=4,

它的常数项是(一1)4日=15,令12—3厂=-3得r=5,它的无项系数为：(-1)50=-6；

6

故GR—DG2一：)展开式中常数项为：3X(-6)+(-l)X15=-33.]

14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实"，用符号表

示为合+廿二/侬，人cGN*),把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3,4,5；5,

12,13；7,24,25；9,40,41；以此类推，可猜测第6组勾股数的第二个数是.

84[先找出所给勾股数的规律：①以上各组数均满足序+〃=/,最小的数°为奇数；

②其余两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方是另两个连续整数的和.

如32=9=4+5;52=25=12+13;72=49=24+25;92=81=40+41,

依次类推，第六组的奇数为13,则132+/=(X+1)2,

解得x=84.]

15.在△ABC中，AB^AC,点D在边AC上，且C£)=2ZM,BD=4,则△ABC的面积

最大值为.

9[设4。=尤，

贝4AB=AC=3x,

在AABD中，由余弦定理得—6fcosA=16,

58

解得cosA=g—费，

则由同角三角函数关系式可知

所以当元二^^-时,(Sz\ABC)max=9.]

16.双曲线E：J-p=l(o>0,6>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,已知点尸2为抛物线C：

y2=14x的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为优，又点尸为双曲线E上一点，满足

//1尸6=60°.则

(1)双曲线的标准方程为；

(2)4尸八尸2的内切圆半径与外接圆半径之比为.(本题第一空2分，第二空3分)

(底弋=1(2)|因到其双曲线的渐近线的距离为.观'而抛物线y2—

14x的焦点6©,0),

4

设点尸在双曲线的右支上，I尸尸2|=%,则I尸尸l|=x+5,

则由余弦定理可得49=^+(5+x)2—x(5+x),

解得x=3,x=-8(舍去)，

设△尸的内切圆和外接圆的半径分别为r,R,

5八叩俨=93义8乂乎=6小=；(3+8+7»,

解得r=¥，

而由正弦定理可得R=；义必像=2^,所以5=宗］

乙UI/JJtv/

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)设出为等差数列｛0”｝的前〃项和，｛仇｝是正项等比数列，且m=

bi=l,<24+2=63.在①。2=岳，②跳=243,③$4=452这三个条件中任选一个，回答下列为题:

(1)求数列｛斯｝和｛儿｝的通项公式；

(2)如果斯"GN*),写出相，〃的关系式□=/(〃),并求/(1)+/(2)+/(3)H—

+f(«).

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［解］(1)若选①：

设等差数列｛a”｝的公差为d,等比数列｛历』的公比为q(q>0),

1+d=q

（舍）,

1+31+2=/

则。”=2“一1,b„=3n~\

若选②：

设等差数列｛诙｝的公差为d,等比数列｛瓦｝的公比为g(g>0),

则由炉=£得q=3,

n1“4+2=63,

：.bll=3~,又

；.l+3d+2=9,：.d=2,

an=2n—1.

若选③：

设等差数列｛念｝的公差为d,等比数列｛勿｝的公比为q(q>0),

4X3d।八

44---=4（1+1+d）［d=2,［d=2,

则《,解得（=3或（=—3（舍）,

」+3d+2=q2

=

贝Ian2n—1,。八=3"I

（2）•Um—bn,

•*.2m—\=?>n~l,即机=3(3”一+1),

/(1)+/(2)+-+/(«)

=1[(3°+1)+(31+1)+-+(3"-1+1)]

=/(3。+31+…+3L1+〃)

1<1-3",13"+2〃一1

=*?+“=——'

18.(本小题满分12分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a

—c)(sinA+sinC)=/?(sinA—sinB).

(1)求角。的大小；

(2)若c=小且b^c,求b—^a的取值范围.

[解](1)*.*(«—c)(sinA+sinQ=Z?(sinA—sinB),

由正弦定理，(a—c)(a+c)=b(a—b),即a2—c2=ab—b2

层+庐一di

由余弦定理，cosC=2,ub=5，

又・・・。£(0,7i),

(2)因为c=小且bNc,由正弦定理得磊=新=会=出=2,

2

.*.Z?=2sinB,a=2sinA,

B+A=^,

•:b2c,

.兀)n2兀

,•/叼,

・1,<2714

.•.Z?一呼=2sinB—sinA=2sinB—sinlnI

3nmB

=2sin2cosB

=V3sin(B—^),

.或Wsin(B一袭)<1,

19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCZ)为直角梯形，AD//BC,

CD±AD,AD=CD=2BC=2,平面E4O_L平面A2C£),PALPD,E4=PD.

(1)求证：CDLPA；

(2)求二面角CE4-Z)余弦值.

［解］(1)证明：在四棱锥尸-ABC。中，

因为平面力。_L平面A8CD,平面B4OC平面A8CO=A。，

又因为CZ)_LA。，CDU平面ABCD,

所以CZ)_L平面PAD,

因为B4U平面PAD,

所以C£)_LPA.

⑵取AD中点O,连接OP,OB,

因为B4=P£>,所以PO_LAD.

因为平面R1O_L平面48cZ),平面出0n平面A8CZ)=A。，

因为尸0U平面外。，所以尸0_L平面A8CD,所以PO_LOA,PO±OB.

因为C£)_LA。，BC//AD,AD=2BC,所以BC"OD,BC=OD,

所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBYAD.

如图建立空间直角坐标系O-xyz,

则。(0,0,0),A(l,0,0),8(0,2,0),c(-l,2,0),。(一1,0,0),P(0,0,1).

AC=(—2,2,0),AP=(—1,0,1).

AC〃=0,

设平面B4C的法向量为〃=Q,y,z),则<

、AP〃=0.

-2%+2y=0,

令x=l,则y=l,z=l,所以〃=(1,1,1).

-%+z=0.

因为平面以。的法向量08=(0,2,0),

n-OB

所以cos〈％,OB〉=

由图可知二面角C-PA-D为锐二面角，

所以二面角C-B4-Z)的余弦值为害.

20.(本小题满分12分)某摄影协会在2019年10月举办了主题“庆祖国70华诞——我们

都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲70

岁的生日献了一份厚礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，从众多照片中选取100

张照片展出，其参赛者年龄集中在［25,85］之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：

频率/组距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

LW-IL

25354555657585

⑴求这100位作者年龄的样本平均数X和样本方差52(同一组数据用该区间的中点值作

代表)；

(2)由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布N(〃，o2),其中〃近似为样本

平均数行，/近似为样本方差52.

⑴利用该正态分布，求尸(60<X<73.4)；

附：y［iSQ^13A,若X〜N(〃，o2),贝|尸(，-o<X<〃+cr)=0.6826,P(jU~2a<X</.i+2c)=

0.9544,P(〃一3Kx<〃+33=0.9974.

(ii)摄影协会从年龄在［45,55］和［65,75］的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人

参加“讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的

年龄落在区间［45,55］的人数是匕求变量F的分布列和数学期望.

［解］(1)这100位作者年龄的样本平均数不和样本方差s2分别为

T=30X0.05+40X0.1+50X0.15+60X0.35+70X0.2+80X0.15=60,

2222

52=(-30)2X0.05+(-20)X0.1+(-10)X0.15+0X0.35+10X0.2+20X0.15=180.

(2Xi)由(1)知，X〜N(60,180),

从而P(60<X<73.4)=1p(60-13.4<X<60+13.4)=^X0.6826=0.3413.

(ii)根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在［45,55］内有3人，在［65,75］内有4人,

故Y可能的取值为0,1,2,3.

y=2)=詈4|,

个=3)=詈$

所以y的分布列为

418I?10

所以Y的数学期望为E(K)=0X方+1X莞+2X莞+3X4=,.

21.(本小题满分12分)已知直线/：尸乙+1与曲线C：最+%=1(">0,6>0)交于不同的

两点A,B,。为坐标原点.

\OA\=\OB\,求证：曲线C是一个圆；

(2)若曲线C过(0，2),(1,0),是否存在一定点。，使得1为定值？若存在，求出

定点。和定值；若不存在，请说明理由.

［解］⑴证明：设直线/与曲线C的交点为A(X1,Jl),B(X2,V2),

•：\OA\=\OB\,

；.人君+比=y始+凫,即焉+元=今+凫，

•\xi-x2=y2—yi,

VA,8在曲线。上，

・・浪+加=1，］+尸，

二两式相减得石一宣="（货一式），

〃2

221z2

:,d=1,即a=b,所以x+y=af

・•・曲线。是一个圆.

（2）由题意知，椭圆。的方程为5+，=1,

假设存在点Q（xo,yo）,设交点为A（%i,yi）,B（X2,>2）,

y=kx+l

由<2_]得,(