实变函数测试题与答案

实变函数试题

一，填空题

1.设21，n=L2■,那么limA〃=______

〃"f00

2.(。口)(7,口),因为存在两个集合之间的—映射为

.1

cos一w0

3.设E是炉中函数V二%的图形上的点所组成的集

0,x=0

合，那么?=,E°=

4.假设集合满足EuE,那么£为集.

5.假设侬尸)是直线上开集G的一个构成区间，那么30满足：

6.设区使闭区间可中的全体无理数集，那么根石=.

7.假设机£［力(%)/4/(%)］=。，那么说｛力(%)｝在E上.

8.设/eH",假设，那么称］。是E

的聚点.

9.设｛力(%)｝是石上几乎处处有限的可测函数列，/(%)是石上几乎

处处有限的可测函数，假设Vb＞0,有

,那么称｛力(%)｝在月上依测度收敛于/(%).

10.设力(%)=/(%),%£石，那么三｛力(%)｝的子歹U｛九(%)｝,使得

二，判断题.正确的证明，错误的举反例.

1.假设A5可测，＞1(=6且74。6,那么加4＜加5.

2.设E为点集，P更E,那么尸是石的外点.

3.点集石=，1，2，，，的闭集.

4.任意多个闭集的并集是闭集.

5.假设£uRn，满足mE=+oo,那么E为无限集合.

三，计算证明题

1,证明:A_（5_C）=（A—5）J（AnC）

2,设M是外空间中以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为

半径的球的全体，证明M为可数集.

3.设耳且均为可测集，1=1,2…根据题意，假设有

-8）,证明后是可测集.

ln（l+X3）,xeP

4.设尸是Cantor集，/⑴32„•

X,XG[0,1]-^

5.设函数/（%）在Cantor集玲中点%上取值为X③，而在外的余集中

11

长为了的构成区间上取值为6，（z〃=1，2-），求

工于（x）dx.

6.求极限：㈣国）工出丁而办但

实变函数试题解答

一填空题

1.[0,2].

(x,y)y=cos—,x^0ju{(O,y)||y|<l}

2.1x;0.

3.闭集.

4.力一a.

5.几乎处处收敛于/(%)或a.e.收敛于/(%).

6.对V5>0,U°(%oM有(石-优})=0.

7.力(%)-/(%)a.e.于瓦

二判断题

1.F.例如，A=(0,1),B=[0,l],那么Au6且但

mA=mB=1.

2.F.例如,0任(0,1),但0不是(0,1)的外点.

3.F.由于£={0}a石.

,二111

4.F.例如，在“中，Fn=,〃=3,4…是一系列的闭集,

，I，I

00

但是U£=(°』)不是闭集.

n=3

5.T.因为假设后为有界集合，那么存在有限区间/,|/|<也，使

得Eu/,那么/石=<+CQ,于M石=+oo.

三，计算证明题.

1.证明如下：

2.M中任何一个元素可以由球心(X,y,z),半径为厂唯一确定，

z跑遍所有的正有理数，尸跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有

理数集为可数集都是可数集，故M为可数集.

00

3,令5=.耳，那么石uBug且5为可测集，于是对于V"都有

1=1

B-EuB’-E,故

-E）,

令if巩得到加仍-石）=0,故5-石可测.从而

石=6—（6—七）可测.

4.mP=0,令6=［0,1］-尸，那么

(L)Jj(xW=(L)£ln(1+X3yix+(L)JG%2公

=O+(L)L/(%岫

=(L)£x2tZx+(L)£x2dx

=(R)[f"

1

x31

o=3

5.将积分区间［0,1］分为两两不相交的集合：P。,G,G?…,其中痣

1

为Cantor集，G,是痣的余集中一切长为了的构成区间（共有个）

之并.由L积分的可数可加性，并且注意到题中的根《=0,可得

nx.3....pinx.3,

6•因为FAsmg在［0』上连续，（R）J。77ksm加加存在且

JL।fbJiXiflJi

.f1nx.,

与（ZTL）J0G*sm3小小的值相等•易知

JLIrL

由于会在（。,1）上非负可测，且广义积分工会公收敛，那么

11.依.3八

声在（。,1）上（L）可积，由于㈣加=0，于

是根据勒贝格控制收敛定理，得到

lim(R)f—nX^sin3nxdx=lim(L)f—sin3nxdx

Joi+nzxJo1+nx

].nx.Y

=lim------sin3nxax

R001+nx)

小心=0

一、判定以下命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误

者举处反例)〔15分，每题3分〕

1.非可数的无限集为c势集

2.开集的余集为闭集。

3.假设m・E=0,那么E为可数集

4.假设f(x)在E上可测,那么f(x)在E上可测

5.假设f(x)在E上有界可测，那么f(x)在E上可积

二、将正确答案填在空格内〔共8分，每题2分〕

1.可数集之并是可数集。

A.任意多个B.c势个？C.无穷多个D至多可数个

2.闭集之并交是闭集。

A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个

3.可数个开集之交是

A开集B闭集CF。型集DGf型集

4.假设|f|在E上可积，那么

A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在

E上几乎处处有限

三二表达有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理

〔共9分，每题3分〕。

四、证明以下集合等式〔共6分，每题3分〕：

1.(s_s,：)

ni

2.E[f>a]='.!E[f〉aT]

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一

定是开集。〔8分〕

六、证明：设f(x),f，(x)为可积函数列，f・(x)—g-f(x)a.e于

E,且

L|31小一6-1|f|d、，那么对任意可测子集e_E有？

1八|\一>1f|d>〔7分〕

七、计算以下各题：〔每题5分，共15分〕

1.身kW「sin(nx)d*二？

''耶/有理效伍.)

2.设f(x)二,"‘金:口在匕理数求(0』j,=?

方(力-1)壮J111/(*)

3.设f(x)=?，…iJ?n=2,3,?求「d，二？

一、判定以下命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误

者举处反例)

1.非可数的无限集为c势集，〔不正确！如：直线上的所有子集

全体不可数，但其势大于c〕。

2.开集的余集为闭集。〔正确！教材已证的定理〕。

3.假设m，E=O,那么E为可数集〔不正确！如contorP。集外测度

为0,但是C势集〕。

4.假设f(x)在E上可测，那么f(x)在E上可测〔不正确！

",其中方为尼申不可测集

如〔-IxwR'-E。)

5.假设f(x)在E上有界可测，那么f(x)在E上可积〔不正确!

如八在川有界可测，但不可积〕

二、将正确答案填在空格内

1.至多可数个可数集之并是可数集。

A.任意多个B.c势个C.无穷多个D至多可数个

2.有限个闭集之并交是闭集。

A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个

3.可数个开集之交是G3型集

A开集B闭集C?F。型集D?G$型集

4.假设|在E上可积，那么f在E上几乎处处有限

A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在E上

几乎处处有限

三、表达有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理

〔见教材，不赘述！〕。

四、证明以下集合等式

1.（s-s,：）

解：

=sn（。力$：）

川力（sns：）Jni

9

C]i

2oE[fsa]=UE[f>aT]

证明：

xw左端=xwE[fNa]=x

nxw&且对任苣想/（x）>4」

®in

nxwp|&[/>a-—]

L；同

=XW右端

所以左端u右端，同理左端n右端，???故左端二右端

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一

定是开集。

?证明：(分析法证明)设..N)为开集

要证(b为开集，只须证明小如父

事实上相>。*。口.4"0,，取六徽司时，自然有

xe0(x,<5)<=02

1•1o

X

??故!］二为开集。

无限个开集之交不一定是开集。反例：设&=电"7,那么Q°=(OJ既

不是开集，又不是闭集。

六、证明：设f(x),f*(x)为可积函数列,

f«(x)(x)a.e于E,

且L|f|d*,

那么对任意可测子集ecE有

I|f|d*

证明：因为f*(x)-J--af(x)a.e于E,对任意T-：由Fatou引理知

JA粤I3d，W笑JAIf«|d»

而L|f»d.-2^LIf|d',那么对任意由Fatou弓|理矢口:

hm

一方面1|f|d*Jf"d、W蹙11f"d>

另一方面,1f|d«=LeM

If*|典|f«Id»粤吧I|f"d、

故蚓I|f,|dz<l|f|d,W粤I|f，|d.

即1|f|d『四IIf.1d»

七、计算以下各题：

1.四1岫/Jsin(nx)d*二？

nx

解：因为"?7?sin(nx)—9―0于[0,1]

第3页？共4页

nx

??且|工W1

那么由Lebesgue控制收敛定理知:

nx

前「sin(nx)d=i,l+Jx2sin(nx)d，=0

,晚.腹效

2.设f(x)=l他求(oj|d*二?

解:

xx为(0J中有理数

因为/(*)=，

sin*xx为［0,1冲无理数

=$innxaeT[OJ]

r..1.2

ISin/TXdxS.--COS7T|Q=—

所以【叫””

忒”-1)J1,)f/(x)

3.设f(x)=1???”‘；m”n=2,3,…，？求乙’d=?

“(“T)l_L，

解：因为f(x)=2'??A'」€(r二i」？n=2,3,…，在口H上非负可测，所

以由Lebesgue逐块积分定理知:

1dg嘤、总T屯？6。

一'选择题(共10题，每题3分，共30分)

1.设。是R中有理数的全体，那么在R中。的导集O是

【1

(A)Q(B)0(0R(D)R-Q

2.设｛工｝是一列闭集，F=QF„,那么E一定是

n=\

【]

(A)开集(B)闭集(C)G,型集(D)4型集

3.设E是R中有理数全体，那么mE=

【1

(A)0(B)l(C)+8⑻-8

4.下面哪些集合的并组成整个集合的点

[1

(A)内点，界点，聚点(B)内点，界点，孤立点

(C)孤立点，界点，外点(D)孤立点，聚点，外点

5.设p是Cantor集，那么

[1

(A)尸与汗对等，且尸的测度为0(B)尸与代对等，且尸的测度

为1

(C)尸与R"不对等，尸的测度为。⑻P与R"不对等，P的测度

为1

6.设/(%)与g(x)在E上可测，那么E[/2g]是

【1

(A)可测集(B)不可测集(C)空集(D)无法

判定

7.设/(x)在可测集E上有定义，/„(%)=min(/(%),«),那么力(x)是

(A)单调递增函数列(B)单调递减函数列

(0可积函数列(D)连续函数列

8.设E是任一可测集，那么

(A)E是开集(B)E是闭集(0E是完备集

(D)对任意£>0,存在开集GnE,使巩G-E)<£

sin2Mx£[0,1]D。

9设/(%)=9那么

1+2X,XG[O,l]-Q

(A)1(B)2(C)3(D)4

10.设｛储是E上一列几乎处处有限的可测函数，假设对任意0>0,

有下面条件成立，那么伉⑴｝依测度收敛于

/(X)•【)

(A)JimmE^fn(x)-/(x)|>cr]>0(B)limm^fn(x)-/(x)|>cr]<0

(C)吧7词力(x)-/(x)|=b]=O(D)limmE[fn(x)-/(x)|>cr]=0

二'定理表达题(共2题，每题5分，共10分)

1.鲁津定理

2.Fatou引理

三'判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每

题4分，共20分)

1.假设E与它的真子集对等，那么E一定是有限

集.【】

2.凡非负可测函数都是L可积

的.【】

3.设A为“空间中一非空集，假设"a那么建a

[1

4.设E为可测集，那么存在内型集尸，使得FuE,且

m(E-F)=0.【]

5."x)在[a,b]上L可积,那么/(x)在[a,“R可积且(乃"/(%)公=(时：

]

四'证明题(共4题，每题10分，共40分)

1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集.

2.上全体有理数点集的外测度为零.

3.设函数列｛/“｝在E上依测度收敛/,且力W/zae于E,那么/K/zae于E.

4.设f(x)在［a-£,>+£■］上可积，那么limJ\f(x+t)-f(x)\dx-0.

判断题〔每题2分，共20分〕

1.必有比a大的基数。()

2.无限个闭集的并必是闭集。

1)

3.假设mE=O,那么E是至多可列集。

()

4.无限集的测度一定不为零。【)

5.两集合的外测度相等，那么它们的基数相等。

6.假设/(x)在E的任意子集上可测,那么/(x)在可测集E上可测。〔〕

7.E上可测函数列的极限函数在E上不一定可测。〔)

8.是E上的可测函数，那么/'(X)可积。

9.假设f(x)>0_@Lf(x)dx=0，那么f(x)=Oae.于E。

10.假设I/(x)I在E上可积，那么/(x)在E上也可积。

二、填空题〔每题2分，共20分)

1.设4=(0,n),n=1,2,,那么uA.=,nA=o

„=1n=l

2.设A—{1,2,3,…,"，…}uR,那么A。=,A=o

3.设8是开区间(0,2)中有理点的全体，那么m3=。

4.单调函数的不连续点集的基数是。

5.设E是［0,1］上的Cm3集,那么豆=。

6.闭区间［a,句上的有界函数/(x)R力wawz可积的充要条件是。

7.狄利克雷函数函数。(x)是可积的，［D(x)dx=。

三、计算题〔每题10分，共20分〕.

27

1.计算iim(/?)［'nx—dxo〔提示：使用Lebesgue控制收敛定理〕

2.设，其中B是Cantor集，试计算］/⑴小

［X2,XG［0,1］\^J［。』

四、证明题〔每题8分，共40分〕

.001

1.证明：{%|x>0}=H{x|x>—)

n=in

2.设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M是

是至多可列集。

3.如果加E=0,那么E的任何子集也可测且测度为零。

4.设/(%)在E上可积，且/(x)=g(x)ae.于E,证明：g(x)也在E上可积。

5.可测集E上的函数/'(%)为可测函数充分必要条件是对任何有理数

r，集合E"(x)<厂］是可测集。

一、单项选择题〔3分X5=15分〕

1、1、以下各式正确的选项是〔)

〔A〕limA,(=onA,；〔B〕limAn=noA,；

n—>oon=lk=nnsn=lk=n

,、RR/、ROU

ICJlimA=noA；IDJlimA=nnA；

8n=lk=nn—>oon=lk=n

2、设P为Cantor集，那么以下各式不成立的是〔)

［A)A=c(B)mP=o(C)p=p(D)p=p

3、以下说法不正确的选项是〔〕

(A)凡外侧度为零的集合都可测〔B〕可测集的任何子集都可测

(0开集和闭集都是波雷耳集⑴〕波雷耳集都可测

4、设｛力(必是E上的ae有限的可测函数列,那么下面不成立的

是()

lA)假设力(x)n/(x),那么力(x)f/(x)(B)sup｛力(x)｝是可测函

n

数

(C).｛力⑼是可测函数；⑴)假设力(x)n/(x),那么/(X)可测

5、设f(x)是小勿上有界变差函数，那么下面不成立的是

〔)

(A)/(x)在小句上有界(B)在小勿上几乎处处存在导数

©/'(X)在小句上L可积(D)\bf\x)dx=f(b)-f｛d｝

Ja

二.填空题(3分X5=15分)

1、(GAuC/)c(A-(A-3))=

2、设E是［0,1］上有理点全体，那么

E=,E=,E=.

3、设E是代中点集，如果对任一点集T都有

_____________________________________，那么称E是L可测的

4、/⑴可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限

函数.

〔填“充分〃，”必要〃，”充要〃)

5、设/(x)为［a,可上的有限函数，如果对于［a,可的一切分划，使

,那么称/(%)为［a,句上的有界变

差函数。

三、以下命题是否成立?假设成立,那么证明之;假设不成立,那么举

反例说明.

1、设EuR,假设石是稠密集，那么CE是无处稠密集。

2、假设加E=0,那么E一定是可数集.

3、假设|/(刈是可测函数，那么/'(x)必是可测函数。

4.设/(x)在可测集E上可积分，假设VxeE,/(x)>0,那么

四、解答题［8分X2=16分).

1、〔8分〕设/'00=『'未譬，那么/(x)在［。』上是否可积，

l,x为有理数

是否L-可积，假设可积，求出积分值。

2、［8分)求lim「ln(x+“)e-xCQS时

“Jon

五、证明题〔6分X4+10=34分).

1、〔6分〕证明［0』上的全体无理数作成的集其势为c.

2、〔6分〕设/⑶是(F+8)上的实值连续函数，那么对于任意常

数a,E={x"(x)之a}是闭集。

3、〔6分〕在［a,可上的任一有界变差函数/⑺都可以表示为两个

增函数之差。

4、［6分)设机E<oo,/(x)在E上可积，en=E(\f\>n))那么lim”w=0.

5、〔10分〕设是E上ae有限的函数，假设对任意5>0,存

在闭子集工uE,使/(x)在工上连续，且皿石-工)<5,证明：/⑴是

E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

一、判定以下命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误

者举处反例)〔15分，每题3分〕

8.非可数的无限集为C势集

9.开集的余集为闭集。

10.假设WE=0,那么E为可数集

H.假设f(x)在E上可测，那么f(x)在E上可测

12.假设f(x)在E上有界可测，那么f(x)在E上可积

二、将正确答案填在空格内〔共8分，每题2分〕

13.可数集之并是可数集。

A.任意多个B.c势个？C.无穷多个D至多可数个

14.闭集之并交是闭集。

A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个

15.可数个开集之交是A开集B闭集CFJ型集DG』型集

16.假设f在E上可积，那么A.f在E上可积B.f在

E上可测C.f在E上有界D.f在E上几乎处处有限

三、表达有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理

(共9分,每题3分)。

四、证明以下集合等式〔共6分，每题3分〕：

17.S-出3“二亲(S-S”)

Pl1

18.E[fia]=UE[f>a-i]

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一

定是开集。(8分)

六、证明：设f(x),A(x)为可积函数列，f,(x)=Af(x)a.e于

E,且

1f|d.,那么对任意可测子集e「E有？

IdI」|fd〔7分〕

七、计算以下各题：〔每题5分，共15分〕

19.sin(nx)d.i=?

?’那肝有理数伍X)

20.设f(x)二声」竹理数求(皿山!二？

帅T)xeJ11

21.设f(x)=二>'>':?n=2,3,?求触d.i=?

一、判定以下命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误

者举处反例)

6.非可数的无限集为c势集，〔不正确！如：直线上的所有子集

全体不可数，但其势大于c〕。

7.开集的余集为闭集。〔正确！教材已证的定理〕。

8.假设nfE=0,那么E为可数集〔不正确！如contorP。集外测度

为0,但是C势集〕。

9.假设f(x)在E上可测，那么f(x)在E上可测〔不正确！

/(x)=P其中国为足中不可榭集

如(-1xS〕

10.假设f(x)在E上有界可测，那么f(x)在E上可积〔不正确!

如=1"/有界可测，但不可积〕

二、将正确答案填在空格内

1.至多可数个可数集之并是可数集。

A.任意多个B.c势个C.无穷多个D至多可数个

2.有限个闭集之并交是闭集。

A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个

3.可数个开集之交是GJ型集

A开集B闭集C?F。型D?GS型集

4.假设在E上可积，那么f在E上几乎处处有限

A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在E上

几乎处处有限

三、表达有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理

〔见教材〕0

四、证明以下集合等式

1.S-三S“二法(S-S”)

解：

=^n(U

Af-l

戈尔sns：)碧(ss)

2oE[f?a]=UE[f>a-b

证明：

xw左端nxwE\JNa]=xwE^f(x)之。

nxw后且对任苣冏J(x)

n

®i

nxw0|顼/

7n

=xe右端

所以左端U右端，同理左端3右端，???故左端石端

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一

定是开集。

?证明：〔分析法证明〕设。.(皿=1.2M为开集

NNN

要证Q，为开集，只须证明”电—0«MQQ

事实上・••xeQ.,招＞0,x€O(x.4)uq,取3=嬲4时，自然有

・2

N5XMUQ。,。??故Qq为开集。

1A

无限个开集之交不一定是开集。反例：设°尸(°」+7),那么Qq=(。」]既

不是开集，又不是闭集。

六、证明：设f(x),f"(x)为可积函数列,

f«(x)"y1f(x)a.e于E,

且Lif.।di>1ifid.,

那么对任意可测子集e，.E有

I3d—/—>1।f।

证明：因为f*(x)-上栏—f(x)a.e于E,对任意ZuE由Fatou引理知

JA粤|f*|d』W察LIf*|dj

而L|f«If|dj,那么对任意？:少由Fatou弓|理矢口:

一方面I|f|d"I蹙IfJdjW粤11f»1d-i

另一方面,k|f|da=<L粤IfMIdJ<蹙LIf«I(IY1IfIdjr=l粤

Rd，笑f«Idj-Le察If.

故蚂IIf/djwl|f|dY整11f・|d』

即I|f|d』」鬼1|f»|dj

七、计算以下各题:

身〔局「二？

1sin(nx)d4

nxnx

解：因为GV?sin(nx)…，。于[0,1]且

那么由Lebesgue控制收敛定理知:

..nx

i+sVsin(nx)心二九」*■*•1+//sin(nx)d40

卜・加肿育理0JA*)

2.设f(x)=b»g求阳心二？

解:

xx为［0.1并有理数

因为/(*)=，

sin/rxx为(0,1冲无理数

=sm/rxae^[0,l]

r..1Q2

Isin/rxax----cos”,=一

所以占"”

帅-Dxe(l-1JfM

3.设f(x)=2,???「"l」?n=2,3,…，？求d产?

解:

原("DAJ_

因为f(x)二下一??：,二七」?n=2,3,…,在(。川上非负可测,所以由

Lebesgue逐块积分定理知：

金第'生TO?。

一、填空：〔共10分〕

1.如果那么称E是自密集，如果那么称E是开集，如果Fu£那么称E

是，方=EUE'称为E的.

2.设集合G可表示为一列开集{G,}之交集：G=「G,,那么G称为.

1=1

假设集合E可表示为一列闭集{£}之并集：F=\JFi,那么E称为.

Z=1

3.(Fatou引理)设{/}是可测集Euk上一列非负可测函数,那么.

4.设/(%)为［a,b］上的有限函数，如果对于［a,b］的一切分划

T:a=x0<x1<---<xn=b,使<£"(现)-/(%)|，成一■有界数集，那么称/(x)

J=1,

为［a,勿上的，并称这个数集的上确界为;'(X)在a勿上的，记为.

二'选择填空：〔每题4分，共20分〕

1.以下命题或表达式正确的选项是

A.b^［b}B.{2}=2

C.对于任意集合A,B，有AuB或5uAD.0u0

2.以下命题不正确的选项是

A.假设点集A是无界集，那么加A=+8B.假设点集E是有

界集,那么根*E<+Q0

C.可数点集的外测度为零D.康托集尸的测度为零

3.以下表达式正确的选项是

/+(x)=max{-/(%),0}B./(x)=/+(x)+/-(x)

|/(x)|=/+(x)-/"(%)D.［/(%)］„=min{/(%),«}

4.以下命题不正确的选项是

A.开集、闭集都是可测集B.可测集都是Borel集

C.外测度为零的集是可测集D.4型集，G,型集都是可测集

5.以下集合基数为a〔可数集〕的是

A.康托集尸B.(0,1)

C.设AuR",A={x=(X],X2,…,5)1七是整数，，=1,2,…㈤D.区

间(0,1)中的无理数全体

三'〔20分〕表达并证明鲁津〔Lusin〕定理的逆定理

四'〔20分〕设EuR,y(x)是E上ae有限的可测函数，

证明：存在定义在R上的一列连续函数{g“},使得limg“(x)=/(x)ae.于E

n—^co

五'〔10分〕证明lim(R)「型二竺"疝"=0

“fcoJ01+nX

六'〔10分〕设/(X)是满足Lipschitz条件的函数，且

f'(x)>Oa.e.于&句，那么f(x)为增函数

七'〔10分〕设/是口勿上的有界变差函数，证明尸也是[a,功上的有

界变差函数

一、填空题：〔共10分〕

1、EuE,E」〔或E=Q闭集，闭包

2、Gj型集，4型集3、1limlimffn(x)dx

4、有界变差函数，全变差，v(/)

a

二、选择填空：〔每题4分，共20分〕

1、D2、A3、D4、B5、C

三、〔20分〕

定理：设/(x)ae.有限于E,假设对于任意的3>0,总有闭集工uE,

使皿E-吊