《高等数学》考研同济大学数学系2021考研真题库

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第一部分考研真题精选

向量代数与空间解析几何

填空题（把答案填在题中横线上）

点（2,1,0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=.擞-2006研］

【答案】

【解析】由点到平面的距离公式

多元函数微分法及其应用

一、选择题

1设函数f（x,y）在点（0,0）处可微,f（0,0）=0,

且非零向量3与1垂直，则（）。擞一2020研］

A.存在

B.存在

C.存在

11m辰（/八"））1_。

D.-行+厂存在

【答案】A查看答案

【解析】」（x,y）在（0,0）处可微,f（0,0）=0,

即

・•・存在。

.,.选A项。

2关于函数给出下列结论

①比/叫0,0）=1

②为f/dxdy|（o,o）=1

③

正确的个数为（）o［数二2020研］

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】B查看答案

【解析】①因,故①正确。

②因，先求f；（o,y）,而

当ywo时，不存在；

当y=o时，;

综上可知,f；（o,y）不存在。

故。2f/dxdy|,00、不存在，因此②错误。

③当xywO时，，

当（x,y）沿着y轴趋近于（0,0）点时,

I

当（X,y）沿着x轴趋近于（0,0）点时,

/

综上可知，，故③正确。

④当y=o时，;

当"0时，，

故蚓"3）=。，则盟蚓/（叼）=1闻。=°,故④正确。

综上，正确个数为3。故应选Bo

3函数f(x,y,z)=X2y+Z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向

导数为()。［数一2017研］

A.12

B.6

C.4

D.2

【答案】D杳看答案

【解析】计算方向余弦得：cosa=l/3,cosR=cosy=2/3。偏导数f*'=

2xy,fy'=X2,fz'=2z0彳导df/du=fx'cosa+fy'cosp+f^cosy=4-(1/3)+1•(羽)

+0(2/3)=2。

4设f(x,y)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有

歇J—

6

则()。擞二2017研］

A.f(0,0)>f(1,1)

B.f(0,0)<f(1,1)

C.f(0,1)>f(1,0)

D.f(0,1)<f(1,0)

【答案】D查看答案

【解析】由

知，函数f(x,y)关于x单调递增，故f(O,l)<f(l,l);同理，由

知，函数f(x,y)关于y单调递减，故f(l,1)<f(l,0),因此f(0,1)

<f(l,0)o

5二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是()。［数三2017研］

A.(0,0)

B.(0,3)

C.(3,0)

D.(1,1)

【答案】D查看答案

【解析】对方程组

求解，得驻点(0,0),(0,3),(3,0),(1,1)。进一步求二阶导:

八守2

对于点(0,0),(0,3),(3,o),计算得AC-B2=3<0,这三点都不是极

值点。对于点(1,1),计算得AC-B2=3>0,又庆=-2,所以函数2=乂丫(3

-x-y)在点(1,1)处有极大值1。

6已知函数f(x,y)=ex/(x-y)，贝(J()。擞二2016研］

A.f'-f'=0

xy

B.f'+f'=0

xy

C.f'-f'=f

xy

D,f'+f'=f

xy

【答案】D查看答案

【解析】因为

所以

二、填空题

］设函数/(工,)=(1.1)-

0w,则令一,［数一2020研］

【答案】4e查看答案

【解析】

2设z=arctan［xy+sin（x+y）］,则dz|（0口）=.［数二2020研］

【答案】（n-l）dx-dy查看答案

【解析】因为

从而

,_0+cos笈

故dz|=(n-1)dx-dy

Iu,Il)0

3设函数f(u)可导,z=f(siny-sinx)+xy,530(1/cosx)•(dz/dx)+(1/cosy)•(d

z/dy)=.擞-2019研］

【答案】(y/cosx)+(x/cosy)查看答案

【解析】由于

dz/dx=f(u)(-cosx)+y

dz/dy=f'(u)cosy+x

所以(1/cosx)•(dz/dx)+(1/cosy)•(dz/dy)=y/cosx+x/cosy„

4设函数z=z(x,y)由方程lnz+ezU=xy确定，则。擞二

2018研］

【答案】1/4查看答案

【解析】方程两端同时对x求偏导，得

将x=2,y=l/2代入原方程可得z=l,再将x=2,y=l/2,z=l代入求导之后

的方程可得

dz_1

忒-2旧彳

5设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,

f(0,0)=0,则f(x,y)=。［数二2017研］

【答案】xyey

【解析】由题意可知f：(X,y)=ye,f'(x,y)=x(l+y)e因此f

xyyyo

(X,y)=fyeydx=xyey+c(y),对该等式关于y求哥导fJ(x,y)=xey+xyey

+C(y)=x(1+y)ey+c'(y)o又由f；(x,y)=x(1+y)ey,知d(y)=

0,即c(y)=c。结合f(0,0)=0,计算得c=0,所以f(x,y)=xyeyo

6设函数f(u,v)可微,z=z(x,y)由方程(x+1)z-y2=X2f(x-z,y)确

定，则dz|(0］)=。［数一2016研］

【答案】-dx+2dy查看答案

【解析】方程(x+1)z-y2=X2f(x-z,y)两边分别关于x,y求导，得

，

z+(x+l)zx'=2xf(x-z,y)+x2f1(x-z,y)(1-z；)

(x+l)Zy'-2y=X2［f；(x-z,y)(-zj+f2'(x-z,y)］

当x=0,y=l时，z=L将乂=0,丫=1:=1代\得z；=-l,z；=2,所以dz|

(01)=-dx+2dyo

三、解答题

1求函数f(x,y)=X3+8y3-xy的极值。［数一2020研］

解：先求一阶偏导数得到驻点：

=3xx->'=0

cbc

24y"-x=0

解得驻点有(0,0),(1/6,1/12)。

再求二阶偏导数：

对于(0,0)点：A=o,B=-l,C=0,由于AC-B2<0,可知(0,0)点不是

极值点；对于(1/6,1/12)点：A=1,B=-1,C=4,由于AC-B2>0且A>0,

可知(1/6,1/12)点为极小值点,极小值f(1/6,1/12)=-1/2160

2已知函数u(x,y)满足

求a,b的值，使得在变换u(x,y)=v(x,y)eax+by之下，上述等式可化为函

数v(x,y)的不含一阶偏导数的等式。擞二2019研］

解：U对X的偏导数为

U对y的偏导数为

因此有

d~u*+噂

代入题中所给的微分方程，得

最后解得a=0,b=3/4。

3设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，函数g(x,y)=xy-f(x+y,x-y),

求。2g/dx2+02g/(dxdy)+02g/dy2。［数三2019研］

解：首先求g(x,y)对x、y的一阶偏导数dg/dx=y-f；-f2',dg/dy=x-f；+

f1。

H

因为f(u,v)具有2阶连续偏导数，所以有f12"=f21,进一步可得g对x、y的

二阶偏导数：

d2g/dx2=-fn«-f12«-f21"-f22"=-fn"-2f12"-f22"

d2g/(dxdy)=1-fn"+f12"-f21"+f22"=1-fn"+f22"

dq/dy=-f"+f"+f"-f"=-f"+2f"-f"

2211122122111222

因此为g/,X2+02g/(dxdy)+d2g/dy2=1-3fJ'-f22"o

4将长为2m的钢丝分为三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积

之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。［数一2018研］

解：设圆的半径为x,正方形边长为y,正三角形边长为z,则有2nx+4y+3z=2,

其中X20,y“，z”.三个图形面积之和为

S=/+y2+—Z2

4

利用拉格朗日乘数法，拉格朗日函数

求解上述方程得到，驻点为,此时三个图形总面积最小，

最小面积为

5设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y=f(ex,cosx)，求，。

擞一2017研］

解：因为y=f(ex,cosx),所以dy/dx=f；(ex)'+f2'(cosx)'=f；ex-f^sinxo

即

dv

=ZUD

drx=0

由上述过徵口

d2y/dx2=(f；ex-f2'sinx)'=(§；'ex-f/'sinx)ex+fx,ex-(f21"ex-f22"sinx)

sinx-f2'cosx

所以

6已知函数z=z(x,y)由方程(X2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z

=z(x,y)的极值。［数二2016研］

解：方程两边分别对x,y求偏导得

令dz/dx=0,dz/dy=0,得

解得x=y=-l/zo

将

1

Z———

VX

I"v=X

代入原方程中，得(X2+X2)(-1/x)+ln(-1/x)+2(x+x+1)=0,解得

（1）式两边分别对x,y求偏导得

（2）式两边对y求偏导得

分别代入（3）、（4）、（5）得

可得：AC-B2=