2024届新高考数学一轮复习配套练习 直线、平面平行的判定及性质

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题8.4直线、平面平行的判

定及性质

练基础

1.（2021•山西高一期末）对于两个不同的平面a,夕和三条不同的直线a,b,J有以下几个命题:

①若a/!b,bile,则。〃c;

②若a//a,blla,则a〃b；

③若ailb,blla,则alia；

④若a//a,allp,则a/0；

⑤若alia,«///?,则all/3.

则其中所有错误的命题是（）

A.③④⑤B.②④⑤C.②③④D.②③④⑤

2.（2021•江苏高一期末）已知“，〃是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，则下列结论正确

的是（）

A.若"?//〃，mila,则〃//aB.若a丄/7,mVp,则加〃a

C.若加〃a,mll/3,则a//月D.若，〃丄a,〃丄a,贝1］相〃”

3.（2020・湖北开学考试）己知平面a//平面夕，直线加ua,直线〃u/，下列结论中不正确的是（）

A.m1//?B.n!laC.milnD.加与"不相交

4.（2021•济南市历城第二中学开学考试）如图，四棱锥P—ABCD中，M.N分别为AC,PC上的点,

且肱V//平面尸AO，则（）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

5.【多选题】（2021•宁波市北仑中学高一期中）下列命题正确的是（）

A.若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.

B.若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.

C.过空间任意一点，可作一个平面与异面直线”力都平行.

D.若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面则。〃尸.

6.【多选题】（2021•广东湛江二H^一中高一期中）已知必，“，c为三条不重合的直线，a,4，/为三个

不重合的平面其中正确的命题是（）

A.mlIn,n//c=>mileB.mlly,nlly=>mlnI

C.mile,clla=>mHaD.meta,na,mHnnmHa

7.【多选题】（2020•佛山市第四中学高二月考）下列命题正确的是（）

A.平行于同一直线的两条直线互相平行

B.垂直于同一平面的两个平面互相平行

C.若a,"是两个平面，maa,/?<=/?,m//p,n//a,则a〃4

D.若三棱锥A—BCD中，ABLCD,AC1BD,则点8在平面ACO内的射影是AC。的垂心

8.（2021•大连市第一中学高一月考）已知，”，n,。是三条不同的直线，a,卩,/是三个不同的平面，

有下列命题：

_\mlln_

①"{=>mllp-②若mHa,m/屮,则a//£；

[plIn

③〃?ua,niia,则机//〃；④直线直线”〃tz,那么m〃n；

⑤若m〃a,n〃0,，'购a"。；⑥若a〃[,夕〃y,贝ija〃夕.

其中正确的说法为（填序号）

9.（2020•云南省下关第一中学高二月考（文））如图，在正三棱锥P-45c中，底面边长为6,侧棱长为5,

G、H分别为P8、PC的中点.

（1）求证：GH〃平面4BC：

（2）求正三棱锥P-ABC的表面积.

10.（2020•佛山市第四中学高二月考）如图在正方体ABCD-AAGR中，M,N,P,Q分别是

AR，41耳，GA，8|C|的中点，求证

（1）MV〃平面PQ3。；

（2）平面4WN〃平面PQ8D.

练提升

1.（2020•全国月考）设加、〃是两条不同的直线，a、〃是两个不同的平面，已知mua,〃ua,则“小〃£,

n//p”是“alip”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2021.山东高一期末）在正方体4BCD-AqG"中，E,F,G分别为。。，AB的中点，P为

底面A8C。上一动点，且直线〃平面ER7,则QP与平面A8CO所成角的正切值的取值范围为（）

小丘

A.T万B.争

C.[1典

3.（2021•江苏南京一中高一月考）如图，正方体ABCD-A8cA的棱长为1,线段用。上有两个动点E、尸,

且EFj则下列结论中正确的是（）

A.线段BQ上存在点E、F使得AE//BF

B.EFH^ABCD

C.丄4小的面积与一BE户的面积相等

D.三棱锥A-BEF的体积不为定值

4.（2021•江西省分宜中学高二月考（理））点M,N分别是棱长为2的正方体ABCO-A4GA中棱BCCG的

中点，动点P在正方形BCG与（包括边界）内运动.若PA〃面AAW,则戶4的长度范围是（）

5.【多选题】（2021•江苏省镇江中学高一月考）下列四个正方体图形中，A8为正方体的两个顶点，M,N,P

分别为其所在棱的中点，能得出钿〃平面MNP的图形是（）

6.（2021•珠海市第二中学高一期中）已知正方体中的棱长为2,是AG中点.

（1）求证：平面AQA〃平面DBC”

（2）设B片的中点为M,过A、M、G作一截面，交。A于点N,求截面AMGN的面积.

7.（2021•福建高一期末）如图，在棱长为2的正方体A8C3-A4CR中，E,F,G,//分别为AQ,4用，

CP

BBl，4G的中点，点尸为线段CG上的动点，=/1（0<2<1）.

（1）是否存在4使得“P//平面EFG,若存在，求出2的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由；

（2）画出平面EFG截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.

8.（2021♦山东高一期末）如图，点。是正方形ABC£>两对角线的交点，£）E丄平面ABC。，8b丄平面A8CD,

AB=BF=2DE,M是线段EF上一点，且MF=2ME.

（1）证明：三棱锥V-AC「是正三棱锥；

（2）试问在线段。尸（不含端点）上是否存在一点N,使得CN〃平面A8F.若存在，请指岀点N的位置;

若不存在，请说明理由.

9.（2019•河南高三月考（文））如图，在四棱锥P—ABCD中，平面丄平面ABC。，PA=PD，

AB=AD,PA丄PD，ADVCD,ZBAD=6Q-M.N分别为A£>,Q4的中点.

B

（i）证明：平面8Amp平面pc。：

（II）若A£>=6,求三棱锥尸―BMN的体积.

10.（2021・陕西高二期末（文））如图，正三棱柱ABC-ABG中，D、E分别为CG、4圈的中点.

（2）若他=2,44=2夜，求点A到平面4。用的距离.

练真题

1.（2021•浙江高考真题）如图己知正方体ABCD-AqGA,M,N分别是AQ,。刀的中点，贝U（)

A.直线A。与直线RB垂直，直线MN//平面A8C。

B.直线与直线AB平行，直线MN丄平面力蜴

C.直线A。与直线。石相交，直线MN〃平面

D.直线A。与直线RB异面，直线MV丄平面8。。円

2.（2018•浙江高考真题）已知直线粧”和平面&,“ua,贝广疯/〃”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（北京高考真题（理））设a,4是两个不同的平面，心是直线且”?ua."”：£”是“B”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2017•全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A,6为正方体的两个顶点，dN,0为所在

棱的中点，则在这四个正方体中，直线4?不平行与平面拉图的是（）

5.（2019•全国高考真题（文））如图，直四棱柱/脳-45G〃，的底面是菱形，AA,=A,AB=2,NBA店60°,

E,M,TV分别是6C,BB„的中点.

(1)证明：跳V〃平面C.DE-,

(2)求点C到平面G龙的距离.

6.(2017•全国高考真题(文))四棱锥P-ABCD中，侧面卩4。为等边三角形且垂直于底面ABQD,

AB=BC=LAD,NBAD=ZABC=90°.

2

(1)证明：直线3C//平面PAD;

(2)若△户□)面积为2疗，求四棱锥尸―ABC。的体积.

专题8.4直线、平面平行的判定及性质

练基础

1.(2021•山西高一期末)对于两个不同的平面。，月和三条不同的直线。，b,J有以下几个命题:

①若a//b,bHc,贝！|a〃c；

②若R/a,blla,则af/b；

③若ailb,blla,则alia；

④若a//a,aHP,则a〃/?；

⑤若a//a,otHp,则a〃4.

则其中所有错误的命题是()

A.③④⑤B.②④⑤C.②③④D.②③④⑤

【答案】D

【解析】

根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤.

【详解】

解：因为a/功，b//c,根据空间中直线平行的传递性，得a〃c,故①正确；

因为bHa,所以直线a,人平行，异面，相交均有可能，故②错误；

若a//Z>,blla,则a〃a或“ua,故③错误；

若a〃a,allp,则平面a/平行或相交，故④错误；

若a//a,allp,则a//夕或au£,故⑤错误.

所以错误的命题是②③④⑤.

故选：D.

2.（2021•江苏高一期末）已知山，”是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，则下列结论正确

的是（）

A.若加7〃，mHa,则〃〃eB.若a丄尸，mX.p,则m〃a

C.若，九〃a,mllp,则a〃/?D.若n?丄a,〃丄a,则zn//〃

【答案】D

【解析】

利用线面平行的性质定理可以得到判定A错误的例子：利用面面垂直的性质定理可举出B错误的例子；利

用线面平行的判定定理可以举出C错误的例子；利用线面垂直的性质定理可知D正确.

【详解】

若〃?//”,mlla,则"可能在a内，只要过，〃作平面少与a相交，交线即可作为直线〃，故A错误；

若a丄/，，〃丄尸，则根可能在a内，只要“在a内垂直于两平面a,£的交线即有m丄6故B错误；

若mHa,ml1/3,则a,“可能相交，只要机不在a,夕内，且平行于a,4的交线即可，故C错误；

若，"丄a,〃丄a,根据线面垂直的性质定理可知，？，故D正确；

故选：D.

3.（2020•湖北开学考试）已知平面。//平面£,直线mua,直线"u/，下列结论中不正确的是（）

A.ml1（3B.n//aC.mllnD.加与〃不相交

【答案】C

【解析】

根据面面平行的的定义和性质知：平面c//平面/，直线mua,直线〃u/，则〃n!/a,加

与〃不相交，

故选:C.

4.（2021•济南市历城第二中学开学考试）如图，四棱锥P—A3C。中，M，N分别为AC，PC上的点,

且脑V//平面B4Z）,贝M）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

【答案】B

【解析】

四棱锥P—ABC。中，M，N分别为AC,PC上的点，且MN//平面PAO，

MVu平面尸AC,平面Q4c平面B4£>=Q4，

由直线与平面平行的性质定理可得：MNHPA.

故选：B.

5.【多选题】（2021.宁波市北仑中学高一期中）下列命题正确的是（）

A.若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.

B.若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.

C.过空间任意一点，可作一个平面与异面直线。涉都平行.

D.若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面a,£,则a〃夕.

【答案】AD

【解析】

对A,利用反证法判断即可；对B,根据线面位置关系判断即可；对C,若点在其中一条直线上，此时作不

出一个平面；对D,利用线面平行的性质定理及面面平行的判定定理判断即可.

【详解】

对A,记a//〃，a与a相交.

假设另一直线，与这个平面不相交，在平面a内作直线c//6,则。〃c,但。与a相交，故a与c不平行，

这与a〃c矛盾，故A正确；

对B,若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B

错误;

对C,当点在两条异面直线中的一条上时，没有平面与异面直线“力都平行，故C错误;

对D,若a//a,blla,a!1/3,b//p,如图

过“作平面/分别交a,夕于c,",过b作平面5分别交a,夕于〃5,

根据线面平行的性质定理可得a//c,alId,b//m,b!In,所以c//d,相〃”，

由面面平行的判定定理可得a///，故D正确.

故选：AD

6.【多选题】（2021.广东湛江二十一中高一期中）已知“，n,c为三条不重合的直线，a,4，7为三个

不重合的平面其中正确的命题是（）

A.tn!In,n//c=>mileB.mlly,nlly=>mlIn

C.tnllc,d/a=>mHaD.m<Za,na,mlln=>mlla

【答案】AD

【解析】

对于A：直接根据平行的传递性，可以判断；

对于B：由利〃y,nlly,贝〜小”可以平行，相交，也会是异面直线即可判断；

对于C：由mile,ella,则mHa或％ua即可判断；

对于D：根据线面平行的判定定理可以判断.

【详解】

对于A：因为m//〃，〃//c由平行的传递性，可以得到〃"/c.故A正确；

对于B：mlly,nlly,则，小〃可以平行，相交，也会是异面直线.故B错误；

对于C：mile,clla,则，M/a或=a.故C错误；

对于D：m（za,na,，”//〃，根据线面平行的判定定理可以得到加〃a.故D正确.

故选：AD.

7.【多选题】（202。佛山市第四中学高二月考）下列命题正确的是（）

A.平行于同一直线的两条直线互相平行

B.垂直于同一平面的两个平面互相平行

C.若a,£是两个平面，mua,nu。,m///3,n//a,则a〃夕

D.若三棱锥A-8CD中，ABLCD,ACLBD,则点8在平面AC£＞内的射影是jACD的垂心

【答案】AD

【解析】

由平行公理判断A；由面面垂直判断B；举特例判断C；由逻辑推理可判断D.

【详解】

对于选项A：由平行公理可知A正确；

对于选项B：垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B错误；

对于选项C：反例如图，故C错误；

对于选项D：设点8在平面ACD内的射影是。，连接B。，则80丄平面ACD,又COu平面ACD,所以

BOLCD,又AB丄8,且BOAB=B,所以CO丄平面AOB,又AOu平面AOB,所以C£＞丄A0.同

理可证AC丄OO,所以点。是厶48的垂心.故D正确.

故选：AD.

8.（2021・大连市第一中学高一月考）已知加，«,。是三条不同的直线，a,0,y是三个不同的平面,

有下列命题：

…\mlln…」

①■{=>mlIp-②若mHa,ml/p,则a〃尸；

[pHn

③，“ua,nila,则，〃//〃；④直线机〃a,直线“〃a,那么加〃“；

⑤若，M/a,n//13,mj/n,则a//；⑥若a〃y,pHy,则a%.

其中正确的说法为（填序号）

【答案】①⑥

【解析】

利用线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质应用，逐一判断选项可得结论.

【详解】

_[mlIn„

解：对于①，根据平行的性质有：,,,即〃?〃P，故①正确；

对于②，由，"//a,机//△得a//4或a,月相交，故②错误；

对于③，由加ua,〃//a,得加〃“，或〃?，"异面，故③错误；

对于④，由直线，”〃£,直线〃〃a,可得m〃“，加，"异面，m'"相交，故④错误；

对于⑤，由机〃得a〃/或a，尸相交，故⑤错误；

对于⑥，若ally,pHy,由面面平行的传递性得a//£,故⑥正确，

故答案为：①⑥.

9.（2020•云南省下关第一中学高二月考（文））如图，在正三棱锥P-ABC中，底面边长为6,侧棱长为5,

G、H分别为尸8、PC的中点.

（1）求证：GH//平面A8C；

（2）求正三棱锥P-ABC的表面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）36+973.

【解析】

（1）由于G、H分别为PB、PC的中点，所以由三角形中位线定理可得G〃〃8C,再由线面平行的判定定

理可证得结论；

（2）由于正三棱锥的侧面是等腰三角形，所以利用等腰三角形的性质可求出侧面面积，底面是正三角形，

利用面积公式可求出面积，从而可求出表面积

【详解】

解：（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点，

所以GH//BC,

又平面ABC,5Cu平面43C,

所以GH//平面A8C.

（2）设BC中点为。，连接尸

因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，所以_P3C是等腰三角形，

所以PD丄BC,

在RfABD中

又BD=-BC=3,PB=5,PD=y）52-32=4'

所以正三棱锥侧面积为3X（《X6X4）=36,底面积为丄x6x6xsin¥=9#,

223

所以正三棱锥P-ABC的表面积为36+9百

10.（2020.佛山市第四中学高二月考）如图在正方体A8CO-A4GA中，M,N,P,Q分别是

AR,4g，aAG的中点，求证

（1）MN〃平面PQBD；

（2）平面AWN〃平面PQ8O.

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

（1）证得MN//PQ,进而由线面平行的判定定理可证得结果；

（2）由（1）可知，只需证明A用〃平面PQBO,进而由面面平行的判定定理可证得结果.

【详解】

（1）连接。4,依题意知MN〃〃4，PQ//£＞蜴，所以//尸。，又MVz平面PQBD,P。u平面PQBD,

所以初V//平面PQB。.

（2）连接MQ,依题意可知MQ〃AB,且MQ=AB,所以四边形M4B。是平行四边形，则AM//BQ,

又平面PQBO,8Qu平面PQ8O,所以A"//平面PQBO

由（1）知〃平面PQ8。，且AA/cMN=M,故平面AMN//平面PQ8。.

1.（2020•全国月考）设加、”是两条不同的直线，a、/3是两个不同的平面，已知加ua,〃ua,则“血/，,

n//p”是“all/3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

充分性：已知加ua,〃ua,由于“//尸，n//p,若小〃〃，则。与£不一定平行，充分性不成立；

必要性：已知加ua,“ua,若二〃/7,由面面平行的性质可得相〃夕，n//p,必要性成立.

因此，“mlip,n//p”是“all/3"的必要不充分条件.

故选：B.

2.（2021•山东高一期末）在正方体A8CZ）-A£Ca中，E,F,G分别为。R,A8的中点，尸为

底面A5c。上一动点，且直线2尸〃平面EFG,则QP与平面A5C。所成角的正切值的取值范围为（）

A匡'

[3，：

C.[1,0]

【答案】B

【解析】

由题意知面£FG在正方体ABCQ-A4G。上的截面为EFG”且“为。C中点，根据正方体、线面平行的性

质，有P在8c上，即D尸与平面ABCD所成角为〃P。，进而可求其正切值的范围.

【详解】

由题意，如上图示，面EFG在正方体AB8-ASGA上的截面为EF6“且“为DC中点,

,?RPH平面EFG,而面ABCD面EFG,

面ABC。,，又P为底面ABC。上一动点，则尸在8c上，

马尸与平面A6C£>所成角为ZDP。，

当尸与8重合时，ZDPR最小，此时tanN£>BR=2^=Y^,

当尸与C重合时，⑷尸。最大，此时tanZDCA=*=l；

/•tanZDPD,€|—,1].

2

故选：B

3.（2021.江苏南京一中高一月考）如图，正方体ABCO-AgGD的棱长为1,线段8a上有两个动点E、F,

且£尸=:，则下列结论中正确的是（）

2

A.线段BQ上存在点E、F使得AE//BF

B.EF〃平面A8CD

C.亠AEF的面积与戶的面积相等

D.三棱锥A-BEF的体积不为定值

【答案】B

【解析】

利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；直接计

算体积可判断D.

【详解】

线段BR上不存在点E、F使得AE//BF,

因为A在平面用平面外，E在平面内，

所以AE,8尸是异面直线，所以A不正确；

连接8。，几何体是正方体，所以EF〃BD,BOu平面ABC。，平面A5C£>,可知£7=7/平面ABC。，

所以B正确.

D,

D

8到耳鼻的距离为=1,A到8a的距离大于上下底面中心的连线，

则A到四〃的距离大于1,

_AEF的面积大于亠3砂的面积，故C错误；

A到平面3D。耳的距离为立，3所的面积为定值，

2

...三棱锥A-3EF的体积为定值，故D不正确.

故选：B.

4.（2021.江西省分宜中学高二月考（理））点分别是棱长为2的正方体4BCO-A円GR中棱8C,CG的

中点，动点P在正方形BCCg（包括边界）内运动.若尸4〃面AAW,则PA的长度范围是（）

A.[2,6JB.'，石C.F',3]D.[2,3]

【答案】B

【解析】

如图，分别取陷的中点EI,连接放，4区4尸，则可证得平面4EF/面4WN,从而可得点户在EF

上，从而可求出PA的长度范围

【详解】

解：如图，分别取的中点E,F,连接£F，AE，AF,FM,BQ,

则EF好G,

因为M,N是BC,CG的中点，所以MN3G，

所以EFMN,

因为EFU平面AMN,MNu平面AAW,

所以£/乎一面AWN,

因为F是BC的中点，M是BC的中点，

所以府/4，FM=BBi，

因为AA|,AAf=BBl,

所以g,FM=A4),

所以四边形FMAA为平行四边形，所以AF/AM,,

因为AFU平面AMN,M4u平面4WN,

所以4尸膵面AMN,

因为AFcEF=尸，所以平面AEF平面4MN,

因为平面AEF平面AMN=EF,

所以点尸在EP上运动，使払〃面AMN,

因为A8CD-ABCQI的棱长为2,

所以AE=AF=^,EF=&

所以当点P与E或F重合时，PA最长，当点P在EF的中点时，PA最短,

払的最小值为］的—快=¥，

所以PA的长度范围是¥，行，

故选：B

5.【多选题】（2021•江苏省镇江中学高一月考）下列四个正方体图形中，A8为正方体的两个顶点，M,N,P

分别为其所在棱的中点，能得出4?〃平面MNP的图形是（）

【答案】AD

【解析】

对于A通过线面平行判定定理即可判断;对于B找到AB与平面例NP内某一直线相交即可;对于C找到A8

平行线与平面MNP内某一直线相交即可；对于D通过线面平行判定定理即可判断.

【详解】

对于A,如下图所示，根据正方体性质易证得又因为MNu平面MNP,平面MNP,所以A8〃

平面MNP.故A正确；

对于B,如下图所示，在平面A3A/N内，与MN相交，又因为MNu平面MNP,A3（z平面MNP,所以

A3与平面MN尸相交，故B错误；

M

对于C,如下图所示，易证45//QM,由于QM与平面MNP相交，则AB与面肱VP相交.故C错误;

对于D,如下图所示，由正方体性质易证得A8〃CD,由中位线定理知MP〃CD,所以A3〃用P,又因为MPu

平面MNP,A3<z平面MNP，所以AB//平面MNP.故D正确.

故选:AD

6.（2021•珠海市第二中学高一期中）已知正方体48CD-A8cA中的棱长为2,。1是AG中点.

(1)求证：平面AOQJi平面DBC］；

(2)设的中点为M,过A、M、G作一截面，交。A于点N,求截面AMGN的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)2栃.

【解析】

(1)连接AC,8。，若AC8。=O,连接0G，由平行四边形的性质及线面平行的判定易得AO}//平面DBR、

〃平面DBC1,根据面面平行的判定即可证平面AO|R〃平面D3C”

(2)连接A",C,M,设平面AMG与平面例，。交于AN,根据面面平行的性质可得四边形AMC”为平

行四边形，结合正方体的性质易知四边形4"GN为菱形，再求出对角线MN、AC-即可求截面的面积.

【详解】

(1)如图，连接AC,BD,若AC30=0,连接。G，

由A4,//CG，AA=CC，可得四边形AAGC为平行四边形,

二AC〃AG，又G«=AO,

，四边形4OG。为平行四边形，即4«〃G。，而4。c平面DBC],CQu平面D3C1,

・.AO//平面DBG,

同理，48GR是平行四边形，即AR//BG，而AR<z平面D3C1,^Gu平面D3C1,

AD,//平面DBC{,而401c4R=A,

二平面AOQ〃平面OB。.

(2)连接AM,CXM,平面AM&与平面伍RD交于AN,

由平面肌。力〃平面88CC，且平面1平面B8CC=GM,平面4WGl平面

：.CtM//AN,同理有4M//GN,即四边形4"GN为平行四边形，

在向4砌与心中，易知4M=GM,即四边形AMCN为菱形，故N为。。的中点.

•••正方体48CD-A&G。的棱长为2,

:.MN=26AC,=722+22+22=2^3.

截面面积S=-x2®x2>/3=2限.

2

7.(2021•福建高一期末)如图，在棱长为2的正方体ABCO-ABCA中，E,F,G,//分别为AR，厶岡，

CP

BB-8G的中点，点P为线段CG上的动点，R—=A(O<A<1).

D,

（1）是否存在4使得HP//平面EFG,若存在，求出4的值并给出证明过程;若不存在，请说明理由:

（2）画出平面EFG截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.

【答案】（1）存在，证明见解析；（2）画图见解析；3耳

【解析】

（1）取GR中点K,由面面平行的判定定理即可证明平面"PK//平面EFG,即可得到HP//平面EFG时

4的值.

（2）画出截面，根据正六边形的性质即可求出截面的面积.

【详解】

解：（1）当4=丄时，H尸〃平面EFG.

2

取GA中点K，连接HK，PK,B\D,,则"K//BQ,EFUB、D、,

如图所示:

故HKIIEF,

又〃长工平面瓦6,瓦七平面后林；，

:.HK//平面EFG,

同理，PK"平面EFG,

又HKPK=K,HK,PKu平面HPK,

故平面HPK//平面EFG,

HPu平面HPK,

〃平面EFG；

（2）平面EFG截正方体A8CD-48CQ的截面为正六边形EFGRSRT,

如图所示:

又正方体ABCO-AACQI的棱长为2,

故正六边形EFGRSRT边长为Q,

二截面面积为：6x^^x（&）=30.

8.（2021・山东高一期末）如图，点。是正方形ABC。两对角线的交点，OE丄平面ABC。，BF丄平面ABCO,

AB=BF=2DE,M是线段EF上一点，且MF=2ME.

（1）证明：三棱锥M-4b是正三棱锥；

（2）试问在线段。F（不含端点）上是否存在一点N,使得CN〃平面A8尸.若存在，请指出点N的位置；

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）根据正三棱锥的定义即可证明；

（2）利用反证法，由C。〃平面A8尸，假设存在这样的点N,使得CN〃平面ABF,推出平面COF〃平面ABF,

与平面CDF和平面A8F是相交平面矛盾，即可求解.

【详解】

解：（1）证明：设AB=BF=2DE=2a,

则AF=FC=AC=2>/^

二尸C是正三角形，

如图所示：连接FO,E0,

OD=OB=y/2a，

0E=拒a,OF=*>a,EF-3a,

在口OEF中，由06+0尸=£尸知：OELOF.

又,£应丄平面A3CE>,

:.DE丄AC,

VAC±BD,BDcDE=D,

：.AC丄平面。OE,

:.ACLOE.

又.AC,OFu平面ACF,ACr>OF=O,

：.OE丄平面AC尸，

在线段。尸上取点G,使得。G:G尸=1:2,

则点G是△人人7的重心，也就是△AFC的中心,

连接MG,则MG/7OE,

二MG丄平面ACF,

，三棱锥M-ACF是正三棱锥；

(2):平面C£>尸与平面A8尸有公共点尸，

故平面C。尸与平面A8F是相交平面，

CD//AB,CD<t平面ABF,AB1平面ABF,

8〃平面ABF,

假设存在这样的点N，使得CN〃平面ABF,

•点N与点。不重合，

.♦.CD与CN是相交直线，

又QCD〃平面ABF,CN〃平面A8F,且COu平面CDF,CNu平面COF,

二平面CDF//平面ABF,

这与平面CDF和平面ABF是相交平面矛盾，

二不存在一点N,使得CN〃平面ABF.

9.(2019•河南高三月考(文))如图，在四棱锥尸一/WC。中，平面24。丄平面ABC。，PA=PD,

AJ3=AD,PAYPD,AD±CD,/区4。=60，M.N分别为AZ),Q4的中点.

B

(I)证明：平面BMNP平面PCD；

(II)若AO=6,求三棱锥P-BAW的体积.

【答案】(I)证明见解析；(H)为8

4

【解析】

(I)连接8。，,AB=AD，ABAD=60，为正三角形.

..•A/为AO的中点，ABM1AD.

VADYCD,8,u平面A8CD,二PCO.

又BMa平面PCD,CDu平面PCD,；.BM〃平面PCD.

,：M，N分别为AO,Q4的中点，，MNPP。.

又朋Nu平面PCD,PDu平面PCD,；.MN〃平面PCD.

又BM,MNu平面BMN,BMMN=M,

平面HWNP平面PCD.

PJ

(II)在(I)中已证8W丄A£>.

•平面2AZ)丄平面ABC。，u平面ABCD,二8W丄平面BID.

又4)=6,NBAD=6。，：•BM=3日

在Aft4D中，：PA=P£>,PAA.PD,:.PA=PD=JAD=3&.

2

VM.N分别为A。，Q4的中点，

1117r-\29

...\PMN的面积S&PMN=W^APAD=4X2X)=W，

11Qr-9、6

...二棱锥P—BMN的体积Vp_BMN=VB_PMN=zS.MN,BM—--x—x3>/3=----

3344

10.（2021.陕西高二期末（文））如图，正三棱柱A8C-4BC中，。、E分别为CG、A蜴的中点.

Bi

（1）证明：GE〃平面4。四;

（2）若他=2,惧=2&,求点4到平面A。用的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)3.

3

【解析】

(1)本题可连接儿8与交于点0,连接0。、0E,然后根据三角形的中位线法则得出OE〃8g,

根据。是CC中点得出。,DC,即可得出OO//EG，最后通过线面平行的判

定即可得出结果；

(2)本题可作A”八A4,通过线面垂直以及面面垂直的判定得出平面AOA丄平面A4BA,然后根据面面

垂直的性质得出A4丄平面AOM，则AH长即点A到平面AO用的距离，最后通过等面积法即可得出结果.

【详解】

(1)如图，连接AB与AB1交于点。，连接。。、0E,

Br

因为三棱柱ABC-44G是正三棱柱,

所以四边形4880是矩形，。是4護中点，

因为E是AN的中点，所以OE〃阴，0E=；叫，

因为。是CC、中点，所以DCt//BB、,DC\=—BB、,

故OCJ/OE,DCt=OE,四边形OECQ是平行四边形，OD//EQ,

因为0/)u平面A。%GEtZ平面所以CE〃平面4。月.

(2)如图，作A”人AB-

因为三棱柱ABC-A5.C,是正三棱柱，

所以底面三角形是等边三角形，侧棱垂直于底面，

A

易知AA丄GE，MCXE,

因为AB|CA4,=A，所以C|E丄平面4隹区4,

因为0£>〃EG，所以O£）丄平面4円氏4,

因为0£>u平面ADB-所以平面4。耳丄平面A48A,

因为平面4。4।平面4耳区4=Ag,AHA44，A"u平面4円区4,

所以A"丄平面ADB,,A"长即点4到平面ADB,的距离，

AB=2,M=272,则为与=2,做=26,

根据等面积法易知，4”=訣产，解得A，=半，

故点A到平面ADBt的距离为2西.

3

练真题

1.（2021.浙江高考真题）如图已知正方体ABC。-A4G。，M,N分别是A。，的中点，贝ij（）

A.直线A。与直线RB垂直，直线MN〃平面A8C£>

B.直线A。与直线RB平行，直线MN丄平面8。£>円

C.直线与直线RB相交，直线MN//平面ABC。

D.直线与直线RB异面，直线MN丄平面耳

【答案】A

【解析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB，4。丄平面A8。，即可得出结论.

【详解】

连A。，在正方体ABC。-ABC。中,

M是A。的中点，所以M为AQ中点,

又N是。出的中点，所以MN//AB,

MV<2平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因为A8不垂直80,所以MN不垂直3。

则MN不垂直平面8304,所以选项B,D不正确;

在正方体A8CO-A8CQ中，AR丄A。，

AB丄平面44,2。，所以A8丄AQ,

A"cAB=A,所以4。丄平面A3。，

"Bu平面A8R,所以4。丄。8,

且直线A2R2是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

2.（2018•浙江高考真题）已知直线相，”和平面a,“ua,则“血/"”是“m〃a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

从充分性和必要性两方面分别分析判断得解.

【详解】

直线加,〃和平面a,〃ua,若m//〃，

当mua时，曲/a显然不成立，故充分性不成立；

当”?〃a时，如图所示，显然相〃”不成立，故必要性也不成立.

所以“m//n”是“m//a”的既不充分又不必要条件.

故选：D

3.（北京高考真题（理））设a,夕是两个不同的平面，旭是直线且mua.““：尸”是“a尸”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：2口,〃：尸得不到a尸，因为必尸可能相交，只要明和4尸的交线平行即可得到”：8；

a尸，oua,.•.中和万没有公共点，"即a尸能得到"：B”是“aB”的

必要不充分条件.故选B.

4.（2017•全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A,6为正方体的两个顶点，也N,0为所在

棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面也监的是（）

【答案】D

【解析】

对于选项4由于AB//NQ,结合线面平行判定定理可知A不满足题意;

对于选项8,由于48〃,的,结合线面平行判定定理可知6不满足题意;

对于选项C,由于结合线面平行判定定理可知C不满足题意;

对于选项〃，由于直线46不平行与平面/Q满足题意.

故答案为：D

5.（2019•全国高考真题（文））如图，直四棱柱/阅”4842的底面是菱形，/4=4,/庐2,N血分60°,

E,M,N分别是8GBB„4M的中点.

（1）证明：肠V〃平面3DE；

(2)求点C到平面&〃£的距离.

【答案】(1)见解析；(2)生叵.

17

【解析】

(1)连接ME，B©

M,E分别为8C中点,ME为凶由C的中位线

/.ME//B。且ME=^B]C

又N为A。中点，且:.ND〃B[C且ND=；BC

■1.ME/JND四边形MNDE为平行四边形

：.MNHDE,又肱Vo平面OEu平面

.•.価//平面6。后

(2)在菱形ABCZ)中，七为BC中点，所以DE丄BC,

根据题意有。E=百，0£=丿万，

因为棱柱为直棱柱，所以有OE丄平面

所以OE丄EG，所以S2EG=g*6xj万,

设点C到平面C,DE的距离为d,

根据题意有%-C£>E=^C-C,D£，则有—X—XXJmXd=二X-X1XX4,

3232

解得d=;=生叵

V1717

所以点C到平面CQE的距离为耳2.

6.（2017•全国高考真题（文））四棱锥尸-A8C。中，侧面24。为等边三角形且垂直于底面AB8,

AB=BC=-AD,/BAD=ZABC=90°.

2

（1）证明：直线3C//平面PAO;

（2）若△PC。面积为24，求四棱锥P