2023年辽宁省沈阳市初中学业水平考试数学试卷（含答案）

2023年辽宁省沈阳市初中学业水平考试

数学试卷

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共10小题，共20）

1.2的相反数是（）

1

A.2B.-2cD.——

∙⅛2

2.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是（)

A.HC.D.

3.我国自主研发的50Om口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称,它的反射面面积约为

25000001!?.用科学记数法表示数据2500∞为()

A.0.25×106B.25×1042.5×104D.2.5×105

4.下列计算结果正确的是（）

A.as÷a2=a4B.5ab-2ah=3C.(a-h)2-a2-b1D.(一加-=a1bh

5.不等式的解集在数轴上表示正确的是()

____________[1()I_____________________][II_________

A.B.I

-102-102

IIJ

C.D.

-102-1012

6.某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包∙为此，活动负责人征求了班内同

学的意向，得到了如下数据：

容量/L232527293133

人数3252122

则双肩包容量的众数是（）

A21LB.23LC.29LD.33L

7.下列说法正确的是（）

A.将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件

B.抛出篮球会下落是随机事件

C.了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式

D.若甲、乙两组数据的平均数相同，S"=2,Sj=2.5,则甲组数据较稳定

8.已知一次函数V=履+6的图象如图所示，则A,〃的取值范围是（）

A.左>0,b<0B.k<0,b<0C.k<0,b>0D.k>4,b>0

9.二次函数y=-（x+iy+2图象的顶点所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.如图，四边形ABCD内接于OO,一。的半径为3,ND=I20。，则AC的长是（）

AD

B

2

A.π-πC.2πD.4τv

3

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11.因式分解：/+2∕+α=

12.当α+6=3时，代数式2（。+2。）一（3。+5勿+5的值为.

2

13.若点A（-2,χ）和点以一1,%）都在反比例函数y=-的图象上，则M为・（用“<”">”或“=”

填空）

14.如图，直线ACD,直线所分别与AB，Co交于点E,f，小明同学利用尺规按以下步骤作

图：

（1）点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线£B于点M，交射线EE于点N；

（2）分别以点M,N为圆心，以大于JMN的长为半径作弧，两弧在NBEF内交于点P；

2

（3）作射线EP交直线Cr）于点G；若NEGF=29°，则NSEF=度.

15.如图，王叔叔想用长为60m栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCO,已知房屋外墙足够

长，当矩形ABCD的边AB=m时，羊圈的面积最大.

16.如图，在RLABC中，NAeδ=9（）°,AC=3C=3,点。在直线Ae上，A£）=1,过点Z）作Z）E〃AB

直线8C于点E，连接30,点。是线段BD的中点，连接0E，则OE的长为.

C

三、解答题（本大题共9小题，共82）

2

17.计算：S-2023）°+λ∕（-2）+fɪ-4sin30°.

18.为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲''三类（分别

用A,8,C依次表示这三类比赛内容）.现将正面写有A,B,C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀,

由选手抽取卡片确定比赛内容•选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再

随机抽取一张，记下字母∙请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率.

19.如图，在中，AB=AC,A。是BC边上的中线，点E在ZM的延长线上，连接过点C

作b〃BE交AD的延长线于点F，连接3尸、CE,求证：四边形BEB是菱形.

20.“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际•某中学准备购进一批图书供学生

阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查•问卷设置了五种选项:

A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择

其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生最喜爱图书类别的人数条形统计图学生最喜爱图书类别的人数

40

35

30

25

20

15

150

O

根据以上信息，解答下列问题:

（I）此次被调查的学生人数为名；

（2）请直接补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是度；

（4）据抽样调查结果，请你估计该校1800名学生中，有多少名学生最喜爱C“科普类”图书.

21.甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用时间与

乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件.

22.如图，AB是的直径，点C是CO上的一点（点C不与点A,8重合），连接AC、BC,点。是

AB上的一点，AC^AD,BE交CO的延长线于点E，且6E=BC.

（1）求证：JBE是。。的切线；

（2）若Oo的半径为5，tanE=！，则BE的长为.

2

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数V=丘+人的图象交X轴于点A（8,0）,交y轴于点R直线

与y轴交于点。，与直线A3交于点C（6,α）∙点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C

重合），过点M作X轴的垂线交直线CO于点N.设点M的横坐标为.

（2）以线段MN,MC为邻边作DMNQC,直线QC与X轴交于点E.

24

①当0≤m<M时;设线段石。的长度为∕,求/与机之间的关系式；

②连接OQ,AQ,当AAOQ的面积为3时，请直接写出用的值.

24.如图1，在YABC。纸片中，A5=10,A£>=6,NZMB=60°,点E为BC边上的一点（点E不与

点。重合），连接AE,将YABC。纸片沿AE所在直线折叠，点C,。的对应点分别为C'、似,射线CE

（2）如图2,当所，A尸时，。尸的长为

（3）如图3,当CE=2时，过点/作fM_LAE，垂足为点延长RW交C'。于点N,连接

AN、EN,求.4VE的面积.

25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=g∕+z7χ+c的图象经过点4（o,2）,与X轴的交点为点

8（百,0）和点C.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点E,G在y轴正半轴上，OG=2OE,点。在线段OC上，OO=百0£以线段。O,OE为邻

边作矩形QDFE,连接GD,设OE=α∙

①连接尸C,当G。。与aEDC相似时，求。的值；

②当点。与点C重合时，将线段G。绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH,连接FH,FG,将

GFH绕点F按顺时针方向旋转«（0°<α≤180°）后得到YGFH"G,H的对应点分别为G、H',

连接DE.当YGFH'的边与线段DE垂直时，请直接写出点”'的横坐标.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，共20）

1.2的相反数是（）

I1

A.2B.12C.~D.

22

【答案】B

【解析】

【详解】2的相反数是-2.

故选：B.

2.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中；

【详解】解：此几何体的主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是1，2.1.

故选：A

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图

3.我国自主研发的50Om口径球面射电望远镜（E4ST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为

25（）（）00（）m2.用科学记数法表示数据250000为（）

A.0.25×IO6B.25×IO4C.2.5×IO4D.2.5×105

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为αX10"的形式，其中l≤∣α∣<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，〃是正整数；

当原数的绝对值<1时，〃是负整数；

【详解】解:250000=2.5x105,

故选：D

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为αX10"的形式，其中l≤∣α∣<10,〃为

整数，表示时关键要正确确定”的值以及〃的值

4.下列计算结果正确的是()

A.as÷a2=a,B.5ab-2ab-3C.(a-b)2=a2-b2D.(-«&3)2=a2bb

【答案】D

【解析】

【分析】根据整式的加减运算法则，同底数基的运算，完全平方公式，积的乘方运算即可求解.

详解】解：A、∕÷"=α6,故此选项错误，不符合题意；

B、5ab-2ab=3ab,故此选项错误，不符合题意；

C、(a-bY=a2-2ab+b2,故此选项错误，不符合题意；

D、(-ab3)2=a2b6,正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查整式的加减运算法则，同底数基的运算，完全平方公式，积的乘方运算，掌握整式

的混合运算是解题的关键.

5.不等式x2l的解集在数轴上表示正确的是()

A_________I_______i_______.>_______I______R_________i_______i_>________i______

-1O_____2_一102

C.-[------1—-AD.-i—I(-A

-1O2-1O2

【答案】A

【解析】

【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可.

【详解】解：∙.3≥1,

处是实心原点，且折线向右.

故选：A.

【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键.

6.某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包∙为此，活动负责人征求了班内同

学的意向，得到了如下数据：

容量/L232527293133

人数3252122

则双肩包容量的众数是（）

A21LB.23LC.29LD.33L

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数的定义求解即可.

【详解】解：∙.∙29L出现21次,出现次数最多，

，众数是29L,

故选：C.

【点睛】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可

能有多个.

7.下列说法正确的是（）

A.将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件

B.抛出的篮球会下落是随机事件

C.了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式

D.若甲、乙两组数据平均数相同，⅛=2,Sj=2.5,则甲组数据较稳定

【答案】D

【解析】

【分析】依据随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论.

【详解】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意；

B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意；

C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意:

D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S*=2,Sl=2.5,则甲组数据较稳定，故D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组

数据的波动大小的一个量.方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与

其平均值的离散程度越小，稳定性越好，解题的关键是掌握相应知识点的概念.

8.已知一次函数y=-+8的图象如图所示，则左，〃的取值范围是()

A.Z>0,b<0B.k<0,b<QC.k<0,b>0D.k>0,b>0

【答案】A

【解析】

【分析】根据一次函数图象进行判断.

【详解】解：一次函数y="+。的图象经过第一、三、四象限，

，&>(),b<Q.

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键.

9.二次函数y=-(x+l)2+2图象的顶点所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【详解】根据抛物线y=T>+iy+2,可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限.

解：Vy=-(x+1)2+2,

・・・顶点在第二象限.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

10.如图，四边形ABC。内接于。O,。的半径为3,ND=120。，则AC的长是()

C.1πD.4万

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆内接四边形的性质得到/8=60°,由圆周角定理得到NAoC=I20。，根据弧长的公式即

可得到结论.

【详解】解：四边形ABeo内接于：O,No=I20°,

.-.ZB=60°,

.∙.ZAoC=2/6=120。，

....120万×3C

•AC的长=--------=2〃.

,180

故选：C.

【点睛】本题考查是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，共18分)

11.因式分解：ai+2a2+a=

【答案】a(a+l)2

【解析】

【分析】先提取公因式a,再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式.完全平方公式:a2±2ab+-=(a±b)

2

【详解】：a3+2a2+a,

=a(a2+2a+l),

=a(a+l)2.

【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握运算法则是解题关键

12.当α+∕,=3时，代数式2(α+2份—(3α+58)+5的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得一。-匕+5,再把前两项提取-1,然后把a+Z?=3的值代入

可得结果.

【详解】解：2(α+2加—(3α+5份+5

=2α+4b—3cι—5h+5

--a-b+5

=-(a+0)+5

当a+。=3时，原式=-3+5=2,

故答案为：2∙

【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键.

2

13.若点A(—2,y)和点8(—1,%)都在反比例函数y=1的图象上，贝IJM%.(用“<"">''或"=''

填空)

【答案】〉

【解析】

【分析】把x=—2和尸一1分别代入反比例函数y=2中计算)，的值，即可做出判断.

X

2

【详解】解：；点A(—2,另)和点8(—1,%)都在反比例函数y=—的图象上，

2

・•・令X=-2,则M=—=-1；

-2

2

令户一1,W1Jy=—=-2,

2-1

,-1〉—2,

∙*∙弘>%，

故答案为：〉.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键.

14.如图，直线AB〃CO,直线所分别与AB，Co交于点E，尸，小明同学利用尺规按以下步骤作

图：

(1)点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点M，交射线EZ7于点N；

(2)分别以点M,N为圆心，以大于LMN的长为半径作弧，两弧在NBE尸内交于点P；

2

(3)作射线EP交直线C。于点G；若NEGF=29°,则NBEF=度.

【答案】58

【解析】

【分析】由作图得EG平分NBEF,再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得

ZBEG=NEGF=29°,即可获得答案.

【详解】解：由作图得：EG平分ZBEF,

ABEF=IABEG,

∙.∙AB//CD,

：.NBEG=/EGF=渐,

：.ZBEF=2ZBEG=58。.

故答案为:58.

【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到EG平分NB防是解题关

键.

15.如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙足够

长，当矩形ABCr)的边AB=m时，羊圈的面积最大.

~D"

BI-------------C

【答案】15

【解析】

【分析】设A3为∙≡,则BC=（60—2x）m,根据矩形的面积公式可得关于X的二次函数关系式，配方

后即可解.

【详解】解：设AB为ʃm,面积为SmL

由题意可得：S=X（60—2X）=—2。-15）2+45（）,

.・・当χ=15时，S取得最大值，

即AB=I5m时，羊圈的面积最大，

故答案为：15.

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我

们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的

取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-2时取得.

2a

16.如图，在RtABC中，NACB=90°,AC=BC=3,点。在直线AC上，AO=I，过点。作DE〃AS

直线BC于点E，连接80,点O是线段BO的中点，连接0E,则OE的长为.

【解析】

【分析】分两种情况当。在C4延长线上和当。在C4上讨论，画出图形，连接0C,过点。作

ONLBC于■N,利用勾股定理解题即可

【详解】解：当在线段上时，连接。C,过点。作ON,BC于N,

①当。在线段AC上时,

AD=↑,

：.CD=AC-AD=2,

ZeC£>=90。，

.∙.BD=√CZ)2+BC2=√22+32=√13，

点O是线段8。的中点，

1/pɔ

.∙.OC=OB=OD=-BD=*,

22

ONLBC,

13

..CN=BN=-BC=L

22

ABlloE,

.∙.ZCOE=ZA=NCBA=ZCED=45°,

CE=CD=2,

31

：.NE=I--=-,

22

ON=JCO2_cM=1,

.∙.OE=JON2+NE2=Jl2+(ɪ)2=ɪ,

②当。在C4延长线上时，则Cf)=AD+AC=4,

O是线段BD的中点，ZBCD=90°,

.∙.OC=OB=OD=-BD,

2

ONLBC,

13

：.CN=BN=-BC=±,

22

OB=OD,

:.ON=LCD=2,

2

AB∖DE,

：.ZCAB=ZCOE=ZCBA=ZCED=45o,

；.CE=CD=4,

35

.∙.EN=CE-CN=4--=-,

22

.∙.OE=y∣EN2+ON2=^22+（∣）2=誓,

.∙.OE的长为由或3L

22

故答案为:袅或叵.

22

【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，共82）

17.计算：ft—2023）°+J（—21+（J-4sin30°.

【答案】10

【解析】

【分析】根据零指数幕和负整数指数基运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可.

【详解】解：Q—2023）°+几亓+（；）-4sin30°

=1+2+3?-4XL

2

=3+9-2

=10.

【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数基和负整数指数基运算法则，二次根

式性质，特殊角的三角函数值，准确计算.

18.为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲''三类（分别

用A,8,C依次表示这三类比赛内容）.现将正面写有A，B,C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，

由选手抽取卡片确定比赛内容•选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再

随机抽取一张，记下字母∙请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率.

【答案】图见解析，ɪ

【解析】

【分析】用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可:

【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有3种，

31

所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为

【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键

19.如图，在一ABC中，AB^AC,AO是BC边上的中线，点E在ZM的延长线上，连接3E,过点C

作交的延长线于点F,连接3尸、CE,求证：四边形BEeF是菱形.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】先根据等腰三角形的性质，得到AD垂直平分8C,进而得到E8=EC,FB=FC,BD=CD,

再利用平行线的性质，证明qE3Z运JCZ)(AAS),得到BE=FC,进而得到EB=E7=FC=EC,即

可证明四边形BEC尸是菱形.

【详解】证明：AB=AC,A。是BC边上的中线，

AD垂直平分BC,

:.EB=EC,FB=FC,BD=CD,

CF//BE,

."BED=/CFD,NEBD=ZFCD,

在AEBO和一FCD中，

NBED=ZCFD

<ZEBD=ZFCD,

BD=CD

注

：.EBZ-JFa)(AAS),

..BE=FC,

..EB=BF=FC=EC,

西边形EBFC是菱形.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活

运用相关知识点解决问题是解题关键.

20.“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际•某中学准备购进一批图书供学生

阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查•问卷设置了五种选项:

A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择

其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生最喜爱图书类别的人数条形统计图学生最喜爱图书类别的人数

40

35

30

25

20

15

105

O

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为名；

（2）请直接补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是度；

（4）据抽样调查结果，请你估计该校1800名学生中，有多少名学生最喜爱C“科普类”图书.

【答案】（I）Ioo（2）见解析

（3）36（4）720名

【解析】

【分析】（1）用8的人数除以对应百分比可得样本容量;

（2）用样本容量减去其它四类的人数可得。类的人数，进而补全条形统计图;

（3）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；

（4）用总人数乘样本中C类所占百分比即可；

【小问1详解】

此次被调查的学生人数为：20÷20%=100（名），

故答案为：100；

【小问2详解】

。类的人数为：1（）（）一1（）一20-4。-5=25（名），

补全条形统计图如下：

学生最喜爱图书类别的人数条形统计图

40

35

30

25

20

15

150

O

在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：360°X为Xloo%=36。，

故答案为：36；

【小问4详解】

40

1800×-×100%=720（名），

100

答：估计该校1800名学生中，大约有720名学生最喜爱C“科普类”图书.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的

百分比大小

21.甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与

乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件.

【答案】乙每小时加工8个这种零件.

【解析】

【分析】设乙每小时加工X个这种零件，则甲每小时加工(x+2)个这种零件，利用“甲加工25个这种零件

所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等”列分式方程即可求解.

【详解】解：设乙每小时加工X个这种零件，则甲每小时加工(x+2)个这种零件，

根据题意得：一2二5L=，20,

x+2X

解得：x=8,

经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意.

答：乙每小时加工8个这种零件.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程进行求解.

22.如图，AB是的直径，点C是CO上的一点(点。不与点A,B重合)，连接AC、BC,点、D是

AB上的一点，ACAD,BE交CD的延长线于点E,且BE=JBC.

(1)求证：BE是：。的切线；

(2)若Oo的半径为5,tanE=L,则BE的长为.

2

【答案】(1)证明见解析

(2)8

【解析】

【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的

判定定理解答即可得出结论；

(2)利用直角三角形的边角关系定理得到"=L,设OB=X,则BE=2x,利用X的代数式表示出线段

BE2

AC,BC,再利用勾股定理列出关于X的方程，解方程即可得出结论.

【小问1详解】

证明：A3是。的直径,

.∙.ZACS=90°,

：.ZACD+ABCD=90°,

AC=AD,

.∙.ZACD=ZADC,

ZADC=ZBDE,

：.ZACD=ZBDE,

BE=BC,

..ZBCD=ZE,

.∙.ZfiOE+ZE=90。，

.∙.ZDBE=180o-(ZBDE+ZE)=90o,

即OB±BE.

AB为Uo的直径，

:.BE是:。的切线;

【小问2详解】

MLlLDB

解：tanE=—,tanE=----,

2BE

DB1

---=一，

BE2

设Z)3=x,则8E=2x,

：.BC=BE=2x,AD=AB-8Z)=10-x,

AC=AD,

AC=1()—%,

AB是。，。的直径，

.-.ZACB=90°,

：.AC2+BC2=AB2>

Λ(10-x)2+(2x)2=IO2,

解得：x=0(不合题意，舍去)或x=4∙

BE-2,x=8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切

线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数V="+人的图象交X轴于点A(8,0),交y轴于点区直线

13

y=]X-5与＞轴交于点。，与直线AB交于z点C(6,α)∙点M是线段BC上的一个动点(点M不与点C

重合)，过点M作X轴的垂线交直线CO于点N.设点M的横坐标为加.

(1)求“的值和直线AB的函数表达式；

(2)以线段MN,MC为邻边作。MNQC,直线QC与X轴交于点E.

24

①当0≤m＜一时，设线段的长度为/,求/与加之间的关系式；

②连接OQ，AQ,当AAOQ的面积为3时，请直接写出机的值.

33

【答案】(1)a=-,y=一一x+6

24

、〜135…23

(2)①/=-------"2；②一

245

【解析】

13

【分析】(I)根据直线y=—X—-的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可;

22

(2)①用含，〃的代数式表示出MN的长，再根据MN=C。得出结论即可；②根据面积得出1的值，然后

根据①的关系式的出，”的值.

【小问1详解】

13

点C(6,α)在直线y=5X-5上，

1/33

.∙.a=-×6——=—,

222

一次函数y=履+匕的图象过点A(8,0)和点

\2)

Sk+b^O

6k+b=-

解得《

b=6

3

∙∙∙直线AB的解析式为y=--x+6；

【小问2详解】

3

①∙M点在直线y=-x+6±,且M的横坐标为加，

4

_3

.∙.Λ∕的纵坐标为：一一m+6,

13

QN点在直线y=-x-一上，且N点的横坐标为加，

13

N点的纵坐标为：Tn—,

22

IA八Tl3a13155

1142224

点线段EQ的长度为/,

∖L)

3

.•.|图=/+万,

IMM=IeQI,

42

②AAOQ的面积为3,

/.—OA-EQ=3,

3

解得EQ=—,

135

由①知，EQ=-------m,

24

1353

244

23

解得m=一

即加的值为了.

【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关

键.

24.如图1，在YABC。纸片中，AB=10,AD=6,ND43=60°,点E为BC边上的一点（点E不与

点C重合），连接AE,将YA8C。纸片沿AE所在直线折叠，点C,。的对应点分别为C'、次，射线C'E

与射线AD交于点F.

（1）求证：AF=£F；

（2）如图2,当所IA尸时，。尸的长为；

（3）如图3,当CE=2时，过点F作fM_LA£，垂足为点延长FM交C'D'于点N,连接

AN,EN,求.4VE的面积.

【答案】（1）证明见解析；

（2）5√3-6;

（3）13√3

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，得到NE4E+NAEC=I8（）。，再根据折叠的性质,

得到NAEC'=NAEC,然后结合邻补角的性质，推出44E=NAEF,即可证明AE=M;

（2）作AG∙LC8,交CB的延长线于G,先证明四边形AGE厂是正方形，再利用特殊角的三角函数值,

求出AG=5λΛ,进而得到AP=5百，即可求出Ob的长；

（3）作AQLCB,交CB的延长线于。，作MTLA/于T，交”。的延长线于G,作HRLMT于R,

解直角三角形ABQ,依次求出BQ、AQ,EQ.AE的值，进而求得AM的值，根据CoSNZME=COSNAE。

和SinND4E=sinNAEQ,求得47=2、MT=述，进而得出OT的值，解直角三角形DGT,求出GT

22

的值，进而得出MG的值，根据tanNEWT=tanZAEQ,得出生=述，从而设HR=5后,RM=9k,

RM9

进而表示出GR=GHR=I5k，最后根据GR+ΛM=MG,列出15人+9Z=4λQ,求出上=立，根据

6

SinZFMT=SinZAEQ,得出MN=Ji进而得到MV=Ji5，即可求出,ANE的面积.

【小问1详解】

证明：四边形ABC。是平行四边形，

.-.AD//BC,

ZFAE+ZAECISOo,

由折叠性质可知，ZAEC=ZAEC,

.∙.NE4E+ZAEC=180。，

,ZAEF+ZAEC'ISOo,

.∙.ZFAE^ZAEF,

：.AF=EF；

【小问2详解】

解：如图1，作AGJ_CB,交CB的延长线于G,

图1

AD//BC,ZfHB=60°,

..ZABG=ADAB=,NfEG=I80°-NF=90°,

AGLCB,

.∙.ZAGB=90。，

.∙.ZAGB=ZFEG=NF=90°,

四边形AGE尸是矩形，

由（1）可知：AF=EF,

.∙∙矩形AGFE是正方形，

√sinZABG=sin60°=—,AB=IO,

AB

/7

∙∙.AG=AB-sin60o=10×-=5√3，

2

/.AE=AG=5√L

AD=6,

.∙.DF=AF-AD=5舁6,

故答案为：5√3-6;

【小问3详解】

解：如图2,作AQLCB,交CB的延长线于。，作MTLAF于T，交HD的延长线于G,作”RLMT

四边形ABC。是平行四边形，

..AB=CD=IO,AT>=BC=6,AB//CD,CB//AD,

：.ZABQ=ZDAB=ω°,

在RtAQB中，8Q=A8∙cos60°=10xJ=5,Aβ=AB∙sin60o=10×-=5√3,

22

CE=2

.∙.EQ=BC+BQ-CE=6+5-2=9,

2222

在RtVAQE中，AE=y∣AQ+EQ=7(5√3)+9=2√39-

由(1)可知：AF=EF,

FMlAE,

AM^EM=LAE=回，

2

又YABCZ）纸片沿AE所在直线折叠，点C,。的对应点分别为C',D0,

：.HM=MN，

AD//BC,

.∙.ZDAE=ZAEQ,

cosZDAE=CoSNAEQ，SinZDAE=sinZAEQ,

,ATEQMTAQ

"~MΛ~~∖E,^AM~~∖E

■AT-9MT

"√392√39，√39—2√39

.4T_95√3

22

93

.∙.DT=AD-AT=6——=-,

22

AB//CD,

.∙.NG"=ZZMB=60。，

在Rt。GT中，tanZGDT=tan60°=—,

DT

:.GΓ=DT∙tan60o=-,

2

∙∙.MG=GT+MT=-+^=4√3,

22

oo

ZFMT+ZAMT=90fZZME+ZAMT=180-ZATM=90°,

:.ΛFMΓ=ZDAE,

:.NFMT=ZAEQ,

tanZFMT=tanZAE2,

HR405#I

"~RM~~EQ~~9~,

二设，R=5√¾t,RM=9k，

MGLAF,HGA,MG,

.∙.HR∕∕AF,

.∙.NG”R=NGoT=60°,

.∙.tan/GHR=tanZGDT，

Z-,D

.-.—=tan60o=√3,

HR

GR=y∕3HR=√3×5√3Λ=15k，

GR+RM=MG,

.∙.15⅛+9Zr=4√3-

6

.∙.HR=5>∕3k=-,

2

SinZFMT=SinZAEQ,

.HRAQ

''~HM~~∖E,

5

.55g,

"HM2√39

.∙.HM=岳,

：.MN=岳,

：.SANE=LAEMN=Lx2底又岳=136∙

22

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形、轴对称

的性质等知识，正确作辅助线，熟练解直角三角形是解题关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=gf+法+c的图象经过点A（0,2）,与X轴的交点为点

6便,0）和点C.

备用图

（1）求这个二次函数的表达式;

(2)点E,G在y轴正半轴上，OG=20E,点。在线段OC上，0。=6。E以线段0。，OE为邻

边作矩形OZ)FE,连接GO,设OE=4.

①连接尸C,当GOD与AFDC相似时，求。的值；

②当点。与点。重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60。后得到线段GH,连接FH，FG,将

ΔGFH绕点F按顺时针方向旋转«(o°<α≤180°)后得到VGFH',点G,H的对应点分别为G、W,

连接DE.当7GFH'的边与线段O