16.1二次根式2024年八年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第十六章二次根式16.1二次根式1二次根式的定义我们把形如a(a叫做被开方数；叫做二次根式.【例】2,a-1a≥12二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即要使得a有意义，则a≥0【例】要使得x-1有意义，则x3二次根式的性质（1）双重非负性：a中a≥0，a≥0（2）(a【例】(3)2（3）a2=【例】32=3，(-3)2【题型1】二次根式的定义【典题1】已知下列各式：10,-x2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析10,-x故选：D．【巩固练习】1.下列各式是二次根式的是()A．3 B．-1 C．35 D．答案A解析A、3是二次根式，故本选项符合题意；B、-1没有意义，故本选项不符合题意；C、35D、π-4中π﹣4＜0，不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．2.下列式子中，是二次根式的是()A．-3 B．38 C．a-1(a<1) D答案D解析A．-3中的﹣3＜0，该代数式无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．38的根指数是3C．a＜1，则a﹣1＜0，a-1无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；D．a2故选：D．3.下列式子一定是二次根式的是()A．-x-2 B．x C．x2+2 D答案C解析∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴x2而-x-2、x和x2-2中的被开方数均不能保证大于等于故选：C．4.下列式子中，是二次根式的有()个①x2+2；②3x；③313A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①x2+2、④③31②3x中当x＜0时，不是二次根式，故不符合题意．综上所述，二次根式的个数是2．故选：B．【题型2】二次根式有意义的条件【典题1】若代数式x+3|x|-2-11-2x有意义，则x解析若代数式x+3|x|-2必有&x+3⩾0&|x|-2≠0&1-2x>0，解得-3⩽x<12且x≠【巩固练习】1.若ab是二次根式，则a，b应满足的条件是(A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b＞0 D．a答案D解析∵ab是二次根式，∴aA、a、b可以都是负数，故本选项错误；B、a＝0可以，故本选项错误；C、a、b可以都是负数，故本选项错误；D、ab故选：D．2.已知代数式x-3有意义，则x的值可能是()A．4 B．2 C．1 D．0答案A解析代数式x-3有意义，则x﹣3≥0，解得：x≥3，故x的值可能是4，故选：A．3.若2x-1是二次根式，则x的取值范围是(A．x为非负数 B．x≠1 C．x≥1 D．x＞1答案D解析根据题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．4.要使式子3x+9x-2有意义，x的取值范围是(A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≤﹣3且x≠2 D．x＞﹣3且x≠2答案B解析由题意得：&3x+9⩾0&x-2≠0，解得x≥﹣3且x≠2故选：B．5.已知a满足|2017-a|+a-2018=a，则a﹣20172的值是答案2018解析∵|2017-a|+a-2018=a，∴a﹣故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017+a-2018＝a，故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．【题型3】二次根式的性质与化简【典题1】已知1＜a＜3，那么化简代数式1-2a+a2-aA．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3解析∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴1-2a+a故选：B．【典题2】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：(1-3x解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x⩽1∴1﹣x＞0．∴原式＝(1﹣3x)﹣(1﹣x)＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简(x-3)【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2(3)已知a，b，c为ABC的三边长．化简：(a+b+c)解析(1)隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝(3﹣x)﹣(2﹣x)＝3﹣x﹣2+x＝1；(2)观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；(3)由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝(a+b+c)+(﹣a+b+c)+(﹣b+a+c)+(﹣c+b+a)＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．【巩固练习】1.计算(-11)2的结果为A．﹣11 B．11 C．±11 D．121答案B解析∵(-11)2故选：B．2.化简(3-π)2得(A．π﹣3 B．3﹣π C．﹣π﹣3 D．π+3答案A解析(3-π)2=|3-π|=π-33.已知ab＜0，则a2b化简后为(A．ab B．-ab C．a-b 答案B解析∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴a2故选：B．4.化简9-6x+x2+(2x-7A．3x﹣10 B．3x+10 C．10﹣3x D．10x﹣3答案A解析由题意得，2x﹣7≥0，∴x≥3.5，∴9-6x+x故选：A．5.如果一个三角形的三边长分别为12、k、72，则化简k2-12A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k答案D解析∵一个三角形的三边长分别为12、k、7∴72∴3＜k＜4，k2=(故选：D．6.已知16-x2-4-x2答案3解析∵16-x而16-x∴22∴16-x故答案为：327.阅读材料：如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样a+2b=(x)2+(y)2+2x⋅y=(x+y)2答案2+解析11+2=4故答案为：2+78.观察：①3-22=2-1，②5-26=3-2，③7-43答案17-12解析通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：第n个式子为：2n+1-2n(n+1)∴第8个等式的是：2×8+1-29×8即：17-122故答案为：17-122【A组基础题】1.下列各式中①a；②b+1；③a2；④a2+3；⑤x2-1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案B解析∵式子a(a≥0)是二次根式，∴a，b+1，x2∵a2≥0，∴a2+3＞0，∴a2，a故选：B．2.若代数式xx-2有意义，则实数x的取值范围是(A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2答案D解析由题意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故选：D．3.已知18n是整数，则正整数n的最小值为(A．4 B．3 C．2 D．1答案C解析当n＝2时，18n所以最小的正整数n为2．故选：C．4.下列式子正确的是()A．(-9)2=-9 B．25=±5 C．3答案C解析根据二次根式的性质：A、(-9)2=9，故A错误；B、25C、属于立方根的运算，故C正确；D、(-2)2故选：C．5.某数学兴趣小组在学习二次根式a2=|a|后，研究了如下四个问题，其中错误的是(A．在a＞1的条件下化简代数式a+a2-2a+1的结果为2aB．a+a2-2a+1的值随a变化而变化，当C．当a+a2-2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是D．若a2-2a+1=(a-1)答案B解析a2当a＞1时，a+a当a＝1时，a+a2-2a+1＝a+a﹣1＝2a﹣1当a＜1时，a+a2-2a+1＝a﹣a+1因此A选项、C选项、D选项均正确，只有B选项不正确，故选：B．6.已知x，y为实数，且y=x-9-9-x+4，则x答案5解析依题意得：&x-9⩾0&9-x⩾0，解得x＝9所以y＝4故x+y=3+2故答案为：5．7.化简：2＜x＜4时，x2-4x+4-x答案2x﹣6解析∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式==x-2-4+x=2x-6．故答案为：2x﹣6．8.已知m是2的小数部分，则m2+1m答案2解析原式=m∵m为2小数部分，∴m＝2﹣1，∴1m∴m＜1m原式=1故答案为：2．9.探究过程：(1)62+13；(2)132+27；(3)观察计算过程：62132252(1)按照上面的思路解法，计算492(2)请你用含n(n＞0)的式子表示上面过程中的规律；(3)应用根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和1513的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长．答案(1)50；(2)n2+2n+1解析(1)由题意可得，492(2)由探究规律可得，n2(3)设大正方形的边长为a，由图1和图2的面积相等可得：7562+(1513)2=a2∴a=756即大正方形的边长为757．10.在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：(1-3x解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x⩽1∴1﹣x＞0，∴原式＝(1﹣3x)﹣(1﹣x)＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．(1)试化简：(x-3)(2)已知a、b满足(2-a)2=a+3,答案(1)1；(2)±14解析(1)隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，所以(x-3)2-(2-x)2＝3﹣x﹣(2﹣x)＝3﹣x(2)∵(2-a)若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a=-1∵a-b+1＝a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b＝-12或∴ab＝±14【B组提高题】1.实数a、b满足a2-4a+4+36-12a+a2=10-|b+4|-|b-2|，则a2答案52解析原式变形为(a-2)∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，∴a到2和6的距离之和是4，b到﹣