导数的综合运用：同构、构造函数选择填空压轴题（解析版）

·1·A.(0,4e]B.(4e,+∞)C.[4e,+∞)D.(4e,+∞)【分析】不等式(ax-4)lnx<2lna-ax即axl(2x)<ln(ax2)，可得lnx)<ln2).令fx=，x∈0,+∞,则f(2x)<f(ax2)，且当0<x<1时f(x)<0；当x>1时，f(x)>0，函数图像如图所示.,∴f(2x)<0，由f(2x)<f(ax2)及fx=的图像可知，2x<ax2恒成立，即a>成立，A.-1B.C.D.kx+1-kx+1>x+1lnx，∴ekx+1lnekx>x+1lnx，令fx=x+1lnx，则f,x=lnx+1+，·2·令gx=f,x，则g,x=-=，,x<0,x>0；∴f,x在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，∴f,x≥f,1=2>0，∴fx在0,+∞上单调递增，kx+1lnekx>x+1lnx得：fekx>fx，∴ekx>x，即k>；,x=，,x>0,x<0；∴hx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，∴hx≤he=，3.已知对任意的x∈0,+∞,不等式kxekx+1-x+1lnx>0恒成立，则实数k的取值范围是()kx+1>(x+1)lnx，所以ekx+1lnekx>(x+1)lnx①, x令f(x)=(x+1)lnx，则f,(x x+1+lnx，设g(x)=f,(x)= x,(x)=-+=，,(x)<0,(x)>0，所以f,x≥f,1=2，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，因为①式可化为fekx>f(x)，,(x)>0,(x)<0，所以h(x)max=h(e)=，所以k>，,+∞(,不等式e2ax-l≥-恒成立，则实数a的取值范围是·3·()A.2ax-l≥-化简为e2ax(2ax+2(≥x(lnx+2(，再构造函数f(x(=x(lnx+2(，求导2ax-l≥-恒成立即2axe2ax-xlnx≥2x-2e2ax，2ax(2ax+2(≥x(lnx+2(，令f(x(=x(lnx+2(，则f(e2ax(≥f(x(恒成立.又f,(x(=lnx+3，故当x∈,+∞,(x(>0，故f(x(=x(lnx+2(在区间,+∞（上为增函数.构造g(x(=,x∈,+∞(,则g,(x(=，令g,(x(=0有x=e，,(x(>0，g(x(为增函数；当x∈(e,+∞(时g,(x(<0，g(x(为减函数.(1)恒成立：∀x∈D,f(x(>0⇔f(x(min>0；∀x∈D,f(x(<0⇔f(x(max<0；(2)能成立：∃x∈D,f(x(>0⇔f(x(max>0；∃x∈D,f(x(<0⇔f(x(min<0.若能分离常数，即将问题转化为：a>f(x((或a<f(x()，则(1)恒成立：a>f(x(⇔a>f(x(max；a<f(x(⇔a<f(x(min；(2)能成立：a>f(x(⇔a>f(x(min；a<f(x(⇔a<f(x(max.A.【分析】构造函数g(x)=f(x)-2x=lnx+ax2-2x(x>0)，则转化得到g(x(在(0,+∞)上单调递增，将题,(x)=+2ax-2≥0在(0,+∞)上恒成立，再利用分因为对任意两个不等的正实数x1,x2,都有>2,所以f(x1(-f(x2(>2x1-2x2,即f(x1(-2x1>f(x2(-2x2,·4·构造函数g(x)=f(x)-2x=lnx+ax2-2x(x>0),则gx1>gx2, x x设m(x)=-(x>0),则m(x)=-+=，所以m(x)max=m(1)=1-=，所以a≥.6.已知fx是定义在R上的函数fx的导函数，且fx+xfx<0，则a=2f2,b=efe,c=3f3的大小关系为()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c【详解】构建gx=xfx，则gx=fx+xfx，因为fx+xfx<0对于x∈R恒成立，所以gx<0，故gx在R上单调递减，由于a=2f2=g2,b=efe=ge,c=3f3=g3，且2<e<3，所以g2>ge>g3，即a>b>c.1.fx+xfx的形式，常构建xfx；fx-xfx的形式，常构建；2.fx+fx的形式，常构建ex⋅fx；fx-fx的形式，常构建.7.若函数fx=ex-2lnx-2alnx+ax2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-eB.-∞,-e[C.-e,0D.-e,0 fx=ex-2lnx-2alnx+ax2=ex-2lnx+ax2-2lnx，设h(x)=x2-2lnx(x>0)，则h(x)=2x-=，·5·函数f(x)有两个不同的零点等价于方程f(x)=0有两个不同的解，x-2lnx+a(x2-2lnx(=0--n，等价于函数y=-a与y图象有两个不同的交点.令x2-2lnx=t，g(t(=t,t>1，则函数y=-a与g(t(=,t>1图象有一个交点，t(==>0，所以g(t(>g(1(=e，所以-a>e，解得a<-e.8.函数f(x(是定义在(0,+∞(上的可导函数，其导函数为f'(x(，且满足f'(x(+f(x(>0，若不等式A.x(=x2f'(x(+2xf(x(=x2f'(x(+f(x(>0所以函数g(x(在(0,+∞(上为增函数.由f(x(的定义域为(0,+∞(可知ax>0，得a>0，φ'(x(=·6·当x∈e,+∞时，φx<0，所以φx在e9.已知函数f(x)=xex-alnx+x-xa+1，若f(x)>0在定义域上恒成立，则实数a的取值范围是()A.(-∞,e)B.[0,eC.(-∞,1)D.[0,1【详解】由fx>0得xex+x>alnx+xa+1，所以xex+x+lnx>alnx+lnx+xa+1，即ex+lnx+x+lnx>alnx+lnx+xa+1，又易知gx在R上单调递增，故不等式等价于x+lnx>alnx+lnx，即x-alnx>0.设hx=x-alnx，若a>0，则hx=1-,hx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增，所以h(x)min=ha，所以0<a<e.10.已知函数f(x)=xex+ex,g(x)=xlnx+x，若fx1=gx2>0，则可取()A.-1B.-C.1D.e【分析】探讨函数gx在,+∞2=ex(x1>-1)，再构造函数并求出其最小2=x2(lnx2+1)>0得x2> ,e由fx1=exx1+1>0得x1>-1，则fx=exlnex+1=g(ex)，于是得x2=ex(x1>-1)，=，·7·mx-≥0恒成立，则m的取值范围为.【答案】m≥【分析】构造函数fx=xex判定其单调性得mx≥lnx，分离参数根据恒成立求y=max即可.mx-≥0⇔mxemx≥xlnx=lnx⋅elnx，构造函数fx=xexx>0⇒f,x=x+1ex>0，∴fx在0,+∞为增函数，则mx⋅emx≥lnx⋅elnx⇔mx≥lnxmax，构造函数gx=⇒g,x=,max=ge=，即m≥.12.已知函数f(x)=ex+1-alnx，若f(x)≥a(lna-1)对x>0恒成立，则实数a的取值范围是.【分析】对不等式进行合理变形同构得ex+1-lna+x+1-lna≥x+lnx，构造函数利用函数的单调性计算即x+1-alnx≥a(lna-1)可得+1-lna≥lnx，x+1-lna+1-lna≥lnx，则有ex+1-lna+x+1-lna≥x+lnx，设h(x)=ex+x，易知hx在R上单调递增，故h(x+1-lna)≥h(lnx)，所以x+1-lna≥lnx，即x-lnx≥lna-1，故gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，..·8· 2x所以-2x+ln3x≤+lna可化为+ln3x≤+ln(ae2x(，设f(x)=+lnx(x≥1)，则f,(x)=-+=≥0，∴f(x)在[1,+∞(上单调递增，2x>12x>1，所以+ln3x≤+ln(ae2x(可化为f(3x)≤f(ae2x)，所以3x≤ae2x，令g,(x)>0,(x)<014.若不等式ae3x+2x+lna≥lnx对3x+lna+(3x+lna(≥elnx+lnx对任意x∈(0,+∞(成立，构造函数g(x(=ex+x，解.3x+2x+lna≥lnx对任意x∈(0,+∞(成立，不等式可变形为:ae3x+3x+lna≥lnx+x，即elnae3x+(3x+lna(≥lnx+elnx，3x+lna+(3x+lna(≥elnx+lnx对任意x∈(0,+∞(成立，记g(x(=ex+x，则g,(x(=ex+1>0，所以g(x(在R上单调递增，3x+lna+(3x+lna(≥elnx+lnx可写为g(3x+lna(≥g(lnx(，·9·根据g(x(单调性可知，只需3x+lna≥lnx对任意x∈(0,+∞(成立即可，即lna≥lnx-3x成立，记h(x(=lnx-3x，即只需lna≥h(,(x(>0，h(x(单调递增，,(x(<0，h(x(单调递减，所以h(x(max=h=ln-1=ln，2>x1>0(x(=f(x(-2x，将问题转化为g(x(在(0,+∞(上单调递增，即g,(x(≥0在(0,+∞(上恒成立，采用分离变量的方式可得2a≥-+2>x1>0，由>2得：f(x1(-2x1<f(x2(-2x2，令g(x(=f(x(-2x，则g(x(在(0,+∞(上单调递增，,(x(=+2ax-2≥0在(0,+∞(上恒成立，∴2a≥-+，16.已知函数f(x(=x2-alnx+1，当-2≤a<0，对任意x1,x2∈[1,2[，不等式|f(x1(-f(x2(|≤[12，+∞(【详解】因为-2≤a<0，函数f(x(在[1,2[上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1(-f(x2(|≤m-，可化为f(x2(+≤f(x1(+，·10·设hx=fx+=x2-alnx+1+，则hx1≥hx2，所以hx为[1,2[上的减函数，即h,x=x--≤0在[1,2[上恒成立，等价于m≥x3-ax在[1,2[上恒成立，设gx=x3-ax，所以m≥g(x)max，因-2≤a<0，所以g,x=3x2-a>0，所以函数gx在[1,2[上是增函数，所以g(x)max=g2=8-2a≤12(当且仅当a=-2时等号成立).所以m≥12.x=xy2lnx+lny，则xy的取值范围为.x.x.x=xy2lnx+lny，得xex=x2y⋅ln(x2y)，即有2y=ex0是方程e3x-lnx+2x=0的一个根，则=.3x+3x0=x0+lnx0，构造函数f(x)=ex+x，则有f(3x0)=f(lnx0)，得出f(x)的单调性即3x-lnx+2x=0的一个根，则x0>0，3x-lnx0+2x0=0，即e3x+3x0=x0+lnx0，令f(x)=ex+x，则f,(x)=ex+1>0，3x+3x0=x0+lnx0，即f(3x0)=f(lnx0)，19.已知函数fx=eax-2lnx-x2+ax，若fx>0恒成立，则实数a的取值范围为.·11·【详解】已知函数fx=eax-2lnx-x2+ax，若fx>0恒成立，则实数a的取值范围为gx单调递增，因为fx=eax-2lnx-x2+ax>0x>0，所以eax+ax>lnx2+elnx，可得gax>glnx2，所以ax>lnx即求maxx>0，令Fx=x>0，F,x==，当x∈0,e时，F,x>0，Fx单调递增，当x∈e,+∞时，F,x<0，Fx单调递减，所以Fx≤Fe=，可得a<.20.若lnx+ln2a-1-2ax-ex≤0，则实数a的取值范围为.【详解】因为lnx+ln2a-1-2ax-ex≤0，a>0,x>0⇔ln(2ax)-x+2ax-ex≤0,⇔ln(2ax)+2ax≤x+ex=lnex+ex，令f(x)=lnx+x,x>0，则原式等价于f(2ax)≤f(ex)，f,(x)=+1=0恒成立，所以f(x)在定义域内单调递增，令g(x)=(x>·12