数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题（解析版）

数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再些常见的裂项公式与放缩公式需要注意. 3题型二与导数结合的放缩 8 91<<n2(n n−2bn−3b211n+−n+−n（1）<=−n≥2)；（3）=<=2−；（4）Tr+1=C（5）=<=2−+−+；（8）=<= n+1−n−1 1 n+1+n−122<nn−1+n+n−1)=−22n−12n−1<2n−12n−2=2n−1n−1−1=−n≥2)；−1n<1+1+++…+<3；−12n−12n−1=−n≥2). ++（14）2(−)=<< ++nn+1=∗.记数列{an}的前n项和为Sn，则()2<S<3B．3<S100<4C．4<S<922<S<5n+1= n 1+a21⇒an+1=an+an=|2an+1（an)an+1an∴<|+2an+1（an)an+1an,即1<1<2aan+1根据累加法可得，1n−1n+1≤1+=nn4(n+1)2n+1∴an+1 n≤ ≤1+aan+1 n=a2n+32n+3n.n+1 >−(n+1)2n+1n+2n+1n+3a n+1n+1n+3a n+1≤6(n+1)(n+2),S≤6−+−+−+…+−=6−<3，即<S100<3．故选：A.题型=通项放缩，2=42<42−1==2．已知an=n+1+32 ++++…<【详解】a33n+133n3n+1 a33n+133n3n+1n所以1+1+1+…+1<2+2+2+…+2=1−=1−1<1a1a2a3an3233343n+1a1a2an2a1a2an2n−.1n−1an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+…+abn−2+bn−1).nT<n+1.n【详解】Sn=n2，则Sn+1=(n+1)2，b=1+.b=2n2+2b=2,则b=nnn2+2n+3.n+1+nn+nnb−1=n2+2n+3−1=n2+2n+3−(n+1)nn+1n+12=<=<2= <−2nn+1.nnn+1∴T=b1+b2+…+b<n+1−1<nnn+1 ++++ ++++【答案】B<=+−=，11>= n+n+2 −=n+n+2n+2−n)= −据此可得答案.【详解】+−=， 1+23+45+6 1+23+45+699+100又n+n+1>n+n+2=(n+n+2n+2−n=2,则1+2+3+4+5+6+…+99+100>2=−+−+−+…+−)= 2 >=.21+23+45+699+10021+23+45+699+100kk+12k2kcc4k2−1kk+12k2kcc4k2−1kkk+12k2kccS=2−1−n<22n−12n<S<2,故得6．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a=2anSn−1.lSnJ∗n−Sn−12=2所以数列（2）S=2S1S1−1⇒S=1，由（1）可知数列{ =2(n+1−n)，=2(n+1−n)，==>Sn2nn+n+1 n T>2(−1)+2(−)+…+2(101−100)=2(−1)>2(−1)=b−b=nb−b=c=bc=b,证明：n2n【答案】(1)【答案】(1)（2）由放缩法与错位相减法求和证明.S8=8a1+dS8=8a1+d=64b3−b2=48=4(q2−q),而,解得,故n}nnq=4d=2,则,而公比,解得,故,则,而公比,解得,故=4q>0(2k−1)(2k+1)<1+4(2k−1)(2k+1)<1+4n==,则142k4k144k44k+2k−(4+2k)+4S=S=++…+,则令 222232n+1 22222n2n+12n2n+1kkk+12k2kccnn+1nn+1nn23n+1n+1nn23n+1n+1所以S=T1+T2+…+T=又因为an+1−=−=−,2n+222n+2所以Sn>an+1−.9．已知an4n=n,数列bn=nan−1，证明： b1 ≤bn1n−11 ≤bn1n−1公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.,再结合等比数列求和nn−=3<9，b,492n+122n+12【解析】n=2n+12n+1−32n+12n+1−332n+1−3,32n+1−332n+1−3∗∗3−3−24−3+24−33−3−24−3+24−3−25−3+…+2n−3−2n+1−3)|=12+24253−3−3−2n+1−3)246 + 255=12+5425nn题型二与导数结合的放缩1n+11n+1112017全国3卷）已知函数f(x)=x−1−alnx.2n2n2nln(1+2)+ln(1+22)+n)<2+22+n=n)<e,而(1+2)(1+22)(1+23)>2，所以m的最小值为3. b−a>2 +当b>b−a>2 +,即lnb−lna<(+)b−a.2ab令a=n,b=n+1，则ln(n+1)−lnn<(+)，所以ln(n+1)−lnn<(+)①.2nn+12nn+1若再利用<L(a,b) abbbaxb⇔lna−lnb<⇔ln<−⇔2lnx<x abbbaxb+n 1+n 1令t=1+n1111 n1+n12n2n+n故 2nn+4n+4n2+4n2212n2n+n1+...+...+22++ 22++12n2n+n题型三数列恒成立问题【分析】设等差数列{an}的公差为d，由已知可得d=−2，求得Sn，由数列的单调性列不等式即可得a1的【详解】设等差数列{an}的公差为d，由于3a2+2a3=S5+6，所以3(a1+d)+2(a1+2d)=5a1+10d+6，解得d=−2，所以Sn=na1+d=−n2+(a1+1)n，n12n−1=【分析】由a1=1，2an+1=a12n−1=nnn2−3n−22n−1,结合bn+1−bn=−，分1≤n≤52−3n+1n2n2n−12nn+1−bn≥0，∴bn+1≥bn，当且仅当n=5时取等号，b6=b5，max==， 1,2【答案】7所以λan≤a+12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+，min=7所以λ≤7)【分析】先由题设求得an，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ>0，所有的正整数n都有到答案.22a322a3nnnn+，即k<λ+对任意λ>0恒成立，由λ+≥2=，当且仅当λ=,即λ=时取最小值，则k.3,218．已知an=3n2+n，若an≤λ2n对于任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是.【分析】先分离参数将问题转化为≤λ对于任意n∈N*恒成立，进而转化为()max≤λ,构造b=n3n2+n2n,再作差判定单调性求出数列{bn}的最值，进而求出λ的取值范围.【详解】因为an=3n2+n，且an≤λ2n对于任意n∈N*恒成立，2n≤λ对于任意n∈N*恒成立，即()max≤λ,令bn=，则bn+1−bn=−=，因为b2−b1=>0，b3−b2=>0，b4−b3且bn+1−bn=<0对于任意n≥3=−<0,2+n)max=b3=15，2n4所以实数λ的取值范围是3 a2n3 a2n值为()+12n2+n −+12n2+n 13 16 19 【答案】Dn−3an−1=4n，故代入an≥整理得2≥，利用作差法得到单调递减，−−3n+1n=Sn−Sn−12nn−1−3a+n−12,方程两边同除以3n，得−=4，n≥，n+1nn+1−3n1−2nn+1n1−2nn+13n3n+13n+13n+3n3n+ n+13n3n+13n+13n+3n3n+n+1nn+3nn+3n则k的最小值为解决不等式恒成立问题即可.n}是等差数列，设其公差为d，解方程x2−18x+65=0得x=5或x=13，又a7>a3，则bn+1−bn== n22n−1−n−2=−2n3+5n2