空间向量的数量积运算 高二上学期数学人教A版（2019）+选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算知识回顾重温基础问题1：在平面向量中，如何作出两个非零向量a和b的夹角？其夹角的取值范围是什么？问题2：已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，如何求a·b?问题3：与平面向量数量积的运算律一样吗?创设情境问题引入G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度多少？彼此成多少角度比较合适等等.怎么样才能解决这些问题呢，必须要有强大的数学工具.高一研究过平面向量数量积在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.那么空间向量中，数量积的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？请同学们四人1小组，借助小组的力量，对照表格中的信息，结合学习任务单，一起探究：空间向量的数量积到底是怎么样的？合作探究

辨析概念探究一【交流分享，辨析概念】小组代表展示探究成果温馨提示高一研究过平面向量数量积的性质.请同学们四人1小组，借助小组的力量，对照表格中的信息，结合学习任务单，一起探究：空间向量的数量积的性质？合作探究

辨析概念探究二【交流分享，辨析概念】小组代表展示探究成果

A类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？合作探究

辨析概念探究三

平面向量投影空间向量投影？【交流分享，辨析概念】图（1）中，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.图（2）中，向量a向直线l的投影.课本第7页思考题中的三个问题？合作探究

辨析概念探究四【交流分享，辨析概念】【举例应用，巩固新知】例1.已知三棱锥O－ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:思路分析：求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.点拨：1.空间向量运算的方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算.(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.2.空间向量运算的方法步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.

证明：在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使g=xm+yn.将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g=xl·m+yl·n.因为l·m=0，l·n=0,所以l·g=0.所以l⊥g.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.点拨：利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.归纳小结