2023-2024学年河北省沧州市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年河北省沧州市高二上册期末数学模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知=(3,。+6,。-26)(凡6£R)是直线/的方向向量，〃=(-1,2,1)是平面。的法

向量，若/〃。，则()

A.67=1B.b=1C.<7+/?=1D.a—b=1

2.已知数列｛%｝是等差数列，S“是其前〃项和，2=3，4=39,则号。=()

A.160B.170C.180D.190

3.抛物线夕2=4x的焦点为尸，点P(非原点)在抛物线上，且横坐标是纵坐标的々倍，

则附二()

A.472B.8C.9D.8.72

4.若4为圆£:/+产=1上的动点，夕为圆C2：(x—3)2+(y+4)2=4上的动点，则

的最大值是O

A.5B.6C.7D.8

,、32___________]

5.在公比不为1的等比数列｛风｝中，对任意〃eN*，o.

2。〃+1+%+22a〃+2+4+3

成等差数列，％=1,则数列｛4｝的前〃项和S“=()

3_J_C212

B.c.z-----D.3-----

2~2"23"T

2v24

6.双曲线二x-匕=1上任意一点到两条渐近线的距离之积为一，则双曲线的离心率e=。

a223

A.好B.逅C.72D.73

22

7.直线/：x=《y-4)与曲线C：(|x|—1丫+&—1)2=2交于/,8两点，若|48|=2,则

f的值有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.在长方体/8。。一43£。|中，AB=AD=2AAt=4,则平面工产。截长方体的外接

球所得截面圆的面积为（）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知数列｛q｝的前〃项和S'=3"-1,则下列结论正确的是（）

A.%=2B.数列｛为｝是等比数列且公比q=3

C.数列｛log3/｝是等差数列D.数列｛logs，｝是等差数列

10.在正四面体/BCD中，E,F是BC,的中点，平面/OE的法向量为〃，则下列结论

正确的是（）

A.+OB.EF//BD

C.2方是平面8C尸的法向量D.BC//n

22

11.已知尸，尸分别为椭圆C:二+匕=1的左、右焦点，4,8是椭圆C上关于原点对称

42

的两点，且已知4,B是桶圆的顶点，过点力作轴，垂足为E,直线与椭圆C

的另一个交点为P，则（）

A.四边形/必尸的周长为16B.而+病的最小值为:（3+2五）

C.△力面积的最大值为D.AB1AP

12.圆锥曲线的“外准圆”也叫“蒙日圆”，它是由法国数学家加斯帕尔•蒙日发现的.它

说的是：圆锥曲线上任意两条互相垂直的切线的交点在同一个圆上，这个圆就叫外准圆.其

中圆锥曲线的中心就是外准圆的圆心，而直线在高等数学中也称为半径为无穷大的圆.双曲

线E=i只有当时才有外准圆，则下列结论正确的是（）

a2b2

A.面积为S的圆的外准圆的面积是0s

2

B.椭圆♦J+v*=1（“>6〉0）的外准圆方程为/+「=/+/

,1

C.抛物线f=2"的外准圆是y=-万?

D.双曲线，—乐=1（。>6>0）的外准圆方程为〃

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.焦点在x轴上的椭圆1+匕=1的长轴长为4JJ，则其焦距为

a23

14.已知4（0,3）,圆C的圆心为。（4,0）,过点4到圆C的切线长是半径的2倍，则圆C

截直线y=x-3所得的弦长为.

15.在所有棱长均相等的斜三棱柱/8C-44G,ZAtAB=ZA.AC=60°,M是的

中点，则异面直线与8c所成角的余弦值为.

C

16.在等差数列｛%｝中，6+4=0，%=-2,S"为数列｛况|｝的前N项和，T“吟,

则北的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知△0/8的顶点。（0,0）,04边上的中线所在直线方程为x=2,边上的高线为

x-y=3.

（1）求点A坐标；

（2）求△。/台的外接圆方程.

18.（本小题满分12分）

已知等差数列｛aJ满足3a,用一%=4（〃+1）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

11

（2）设“=，证明：b.+b2++6<—.

4%2

19.（本小题满分12分）

已知椭圆0:0+卓=1（。>6>0）过点且离心率为，.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线V=x+m与曲线C交于M,N两点，。为原点，求△OWN面积的最大值.

20.（本小题满分12分）

已知数列｛%｝满足an+l-an=2x3",4=3.

(1)证明：数列｛%｝是等比数列；

(2)求数列｛〃/｝的前n项和Tn.

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—488中，△力尸。是正三角形，四边形48CD是梯形，AB//CD,

ADLAB,AB=AD=2,CD=3,E是/。的中点，PB工BC.

(1)证明：PEJ.平面/BCD；

(2)求平面/PB与平面P8C的夹角的余弦值.

22.(本小题满分12分)

已知圆”：(X+3)2+/=16,N(3,0),过点N的直线/与圆”交于/,8两点，过点N

作MA的平行线交直线MB于点P.

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)若直线NP(不与x轴垂直)与轨迹E交于另一点0,。关于x轴的对称点为H,求证：

直线PH过定点.

数学答案

1.A解析：由己知加.〃=0，，-3+2(a+b)+(a-2b)=0,解得a=l,故选A.

［命题意图］考查直线的方向向量、平面的法向量的定义以及用向量研究直线与平面的平行

垂直问题，数学素养方面主要考查数学运算与知识的迁移.

2.B解析：9"=%］-4=36,d=4,a„-a2+4(〃-2)=4〃-5，又％=-1,=35,

c10(a,,,工

/.S10=—^^=170,故选B.

2

［命题意图］考查等差数列及其前〃项和的运算，数学素养方面主要考查基本技能与基本方

法.

3.C解析：由已知x=,代入「=4x中，得丁=4女，x=8>|PF|=x+y=9,

故选C.

［命题意图］考查抛物线的定义与性质的灵活应用，数学思想方法主要考查方程思想.

4.D解析：圆£：/+必=1的圆心为£(0,0),半径为6=1；圆

G:(x—3『+Q+4『=4的圆心为GGT，半径为弓=2,|£G|=5.又4为圆G

上的动点，8为圆。2上的动点，二|力却的最大值是IGGI+4+弓=5+1+2=8,故选D.

［命题意图］考查直线与圆的位置关系，数学素养方面考查动静转化和方程思想.

5.B解析由已知得即

431消去2a“+《山，解得g=g,

----------=---------~--2---------

q(2a“+4+J2a„+a„+lq(2an+all+i)

3

［命题意图］考查等差中项、等比数列的性质与前〃项和的计算与应用，数学素养方面主要

考查综合能力与运算能力.

22

6.B解析：双曲线与一,=l(a>0@>0)上的点尸(%,%)满足除片一Y柄=12,

22

网+矶|阮-研|_ab_4

点P到两条渐近线醒±即=0的距离之积为4d2=

a2+b2

e2e=显,故选B.

22

［命题意图］考查双曲线的性质中的点在曲线上、渐近线、离心率、点到直线距离公式等知

识，数学素养方面考查灵活变形和数学运算.

7.C解析：曲线（国-1丫+3-1）2=2的图象如下图，直线/恒过点尸（0,4）,图中

\AB\=\QO\=\MN\=2,故』的值有3个,故选C.

［命题意图］考查圆及其性质、圆方程的变形、直线过定点等，数学思想方法主要考查数形

结合思想和分类讨论思想.

8.C解析：以4B,AD,44所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则外

接球球心。为体对角线的中点，。（2,2,1）,4（0,0,2）,5（4,0,0）,。（0,4,0）,可求得

平面43。的法向量为j1（1,1,2）,5（9=（-2,2,1）,则点。到平面的距离

76

"=I邛=一,又长方体外接球半径R=3,设截面圆半径为厂，所以

时3

r~=R2-d2=—,S=兀，二=>［'，故选C.

33

［命题意图］考查长方体的外接球直径与体对角线的关系、空间向量中点到平面的距离以及

截面圆的问题，数学素养方面考查空间想象能力以及综合能力等.

9.ABC解析：a,=5,=3-1=2,A正确；当〃22时，S“T=3"T—1,二

=S“-=2x3""，〃=1也符合，B正确；根据等差数列的定义可知C正确，D不正

确.故选ABC.

［命题意图］考查等比数列的通项公式、前〃项和、等差数列的定义、由前〃项和求通项以

及对数运算等，数学素养方面主要考查分析能力与辩证思维.

10.ACD解析：BCVAE,3C_L£>E,A正确；B显然不正确；ADA.BF,ADLCF,

二平面8b,C正确；同理BC_L平面4OE,D正确.故选ACD.

［命题意图］考查用向量证明平行与垂直问题，如何判定平面的法向量问题以及向量与普通

方法结合使用的问题，数学思想方法考查数形结合思想和辩证统一思想.

11.BCD解析：对于A,连接4/，BF',AF,BF,则四边形/必尸为平行四边形，二

M可十忸刊=\AF\+\AF'\^2a^A,，四边形AFBF'的周长为8,A错误；

12BF

亩+向=；（“可+忸I'3++>^（3+272）,当

AF

且仅当可时，等号成立，B正确；•；/,2是椭圆C上关于原点对称的两点,

22

XJ

-------1-------二1±2

二设直线AB的方程为丁H（左。0）,由｛42'得X

y=kx,

"小患’的面积吟⑷”阖

1+2/

网+2阳

当且仅当％=±孝时，等号成立，C正确；对于D,设尸（加,〃），4（%,%），8（-%,一比）,

22

固上,k_〃一汽〃+%>〃一%

直线刃的斜率为左巴，直线尸8的斜率为⑥8,人JKPAKpB_,-22

m-x0m+xQm-x0

2222221

又点尸和点4在椭圆C上，1+二=1①，9+九=1②，①-②得.〃二巴=-一,易

4242m--xl2

知kPB=kBE=7k,则左左=_彳，得kp*=-7，：.kp«.4窃=（一■,左=一1,

222K\kJ

NPAB=900,D正确.故选BCD.

［命题意图］考查椭圆的定义、直线与椭圆位置关系及与基本不等式结合求最值，数学素养

方面主要考查灵活变形和数学运算.

12.BCD解析：对于A,圆的两条互相垂直的切线交点到圆心的距离为&R,外准圆的面

积为2S,A不正确：对于B,过椭圆的长轴与短轴的端点作切线是垂直的，其交点到原点

的距离为1标+/，显然B正确：抛物线/=2"两条互相垂直的切线交点在准线上，故

C正确；双曲线与一4=1（。>6>0）是关于y轴对称的，.•.过y轴上一点作双曲线的两

ab"

条互相垂直的切线，其斜率为±1,设切线方程为V=±x+m,代入双曲线方程使△=（）,

解得用2=/—故D正确.故选BCD.

［命题意图］考查数学文化、新定义的使用、圆锥曲线与圆的关系、直线与曲线的位置关系

中的相切等，数学思想方法主要考查无穷思想、特值思想.

13.6解析：由题意得2回=46,所以/=口，。2=/_/=12—3=9,c=3,故焦

距2c，=6.

［命题意图］考查椭圆的方程及几何性质，数学素养方面主要考查运算能力和推理能力等.

14.3a解析：|/C|=5,设半径为R,(2&y+火2=52,解得及=石，圆心到直线y=x—3

的距离q=手，所以弦长为12占2_屋=3板.

［命题意图］考查圆的方程、圆的切线以及直线与圆的位置关系的应用，数学素养方面主要

考查综合能力与运算能力.

15.如解析：如图，设棱长为2,贝=不难发现四边形8CG4是矩形，，

6

B}C=242BM・B、C=

(BA+AMy^B+BC^BA-+AM-B[B+BA-BC+AM-BC^2x2x-+lx2x(-l)+2x2x-+

2_V6

0=2cos〈BM,B'C)

-272x73-6

B

［命题意图］考查空间向量的数量积、模、夹角以及立体几何中的垂直问题，数学素养方面

主要考查数形结合思想、运算思想、抽象推理等.

24q+5d+q+7d=0,…，•・…一7

16.——解析：由已知得《<当14/W7时,

9%+4d=-2

/、〃(〃一13)、口门,

S,=-(％+%++%)=--当〃28时

5“=一(°]+。2++a7)+ag+a9++an=42H---------当时，

S.J3—〃H-7="U,设

当〃=7时，⑵)*=丁=3・当〃"时,

n2n22

/（X）=^+|-y.；〃X）在（O,扃）上单调递减，（南,+«>）上单调递增.又

,—4291324

9<-\/84<10>当〃28时,只需比较心和,Tq,

42101327、27243、24

—+--------=—.V3>—>—,：.（T].=——

［命题意图］考查数列的绝对值求和及单调性比较大小，数学素养方面主要考查逻辑推理、

数学运算.

ab

17.解：（1）设4（。,6）,则。f的中点在直线％=2上，.•・。=4.（2分）

2,2

点4在直线工一歹二3上，故。一6=3,6=1.，点4的坐标为（4,1）.（5分）

（2）由题得直线的斜率为一1,方程为N=-x,则3（2,—2）,（7分）

了=0,

设圆的方程为工2+歹2+m+&+尸=0,代入0,48三点得<2。-2£+尸+8=0,

4D+E+F+U=0,

211

解得。=—丁，E=_?,尸=0,

71i

2

.♦.△048的外接圆方程为/+y—二'一1少二。.（10分）

［命题意图］考查直线方程的点斜式、高线及中线的定义，综合坐标关系求解点的坐标及外

接圆方程，数学素养方面主要考查知识的迁移.

18.解：⑴设数列｛%｝的公差为d,=q+（〃T）d,%+1=%+〃”，

则3。“+1-%=2nd+2%+d=4〃+4,（3分）

...2d=4,2%+d=4,解得％=1,d=2,

数列｛%｝的通项公式为4=2〃-1.（6分）

,（8分）

（2/7-1）（2/7+1）-22H-12n+l

.*•4+仇++b—<—.（12分）

n2

［命题意图］考查等差数列通项公式的灵活应用以及裂项相消等知识，数学思想方法主要考

查方程思想、恒等思想、化归思想等.

19.解：(1)由已知?+二=1,且£=9_3=1一1=2,(2分)

a'b-a2a2a23

・'・Q?=9‘Z?2=3»

22

，椭圆。的标准方程为土+匕=1.（4分）

93

（2）设凹），N（X2，%），将y^x+m代入曲线c中，整理得

4x2+6mx+3〃/-9=0,

其中△=36/772—4x4x（3〃/一9）=-12m2+144>0,即加2<12,

._33m2-9（4、

..Xj+x2=——m,XjX2=---'（6分）

'IAIN［=J（1+/2）［（X］+%2）2_4X1%2=V12-W2，（8分）

点O到直线MN的距离"=空，

••小…；|MN|［邛x/12-m）/<今x12<+病=乎，（】。分）

当且仅当12—〃/=加2,即加=±、同时，等号成立.（11分）

.♦.△OMN面积的最大值为地.（12分）

2

［命题意图］考查椭圆方程、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式求最值等，数学

思想方法主要考查特值思想和转化思想等.

20.解：（1）由已知得a“—a,1=2x3"T,a“_1—a”_2=2x3"2,…，a2—ax=2x3',

!“一］一a-2)+2

(a〃—%)+(qn+(a2-a,)=2(3'+3++3"-'),(2分)

3(1—3"T)=3,，(4分)

•■-a=3+2(3'+32++3”T)=3+2X

n1-3

•••纵=3,.•.数列｛《,｝是首项为3,公比为3的等比数列.（6分）

2

（2）Tn=1X3'+2X3++〃X3”,

37；,=1X32+2X33++»x3n+1,

.3（l-3）।3/\,

•*--27；,=3'+32++3"-nx3n+'=------„x3,,+1=-（3n-l）-»x3n+,，（10分）

1-32V7

即（J”1）7+3”2分）

［命题意图］考查累加法求通项以及等比数列求和、等比数列的定义、错位相减求和等，数

学思想方法主要考查运算思想和迭代思想.

21.解：（1）由已知8七=后，CE=M，BC=垂，：.CE?=BE?+BC?，BCLBE,

（2分）

又PBA.BC,PBBE=B,PB,BEu平面P8E,二8c平面尸8E,BCA.PE.（4

分）

♦•♦△P4D是正三角形，AE=DE,：.PELAD.

与相交，，PEJ_平面/BCD.（6分）

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，得4（2,0,0）,8（2,2,0）,C（0,3,0）,

.\PJ=（l,0,-V3）,尸